মান যা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি বাড়িয়ে তোলে

12

আমি নিম্নলিখিত বিবৃতি দ্বারা বিস্মিত:

"সংখ্যার একটি সংখ্যার মানক বিচ্যুতি বাড়ানোর জন্য আপনাকে অবশ্যই এমন মান যুক্ত করতে হবে যা একটি থেকে বেশি মানক বিচ্যুতিটি গড় থেকে দূরে থাকবে"

তার প্রমাণ কী ? আমি অবশ্যই জানি যে আমরা কীভাবে প্রমিত বিচ্যুতিটি সংজ্ঞায়িত করি তবে সেই অংশটি আমি একরকম মিস করি বলে মনে হয়। কোন মন্তব্য?

standard-deviation

— JohnK
সূত্র

1

আপনি কি জড়িত বীজগণিত নিয়ে কাজ করার চেষ্টা করেছেন?

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

হ্যাঁ আমার আছে. আমি n + 1 মানগুলির বৈকল্পিক থেকে n মানগুলির নমুনার বৈচিত্রটি বিয়োগ করেছি এবং আমার শূন্যের চেয়ে পৃথক হওয়া প্রয়োজন। তবুও আমি বেশ তা বের করতে পারি না।

— JohnK

3

সহজ উপায়গুলির মধ্যে একটি অ্যালগরিদমকে নতুন মান এর সাথে আলাদা করে দেখান এবং তারপরে একত্রিত হয়ে দেখান যে যদি প্রবর্তন করে বাড়ায় তবে যেখানে হল প্রথম মানগুলির এবং their তাদের বৈকল্পিক অনুমান।

x_{n}

$x_n$

x_{n}

$x_n$

(x_{n} - {\bar{x}}_{n - 1})^{2} \geq \frac{n}{n - 1} v_{n - 1}

$(x_n-\bar{x}_{n-1})^2 \ge \frac{n}{n-1}v_{n-1}$

{\bar{x}}_{n - 1}

$\bar{x}_{n-1}$

n - 1

$n-1$

v_{n - 1}

$v_{n-1}$

— শুক্রবার

ঠিক আছে তবে এটি কি সাধারণ বীজগণিত দিয়ে দেখানো যেতে পারে? আমার পরিসংখ্যান সম্পর্কে জ্ঞান এত উন্নত নয়।

— JohnK

@ জনক, আপনি দয়া করে উদ্ধৃতিটির উত্সটি ভাগ করতে পারেন?

— পে ড্রো

20

জন্য কোন সংখ্যার গড় সঙ্গে , ভ্যারিয়েন্স দেওয়া হয় প্রয়োগ করা হচ্ছে প্রদত্ত সংখ্যার সংখ্যার যা আমরা প্রকাশের সুবিধার্থে বলে বোঝাতে চাই , আমাদের কাছে $N$ $y_1,y_2, \ldots, y_N$ $\displaystyle \bar{y} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$

\begin{aligned} σ^{2} & = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (y_{i} - \bar{y})^{2} \\ = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (y_{i}^{2} - 2 y_{i} \bar{y} + {\bar{y}}^{2}) \\ = \frac{1}{N - 1} [(\sum_{i = 1}^{N} y_{i}^{2}) - 2 N (\bar{y})^{2} + N (\bar{y})^{2}] \\ (1) & σ^{2} & = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (y_{i}^{2} - (\bar{y})^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^2 &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (y_i-\bar{y})^2\\ &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - 2y_i\bar{y} + \bar{y}^2\right)\\ &= \frac{1}{N-1}\left[\left(\sum_{i=1}^Ny_i^2\right) - 2N(\bar{y})^2 + N(\bar{y})^2 \right] \\ \sigma^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - (\bar{y})^2\right) \tag{1} \end{align}$

(1)

$(1)$

n

$n$

x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}

$x_1, x_2, \ldots x_n$

\bar{x} = 0

$\bar{x} = 0$

σ^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} - (\bar{x})^{2}) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}

$\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-(\bar{x})^2\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2$ আমরা যদি এখন এই ডেটা সেটটিতে একটি নতুন পর্যবেক্ষণ , তবে ডেটা নতুন নতুন রূপটি সুতরাংএর চেয়ে বড় হওয়া দরকার

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

\frac{1}{n + 1} \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i} = \frac{n \bar{x} + x_{n + 1}}{n + 1} = \frac{x_{n + 1}}{n + 1}

$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_i = \frac{n\bar{x} + x_{n+1}}{n+1} = \frac{x_{n+1}}{n+1}$

\begin{aligned} {\hat{σ}}^{2} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n + 1} (x_{i}^{2} - \frac{x_{n + 1}^{2}}{(n + 1)^{2}}) \\ = \frac{1}{n} [((n - 1) σ^{2} + x_{n + 1}^{2}) - \frac{x_{n + 1}^{2}}{n + 1}] \\ = \frac{1}{n} [(n - 1) σ^{2} + \frac{n}{n + 1} x_{n + 1}^{2}] \\ > σ^{2} only if x_{n + 1}^{2} > \frac{n + 1}{n} σ^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\sigma}^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n+1} \left(x_i^2-\frac{x_{n+1}^2}{(n+1)^2}\right)\\ &= \frac{1}{n}\left[\left((n-1)\sigma^2 + x_{n+1}^2\right) - \frac{x_{n+1}^2}{n+1}\right]\\ &= \left.\left.\frac{1}{n}\right[(n-1)\sigma^2 + \frac{n}{n+1}x_{n+1}^2\right]\\ &> \sigma^2 ~ \text{only if}~ x_{n+1}^2 > \frac{n+1}{n}\sigma^2. \end{align}$

| x_{n + 1} |

$|x_{n+1}|$

σ \sqrt{1 + \frac{1}{n}}

$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ বা, আরো সাধারণভাবে, গড় থেকে পৃথক করতে হবে বেশি মূল ডেটা সেট data , ক্রমবর্ধমান ডেটা সেট করার জন্য মূল ডেটা সেটের চেয়ে আরও বড় বৈকল্পিক রয়েছে। রে কোপম্যানের যা যে নতুন as অনুসারে মূল বৈকল্পিকের চেয়ে বেশি, ঠিক, বা than এর চেয়ে কম পৃথক।

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

\bar{x}

$\bar{x}$

σ \sqrt{1 + \frac{1}{n}}

$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

σ \sqrt{1 + \frac{1}{n}}

$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

5

+1 টি অবশেষে কারো এটা সঠিক পায় ... ;-) বিবৃতি প্রমাণ করা হয় সঠিক; এটা ঠিক টাইট না। ঘটনাক্রমে, আপনি তৈরি করতে আপনার পরিমাপের বেছে নিতে পারেন যা গণনাটিকে আরও সরল করে, প্রায় দুই লাইনে হ্রাস করে।

σ^{2} = 1

$\sigma^2=1$

— whuber

আমি আপনাকে প্রথম সমীকরণের সিগমা পরিবর্তে এস ব্যবহার করার পরামর্শ দিচ্ছি এবং উত্সের জন্য ধন্যবাদ। জেনে রাখা ভাল ছিল :)

— থিওডেন

3

ধাঁধা বিবৃতি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি বৃদ্ধি জন্য একটি প্রয়োজনীয় কিন্তু অপর্যাপ্ত শর্ত দেয়। পুরাতন নমুনা আকার হয় তাহলে , পুরাতন গড় , পুরাতন স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন হয় , এবং একটি নতুন পয়েন্ট তথ্য যোগ করা হয়, তারপরে নতুন স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন চেয়ে কম হবে, এর সমান, বা তার চেয়ে অনেক বেশী অনুযায়ী যেমনতার কমে সমান, বা তার চেয়ে অনেক বেশী, চেয়ে । $n$ $m$ $s$ $x$ $s$ $|x-m|$ $s\sqrt{1+1/n}$

— রে কোপম্যান
সূত্র

1

আপনার হাতে কি প্রমাণ আছে?

— JohnK

2

বীজগণিতকে বাদ দিয়ে (যা কাজ করে) এটি সম্পর্কে এইভাবে ভাবুন: মানক বিচ্যুতিটি তারতম্যের বর্গমূল। বৈচিত্রটি গড় থেকে স্কোয়ার দূরত্বের গড়। আমরা যদি এর চেয়ে নিকটেতম কোনও মান যুক্ত করি তবে তারতম্য সঙ্কুচিত হবে। আমরা যদি এর চেয়ে গড় থেকে আরও বেশি মূল্য যুক্ত করি তবে এটি বৃদ্ধি পাবে।

এটি মান-নেতিবাচক যে কোনও গড়ের ক্ষেত্রে সত্য। আপনি যদি গড়ের চেয়ে বেশি যে কোনও মান যুক্ত করেন, গড়টি বৃদ্ধি পায়। যদি আপনি কোনও মান যুক্ত করেন তবে এটি হ্রাস পায়।

— পিটার ফ্লুম - মনিকা পুনরায়
সূত্র

আমি পাশাপাশি একটি কঠোর প্রমাণ দেখতে চাই। আমি যখন নীতিটি বুঝতে পারি তখন আমি এই বিষয়টি নিয়ে হতবাক হয়ে পড়েছি যে মানটি গড় থেকে কমপক্ষে 1 বিচ্যুতি হতে হবে। ঠিক 1 কেন?

— JohnK

আমি বিভ্রান্তিকর কি তা দেখছি না। বৈকল্পিক গড় হয়। আপনি যদি গড়ের চেয়ে বড় কিছু (তবে 1 এসডি এর বেশি) যুক্ত করেন তবে এটি বৃদ্ধি পায়। তবে আমি প্রথাগত প্রমাণের জন্য এক নই

— পিটার ফ্লুম - মনিকা পুনরায়

এটি 0.2 স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দ্বারা গড়ের চেয়ে বেশি হতে পারে। কেন তখন বাড়বে না?

— JohnK

না, ডেটা গড়ের চেয়ে বড় নয়, বৈচিত্রের চেয়ে বড়, যা স্কোয়ার দূরত্বের গড়।

— পিটার ফ্লুম - মনিকা পুনরায়

4

এটি বিভ্রান্তিকর কারণ একটি নতুন মান অন্তর্ভুক্ত করার সাথে গড় পরিবর্তন হয়, তাই সমস্ত অবশিষ্টাংশ পরিবর্তিত হয়। এটা অনুমেয় যে নতুন মানটি পুরানো গড় থেকে অনেক দূরে থাকলেও এসডি-তে এর অবদান অন্য মানগুলির অবশিষ্টাংশের বর্গের যোগফল হ্রাস করে ক্ষতিপূরণ দেওয়া যেতে পারে। কঠোর প্রমাণ কার্যকর হওয়ার একাধিক কারণগুলির মধ্যে এটি একটি: এগুলি কেবল কারও জ্ঞানের সুরক্ষা দেয় না, পাশাপাশি অন্তর্দৃষ্টি (এবং এমনকি নতুন তথ্য )ও সরবরাহ করে। উদাহরণস্বরূপ, প্রমাণটি দেখিয়ে দেবে যে এসডি বাড়ানোর জন্য আপনাকে এমন একটি নতুন মান যুক্ত করতে হবে যা এসডি বাড়ানোর জন্য গড় থেকে এক এসডির চেয়ে আরও কড়া ।

— whuber

2

Z = \frac{x - μ}{σ} .

$Z = \frac{x-\mu}{\sigma} .$

x

$x$

Z

$Z$

x

$x$

σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} Z_{i}^{2}}{N - 1}}

$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}Z_i^2}{N-1}}$

σ

$\sigma$

Z_{N}

$Z_N$

— wcampbell
সূত্র

এমন একটি সংখ্যার যার নিখুঁত মান 1 এর চেয়ে কম, যখন এটি বর্গক্ষেত্র হয় তখন এটি এবিএসে 1 এরও কম হতে চলেছে। মান। তবুও আমি যা বুঝতে পারি না তা হ'ল জেড_এন যদি সেই বিভাগে আসে তবে আমরা positive এর ইতিবাচক মান যুক্ত করছি, তাই এটি কি বাড়ানো উচিত নয়?

— জনকে

Z_{N + 1}

$Z_{N+1}$

1

N

$N$

σ

$\sigma$

\sum Z_{i}^{2}

$\sum Z_i^2$

ঠিক কী প্রকাশ করার চেষ্টা করছিলাম!

— ডাব্লু ক্যাম্পবেল

Z_{i}

$Z_i$

N - 1

$N-1$