আইআইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলস (কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের ওয়ার্কশিট) এর যোগফলের যোগফলের প্রত্যাশা

Question

আমি একটি সাক্ষাত্কারের জন্য প্রস্তুতি নিচ্ছি যার বুনিয়াদি সম্ভাবনার একটি সুনির্দিষ্ট জ্ঞান প্রয়োজন (কমপক্ষে সাক্ষাত্কারটি দিয়ে যাওয়ার জন্য)। আমি আমার ছাত্র দিবস থেকে নীচের শিটটি রিভিশন হিসাবে কাজ করছি। এটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই সহজ সরল, তবে আমি 12 টি প্রশ্নের পুরোপুরি স্ট্যাম্পড।

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

কোন সাহায্য প্রশংসা করা হবে।

সম্পাদনা: প্রশ্নটি হ'ল:

ধরুন যে স্বতন্ত্রভাবে positive এবং দিয়ে ইতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি বিতরণ করা হয়েছে । যাক । দেখান যে যখন , এবং যখন ।$X_1, X_2, ...$$\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$$\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$$m>=n$

আসলে, এটি টাইপ করার প্রক্রিয়াতে, আমি দ্বিতীয় অংশটি সমাধান করেছি।

জন্য ,$m>=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

এবং উপরের অনুপাতের অঙ্ক এবং ডিনোমিনিটর স্পষ্টভাবে স্বতন্ত্র, সুতরাং:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

এবং আমরা কাঙ্ক্ষিত ফলাফল প্রাপ্ত।

আমি এখনও প্রথম অংশে আটকে আছি যদিও।

Comments

পোস্টগুলি স্বাবলম্বী হওয়া জরুরী। প্রশ্নের পাঠযোগ্য সংস্করণ অন্তর্ভুক্ত করতে দয়া করে এটি সম্পাদনা করুন। আমরা আরও জিজ্ঞাসা করি যে আপনি কী পদ্ধতির চেষ্টা করেছেন এবং কোন অগ্রগতি, যদি কোনও হয়েছে তবে আপনি নির্দেশিত করেছেন: অন্যথায় উত্তরগুলি কীভাবে লিখতে হবে তা নির্ধারণ করার জন্য আমাদের কোনও ভিত্তি নেই।

— হোবার

অনুরোধ হিসাবে আপডেট করা হয়েছে।

— স্পাই_লর্ড

ভাল করেছ! এখানে প্রথম অংশ জন্য কোনো প্রস্তাবনা রয়েছে: যখন আপনি যোগ এর অভিন্ন কপি একসঙ্গে, দেখে মনে হচ্ছে সমষ্টি মত একটি বন্টন যার প্রত্যাশা শুধুমাত্র IID ধৃষ্টতা ব্যবহার গনা সহজ হবে। $n$$S_m/S_n$

— হোবার

আপনার প্রস্তাবটি লিখে দেওয়ার জন্য আমি তার প্রশংসা করি; আমি মনে করি এটি আমাদের সাইটে একটি দরকারী সংযোজন হবে।

— whuber

ঠিক আছে আমি মনে করি যে পদক্ষেপটি আমি প্রথমে সঠিক বলে মনে করেছি, তারপরে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল ভুল, আসলে কী ঠিক! মূলত, যখন আপনি যেখানে আপনি পেতে তারপর এই, IID সম্পত্তি দ্বারা, অভিন্ন আপনি কি তা নিশ্চিত করতে পারবেন? তা হলে আমি তাড়াতাড়ি তাড়াতাড়ি টাইপ করব। $\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$

— স্পাই_লর্ড 21

Answer 1

যোগ করার জন্য spotting এর অভিন্ন কপি খুব চালাক হয়! তবে আমাদের মধ্যে কিছু ততটা চালাক নয়, তাই বিগ আইডিয়াটি এমন একটি পর্যায়ে "স্থগিত" করতে সক্ষম হলাম, যেখানে এটি করা আরও সুস্পষ্ট। কোথা থেকে শুরু করতে হবে তা না জেনে, এমন অনেকগুলি ক্লু উপস্থিত রয়েছে যা প্রতিসামগ্রীটি সত্যই গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে (সংযোজনটি সমান্তরাল এবং আমাদের কিছু সংক্ষেপণ রয়েছে, এবং আইআইডি ভেরিয়েবলগুলির একই প্রত্যাশা থাকে যাতে সম্ভবত এগুলি প্রায় বদলে নেওয়া বা দরকারী উপায়ে নামকরণ করা যেতে পারে)। প্রকৃতপক্ষে এই প্রশ্নের "হার্ড" বিটটি কীভাবে বিভাগের সাথে ডিল করতে হয়, যে অপারেশনটি প্রতিসম নয় । আমরা কীভাবে সংক্ষেপের প্রতিসাম্যকে কাজে লাগাতে পারি? প্রত্যাশা রৈখিকতা থেকে আমাদের আছে:$n$$S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

তবে এরপরে ভিত্তিতে, এবং , ডানদিকে সমস্ত শর্ত একই! কেন? লেবেল পরিবর্তন করুন এবং জন্য । হর সুইচ অবস্থানে দুটি পদ কিন্তু এটি এখনও করতে অঙ্কের পুনঃক্রমবিন্যাস পর , যেহেতু লব পরিবর্তন থেকে করার । সুতরাং । আসুন লেখ জন্য এবং যেহেতু আছে শর্ত আছে ।$X_i$$m \le n$$X_i$$X_j$$i, j \le n$$S_n$$X_i$$X_j$$\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$$\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$$1 \le i \le n$$m$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

দেখে মনে হচ্ছে যেন যা সঠিক ফলাফল করবে। তবে কীভাবে প্রমাণ করবেন? আমরা জানি$k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

এটি কেবলমাত্র এই পর্যায়েই এটি আমার উপর ছড়িয়ে পড়েছিল, আমি এটিগুলি একসাথে যুক্ত করা উচিত, প্রাপ্ত করার জন্য

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

এই পদ্ধতিটি সম্পর্কে দুর্দান্ত যা এটি প্রশ্নের দুটি অংশের একতা সংরক্ষণ করে। প্রতিসাম্যটি নষ্ট হওয়ার কারণ, যখন সময় সামঞ্জস্যের প্রয়োজন হয় , তা হ'ল প্রত্যাশার রৈখিকতা প্রয়োগের পরে ডানদিকে শর্তগুলি দুটি প্রকারের হবে, উপর নির্ভর করে যে সংখ্যার যোগফলের যোগফলের মধ্যে রয়েছে whether (আগের মতই আমি লেবেল সুইচ করতে পারেন এবং উভয় হর প্রদর্শিত হিসাবে এই মাত্র সমষ্টি reorders , অথবা যদি তন্ন তন্ন হিসাবে এই পরিষ্কারভাবে সমষ্টি অপরিবর্তিত ছেড়ে দেয়, কিন্তু এক হয়, তাহলে এবং এক তারপর এক না ডিনোমিনেটরের শর্তগুলির পরিবর্তন হয় এবং এটি আর )) আমাদের$m>n$$X_i$$X_i$$X_j$$S_n$$S_n$$i \le n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ এবং আমাদের কাছে , বলুন। যেহেতু আমাদের আগের পদগুলির রয়েছে, এবং পরবর্তীটির রয়েছে,$i>n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$$n$$m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

তারপর খোঁজার স্বাধীনতার ব্যবহার সহজবোধ্য এবং জন্য :$r$$S_n^{-1}$$X_i$$i>n$$r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

সুতরাং একই "কৌতুক" উভয় অংশের জন্য কাজ করে, এটি কেবল ক্ষেত্রে দুটি ক্ষেত্রে ডিলের সাথে জড়িত । আমি সন্দেহ করি এই কারণেই কেন এই প্রশ্নের দুটি অংশ এই আদেশে দেওয়া হয়েছিল।$m>n$

Comments

প্রশ্নের মাধ্যমে আপনার চিন্তাভাবনাগুলির উপর একটি দুর্দান্ত প্রদর্শন, এবং আপনি এনকে পদক্ষেপটি সুস্পষ্ট করে তুলেছেন (আমার উত্তর সাজানো কেবল 'স্পষ্টত সমান' বলেছে)। চিয়ার্স!

— স্পাই_লর্ড

Answer 2

প্রথম অংশের জন্য ইঙ্গিতটির জন্য হোবারকে ধন্যবাদ।

ক্ষেত্রে জন্য বিবেচনা করুন$nS_m/S_n$$m<=n$

আমাদের কাছে$\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

এবং আইডির সম্পত্তি অনুসারে এটি সমান:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

সুতরাং জন্য$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$