তিনটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য সীমাবদ্ধ

28

তিনটি এলোমেলো ভেরিয়েবল রয়েছে । তিনটি ভেরিয়েবলের মধ্যে তিনটি পারস্পরিক সম্পর্ক একই রকম। এটাই, $x,y,z$

ρ = cor (x, y) = cor (x, z) = cor (y, z)

$\rho=\textrm{cor}(x,y)=\textrm{cor}(x,z)=\textrm{cor}(y,z)$

জন্য আপনি যে কড়া বাঁধা দিতে পারেন ? $\rho$

correlation correlation-matrix

— user1352399
সূত্র

1

সম্ভবত "ফো" দ্বারা, আপনার অর্থ rho ( )। তবে আপনার প্রশ্নটি পরিষ্কার নয়। "আপনি যে শক্ততম বাঁধাই দিতে পারেন" তার অর্থ কী?

ρ

$\rho$

— গুং - মনিকা পুনরায়

আচ্ছা ভেরিয়েবলের নাম মাত্র একটি ডামি। সংক্ষিপ্তভাবে আবদ্ধ হয়ে, আমি পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য [-1, 1] এর মতো কিছু বোঝাতে চাইছি তবে এটি স্পষ্টতই সম্ভবতম বাঁধা নয়।

— ব্যবহারকারী1352399

আপনার অর্থ কি rho = কর (x, y) = কর (x, z) = কর (y, z), এবং rh এর সীমা কত?

— ব্যবহারকারী31264

হ্যাঁ আমার অর্থ হ'ল rho = কর (x, y) = কর (x, z) = কর (y, z) এবং rh এর সীমা কী। দিলীপ, আপনি কি এটিকে বলতে বাড়াতে পারেন যে rho অবশ্যই অ-নেতিবাচক হওয়া উচিত, অর্থাৎ> = 0?

— ব্যবহারকারী1352399

1

এটির জন্য একটি পাঠ্যপুস্তক হ'ল সেবার অ্যান্ড লি "লিনিয়ার রিগ্রেশন অ্যানালাইসিস" (কমপক্ষে এটি প্রথম সংস্করণে ছিল ...)

— কেজিটিল বি হালওয়ারসেন

29

সাধারণ পারস্পরিক সম্পর্ক মান থাকতে পারে কিন্তু । যদি তবে সমান হতে পারে না তবে বাস্তবে । তিন র্যান্ডম ভেরিয়েবল সাধারণ পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষুদ্রতম মান । আরো সাধারণভাবে, ন্যূনতম সাধারণ পারস্পরিক সম্পর্ক র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল যখন, ভেক্টর হিসাবে গণ্য, তারা (মাত্রা একটি সিমপ্লেক্স ছেদচিহ্ন হয় মধ্যে) -dimensional স্থান। $\rho$ $+1$ $-1$ $\rho_{X,Y}= \rho_{X,Z}=-1$ $\rho_{Y,Z}$ $-1$ $+1$ $-\frac{1}{2}$ $n$ $-\frac{1}{n-1}$ $n-1$ $n$

এর সমষ্টি ভ্যারিয়েন্স বিবেচনা ইউনিট ভ্যারিয়েন্স র্যান্ডম ভেরিয়েবল । আমাদের কাছে যেখানে হয় গড় মান এর পারস্পরিক সম্পর্ক কোফিসিয়েন্টস। তবে যেহেতু , আমরা সহজেই থেকে পেয়েছি যে $n$ $X_i$

\begin{aligned} var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) & = \sum_{i = 1}^{n} var (X_{i}) + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j \neq i}^{n} cov (X_{i}, X_{j}) \\ = n + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j \neq i}^{n} ρ_{X_{i}, X_{j}} \\ (1) & = n + n (n - 1) \bar{ρ} \end{aligned}

$\begin{align*} \operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) &= \sum_{i=1}^n \operatorname{var}(X_i) + \sum_{i=1}^n\sum_{j\neq i}^n \operatorname{cov}(X_i,X_j)\\ &= n + \sum_{i=1}^n\sum_{j\neq i}^n \rho_{X_i,X_j}\\ &= n + n(n-1)\bar{\rho} \tag{1} \end{align*}$

\bar{ρ}

$\bar{\rho}$

(\binom{n}{2})

$\binom{n}{2}$

var (\sum_{i} X_{i}) \geq 0

$\operatorname{var}\left(\sum_i X_i\right) \geq 0$

(1)

$(1)$

\bar{ρ} \geq - \frac{1}{n - 1} .

$\bar{\rho} \geq -\frac{1}{n-1}.$

সুতরাং, একটি পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের গড় মান অন্তত । তাহলে সব পারস্পরিক সম্পর্ক কোফিসিয়েন্টস আছে একই মান , তারপর তাদের গড় এছাড়াও সমান এবং তাই আমরা যে আছে এটা সম্ভব র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার জন্য সাধারণ পারস্পরিক সম্পর্ক মূল্য আছে হয় সমান ? হ্যাঁ। ধরুন যে হয় সম্পর্কহীন ইউনিট-ভ্যারিয়েন্স র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং সেট । তারপরে, , যখন $-\frac{1}{n-1}$ $\rho$ $\rho$

ρ \geq - \frac{1}{n - 1} .

$\rho \geq -\frac{1}{n-1}.$

ρ

$\rho$

- \frac{1}{n - 1}

$-\frac{1}{n-1}$

X_{i}

$X_i$

Y_{i} = X_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} = X_{i} - \bar{X}

$Y_i = X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j = X_i -\bar{X}$

E [Y_{i}] = 0

$E[Y_i]=0$

var (Y_{i}) = {(\frac{n - 1}{n})}^{2} + (n - 1) {(\frac{1}{n})}^{2} = \frac{n - 1}{n}

$\displaystyle \operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2 + (n-1)\left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{n-1}{n}$ এবং দান এভাবে র্যান্ডম ন্যূনতম সাধারণ পারস্পরিক সম্পর্ক মান অর্জনের ভেরিয়েবল । দ্রষ্টব্য, ঘটনাক্রমে, সেই , এবং তাই, ভেক্টর হিসাবে বিবেচিত, এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি একটি -এ মাত্রিক হাইপারপ্লেনের মধ্যে রয়েছে

cov (Y_{i}, Y_{j}) = - 2 (\frac{n - 1}{n}) (\frac{1}{n}) + (n - 2) {(\frac{1}{n})}^{2} = - \frac{1}{n}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right) + (n-2)\left(\frac{1}{n}\right)^2 = -\frac{1}{n}$

ρ_{Y_{i}, Y_{j}} = \frac{cov (Y_{i}, Y_{j})}{\sqrt{var (Y_{i}) var (Y_{j})}} = \frac{- 1 / n}{(n - 1) / n} = - \frac{1}{n - 1} .

$\rho_{Y_i,Y_j} = \frac{\operatorname{cov}(Y_i,Y_j)}{\sqrt{\operatorname{var}(Y_i)\operatorname{var}(Y_j)}} =\frac{-1/n}{(n-1)/n} = -\frac{1}{n-1}.$

Y_{i}

$Y_i$

- \frac{1}{n - 1}

$-\frac{1}{n-1}$

\sum_{i} Y_{i} = 0

$\sum_i Y_i = 0$

(n - 1)

$(n-1)$

n

$n$ -মাত্রিক স্থান।

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

25

সম্ভাব্যতম বাঁধাই । $-1/2 \le \rho \le 1$ এ জাতীয় সমস্ত মানগুলি প্রকৃতপক্ষে উপস্থিত হতে পারে - কিছুই অসম্ভব।

ফলাফল সম্পর্কে বিশেষত গভীর বা রহস্যজনক কিছুই নেই তা দেখানোর জন্য, এই উত্তরটি প্রথমে সম্পূর্ণরূপে প্রাথমিক সমাধান উপস্থাপন করে, কেবলমাত্র স্পষ্ট সত্যটির প্রয়োজন হয় - বর্গগুলির প্রত্যাশিত মান - এটি অবশ্যই নেতিবাচক হবে। এটি একটি সাধারণ সমাধান অনুসরণ করে (যা কিছুটা পরিশীলিত বীজগণিত তথ্য ব্যবহার করে)।

প্রাথমিক সমাধান

এর যে কোনও লিনিয়ার সংমিশ্রণের বৈচিত্র অবশ্যই অ-নেতিবাচক হতে হবে। $x,y,z$ এই ভেরিয়েবলগুলির বৈকল্পিকগুলি যথাক্রমে এবং । সবগুলিই ননজারো (অন্যথায় কিছু সম্পর্কিত সংজ্ঞা সংজ্ঞায়িত হবে না)। পরিবর্তনের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে আমরা গণনা করতে পারি $\sigma^2, \tau^2,$ $\upsilon^2$

0 \leq Var (α x / σ + β y / τ + γ z / υ) = α^{2} + β^{2} + γ^{2} + 2 ρ (α β + β γ + γ α)

$0 \le \text{Var}(\alpha x/\sigma + \beta y/\tau + \gamma z/\upsilon) = \alpha^2 +\beta^2+\gamma^2 + 2\rho(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$

সমস্ত আসল সংখ্যার জন্য । $(\alpha, \beta, \gamma)$

ধরে নেওয়া যাক , একটু বীজগাণিতিক ম্যানিপুলেশন বোঝা এই সমতূল্য $\alpha+\beta+\gamma\ne 0$

\frac{- ρ}{1 - ρ} \leq \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{(α^{2} + β^{2} + γ^{2}) / 3}}{(α + β + γ) / 3})}^{2} .

$\frac{-\rho}{1-\rho} \le \frac{1}{3} \left(\frac{\sqrt{(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)/3}}{(\alpha+\beta+\gamma)/3}\right)^2.$

ডানদিকে বর্গক্ষেত্র শব্দটি দুটি পাওয়ার মাধ্যমের অনুপাত । প্রাথমিক ক্ষমতা- গড় বৈষম্য (ওজন সঙ্গে ) asserts যে অনুপাত অতিক্রম করতে পারে না (এবং সমান হবে যখন )। তারপরে আরও কিছুটা বীজগণিত সূচিত করে $(\alpha, \beta, \gamma)$ $(1/3, 1/3, 1/3)$ $1$ $1$ $\alpha=\beta=\gamma\ne 0$

ρ \geq - 1 / 2.

$\rho \ge -1/2.$

নীচে এর সুস্পষ্ট উদাহরণ (ত্রিভুজযুক্ত সাধারণ পরিবর্তনশীল জড়িত ) দেখায় যে এরকম সমস্ত মান প্রকৃতপক্ষে পারস্পরিক সম্পর্ক হিসাবে দেখা দেয়। এই উদাহরণটি কেবল বহুবিধ সাধারণের সংজ্ঞা ব্যবহার করে তবে অন্যথায় ক্যালকুলাস বা লিনিয়ার বীজগণিতের কোনও ফলাফলের জন্য প্রার্থনা করে না। $n=3$ $(x,y,z)$ $-1/2 \le \rho \le 1$

সাধারণ সমাধান

সংক্ষিপ্ত বিবরণ

যে কোনও পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স হ'ল মানকযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স, কোথাও - সমস্ত পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সের মতো - এটি অবশ্যই ইতিবাচক আধা-নির্দিষ্ট হতে হবে। সমানভাবে, এর ইজেনভ্যালুগুলি অ-নেতিবাচক। এটি simple উপর একটি সাধারণ শর্ত আরোপ করে : এটি অবশ্যই চেয়ে কম হবে না (এবং অবশ্যই এটি বেশি হতে পারে না )। বিপরীতভাবে, এমন কোন আসলে, কিছু trivariate বিতরণের পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স অনুরূপ প্রতিপাদন এই সীমার tightest সম্ভব। $\rho$ $-1/2$ $1$ $\rho$

Ho rh এর শর্তগুলির $\rho$

সমান সমস্ত অফ-ডায়াগোনাল মানগুলির সাথে বাই রিলেশন ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন(প্রশ্নটি কেস নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে তবে এই সাধারণীকরণটি বিশ্লেষণ করা আর কঠিন নয়)) আসুন একে বলি সংজ্ঞা দ্বারা, প্রদান একজন eigenvalue অস্তিত্ব আছে একটি অশূন্য ভেক্টর হয় যেমন যে $n$ $n$ $\rho.$ $n=3,$ $\mathbb{C}(\rho, n).$ $\lambda$ $\mathbf{x}_\lambda$

C (ρ, n) x_{λ} = λ x_{λ} .

$\mathbb{C}(\rho,n) \mathbf{x}_\lambda = \lambda \mathbf{x}_\lambda.$

এই ইগ্যালভ্যালুগুলি বর্তমান ক্ষেত্রে সন্ধান করা সহজ, কারণ

লেটিং , কম্পিউট যে $\mathbf{1} = (1, 1, \ldots, 1)'$

$C (ρ, n) 1 = (1 + (n - 1) ρ) 1 .$ $\mathbb{C}(\rho,n)\mathbf{1} = (1+(n-1)\rho)\mathbf{1}.$
লেটিং একটি সঙ্গে শুধুমাত্র (স্থানের জন্য ), এটি গণনা করুন $\mathbf{y}_j = (-1, 0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)$ $1$ $j^\text{th}$ $j = 2, 3, \ldots, n$

$C (ρ, n) y_{j} = (1 - ρ) y_{j} .$ $\mathbb{C}(\rho,n)\mathbf{y}_j = (1-\rho)\mathbf{y}_j.$

যেহেতু এখনও পর্যন্ত ইগেনভেেক্টর পাওয়া গেছে পুরো ডাইমেনশনাল স্পেস (প্রমাণ: একটি সহজ সারি হ্রাস তাদের নির্ধারক সমান নিরঙ্কুশ মান দেখায় , যা ননজারো), তারা সমস্ত ইগেনভেেক্টরগুলির ভিত্তি গঠন করে। সুতরাং আমরা সমস্ত ইউজনুয়ালগুলি খুঁজে পেয়েছি এবং নির্ধারণ করেছি তারা হয় বা (বহুগুণে সহ পরবর্তী )। সমস্ত পারস্পরিক সম্পর্ক দ্বারা সন্তুষ্ট সুপরিচিত অসাম্যতা ছাড়াও , প্রথম এগেনভ্যালুতে নেতিবাচকতা আরও বোঝায় $n$ $n$ $n$ $1+(n-1)\rho$ $1-\rho$ $n-1$ $-1 \le \rho \le 1$

ρ \geq - \frac{1}{n - 1}

$\rho \ge -\frac{1}{n-1}$

দ্বিতীয় ইগেনভ্যালুতে নেতিবাচকতা কোনও নতুন শর্ত চাপায় না।

শর্তগুলির পর্যাপ্ততার প্রমাণ

প্রভাবগুলি উভয় দিকেই কাজ করে: প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স ননজেগিটিভ-সুনির্দিষ্ট এবং তাই একটি বৈধ পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স। এটি উদাহরণস্বরূপ, বহুজাতিক বিতরণের জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স। বিশেষত, লিখুন $-1/(n-1)\le \rho \le 1,$ $\mathbb{C}(\rho, n)$

Σ (ρ, n) = (1 + (n - 1) ρ) I_{n} - \frac{ρ}{(1 - ρ) (1 + (n - 1) ρ)} 1 1^{'}

$\Sigma(\rho, n) = (1 + (n-1)\rho)\mathbb{I}_n - \frac{\rho}{(1-\rho)(1+(n-1)\rho)}\mathbf{1}\mathbf{1}'$

বিপরীত জন্য যখন উদাহরণস্বরূপ, যখন $\mathbb{C}(\rho, n)$ $-1/(n-1) \lt \rho \lt 1.$ $n=3$

Σ (ρ, 3) = \frac{1}{(1 - ρ) (1 + 2 ρ)} (\begin{array}{ccc} ρ + 1 & - ρ & - ρ \\ - ρ & ρ + 1 & - ρ \\ - ρ & - ρ & ρ + 1 \end{array}) .

$\color{gray}{\Sigma(\rho, 3) = \frac{1}{(1-\rho)(1+2\rho)} \left( \begin{array}{ccc} \rho +1 & -\rho & -\rho \\ -\rho & \rho +1 & -\rho \\ -\rho & -\rho & \rho +1 \\ \end{array} \right)}.$

এলোমেলো ভেরিয়েবলের ভেক্টরকে বিতরণ ফাংশন থাকতে দিন $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$

f_{ρ, n} (x) = \frac{\exp (- \frac{1}{2} x Σ (ρ, n) x^{'})}{(2 π)^{n / 2} {((1 - ρ)^{n - 1} (1 + (n - 1) ρ))}^{1 / 2}}

$f_{\rho, n}(\mathbf{x}) = \frac{\exp\left(-\frac{1}{2}\mathbf{x}\Sigma(\rho, n)\mathbf{x}'\right)}{(2\pi)^{n/2}\left((1-\rho)^{n-1}(1+(n-1)\rho)\right)^{1/2}}$

যেখানে । উদাহরণস্বরূপ, যখন এটি সমান হয় $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $n=3$

\frac{1}{\sqrt{(2 π)^{3} (1 - ρ)^{2} (1 + 2 ρ)}} \exp (- \frac{(1 + ρ) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - 2 ρ (x y + y z + z x)}{2 (1 - ρ) (1 + 2 ρ)}) .

$\color{gray}{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{3}(1-\rho)^2(1+2\rho)}} \exp\left(-\frac{(1+\rho)(x^2+y^2+z^2) - 2\rho(xy+yz+zx)}{2(1-\rho)(1+2\rho)}\right)}.$

এই এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স হ'ল $n$ $\mathbb{C}(\rho, n).$

ব্যক্তিত্ব

ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপগুলি functions বাম থেকে ডানে, । বিমানের কাছাকাছি ঘনত্বটি কীভাবে রেখার কাছে কেন্দ্রীভূত হওয়া থেকে স্থানান্তরিত হবে তা নোট করুন । $f_{\rho,3}.$ $\rho=-4/10, 0, 4/10, 8/10$ $x+y+z=0$ $x=y=z$

বিশেষ ক্ষেত্রে এবং এছাড়াও ডিজেনারেট ডিস্ট্রিবিউশনের মাধ্যমে উপলব্ধি করা যেতে পারে ; পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে হাইপারপ্লেন , এ এটি বিতরণকে সমানভাবে বিতরণকৃত অর্থের যোগফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে ব্যতীত আমি বিশদগুলিতে যাব না- সাধারণ বিতরণ, যদিও পরবর্তী ক্ষেত্রে (নিখুঁত ধনাত্মক সম্পর্ক) এটি দ্বারা উত্পাদিত লাইনে সমর্থিত হয় , যেখানে এটির গড় সাধারণ বিতরণ থাকে। $\rho = -1/(n-1)$ $\rho = 1$ $\mathbf{x}.\mathbf{1}=0$ $0$ $\mathbf{1}'$ $0$

অ-অবক্ষয় সম্পর্কে আরও

এই বিশ্লেষণের একটি পর্যালোচনা এটিকে পরিষ্কার করে দেয় যে পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স এর এবং rank এর একটি পদ রয়েছে এর (কারণ শুধুমাত্র একটি eigenvector রয়েছে অশূন্য eigenvalue)। জন্য , এই উভয় ক্ষেত্রে পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স অধ: পতিত করে তোলে। অন্যথায়, এর বিপরীত প্রমাণ করে যে এটি অজস্র। $\mathbb{C}(-1/(n-1), n)$ $n-1$ $\mathbb{C}(1, n)$ $1$ $n\ge 2$ $\Sigma(\rho, n)$

— whuber
সূত্র

20

আপনার পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স হয়

(\begin{matrix} 1 & ρ & ρ \\ ρ & 1 & ρ \\ ρ & ρ & 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1&\rho&\rho\\ \rho&1&\rho\\ \rho&\rho&1 \end{pmatrix}$

নেতৃস্থানীয় প্রধান নাবালিকারা যদি সমস্ত অ-নেতিবাচক হন তবে ম্যাট্রিক্সটি ইতিবাচক অর্ধ-চূড়ান্ত। প্রধান নাবালকরা হ'ল ম্যাট্রিক্সের "উত্তর-পশ্চিম" ব্লকের নির্ধারক, অর্থাৎ 1, এর নির্ধারক

(\begin{matrix} 1 & ρ \\ ρ & 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1&\rho\\ \rho&1\end{pmatrix}$

এবং পরস্পর সম্পর্ক মেট্রিক্সের নির্ধারক।

1 স্পষ্টতই ইতিবাচক, দ্বিতীয় প্রধান , যা সম্পর্ক for for এর জন্য । সম্পূর্ণ পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্সের নির্ধারক $1-\rho^2$ $\rho\in[-1,1]$

2 ρ^{3} - 3 ρ^{2} + 1.

$2\rho^3-3\rho^2+1.$

প্লটটি গ্রহণযোগ্য পারস্পরিক সম্পর্কের পরিসীমা এর উপরে ফাংশনের নির্ধারকটি দেখায় । $[-1,1]$ এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে @ স্টোচাজেথাই (যেটি আপনি নির্ধারক সমীকরণের শিকড়গুলি খুঁজে বের করে পরীক্ষা করতে পারেন) প্রদত্ত পরিসীমাটির তুলনায় ফাংশনটি অবনমিত নয়।

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক
সূত্র

আমরা কি আপনার উত্তরে ধরে নিচ্ছি না যে ? আমরা কেন পারি?

V a r () = 1

$Var( )=1$

— সমুদ্রের এক বৃদ্ধ।

1

@ আওনल्ड আপনি মনে করছেন যে "সমবায়" পড়া আছে যেখানে "পরস্পর সম্পর্ক" লেখা আছে।

— whuber

6

র্যান্ডম ভেরিয়েবল অস্তিত্ব , এবং pairwise সম্পর্কযুক্তরূপে সঙ্গে যদি এবং কেবল যদি পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক semidefinite হয়। এটি কেবল for এর জন্য ঘটে । $X$ $Y$ $Z$ $\rho_{XY} = \rho_{YZ} = \rho_{XZ} = \rho$ $\rho \in [-\frac{1}{2},1]$

— stochazesthai
সূত্র

2

আপনি খুব সহজ পদে এটি ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— এলিজাবেথ সুসান জোসেফ

1

আমি মনে করি না এমন একটি ব্যাখ্যা রয়েছে যার ম্যাট্রিক্স বীজগণিত জ্ঞানের প্রয়োজন নেই। আমি আপনাকে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাটি দেখার পরামর্শ দিই ( en.wikedia.org/wiki/… )।

— stochazesthai

4

আমি এমন একটি ব্যাখ্যা পেয়েছি যার জন্য কেবলমাত্র প্রাথমিক (উচ্চ বিদ্যালয়ের স্তর) বীজগণিত প্রয়োজন এবং এটি আমার উত্তরে অন্তর্ভুক্ত করেছি।

— শুকনো