কোন বিতরণের জন্য অসামঞ্জস্যতা স্বাধীনতা বোঝায়?

পরিসংখ্যানগুলির মধ্যে একটি সময়-সম্মানিত অনুস্মারক হ'ল "অসংলগ্নতা স্বাধীনতা বোঝায় না "। সাধারণত এই অনুস্মারকটি মনস্তাত্ত্বিকভাবে প্রশংসনীয় (এবং বৈজ্ঞানিকভাবে সঠিক) বিবৃতি দিয়ে পরিপূরক হয় "তবুও যখন দুটি ভেরিয়েবল সম্মিলিতভাবে সাধারণভাবে বিতরণ করা হয় , তখন অসামঞ্জস্যতা স্বতন্ত্রতা বোঝায়"।

আমি এক থেকে দুটিতে খুশি ব্যতিক্রমগুলির সংখ্যা বাড়িয়ে তুলতে পারি: যখন দুটি ভেরিয়েবল বার্নোল্লি-বিতরণ করা হয় , তখন আবার, নিরপেক্ষতা স্বাধীনতার ইঙ্গিত দেয়। যদি $X$ এবং $Y$ দুটি বারমৌলি আরভি হয়, $X \sim B(q_x),\; Y \sim B(q_y)$ , যার জন্য আমাদের কাছে $P(X=1) = E(X) = q_x$ , এবং জন্য সমানভাবে $Y$ , তাদের সমবায়তা

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = \sum_{S_{X Y}} p (x, y) x y - q_{x} q_{y}

$\operatorname{Cov}(X,Y)= E(XY) - E(X)E(Y) = \sum_{S_{XY}}p(x,y)xy - q_xq_y$

= P (X = 1, Y = 1) - q_{x} q_{y} = P (X = 1 ∣ Y = 1) P (Y = 1) - q_{x} q_{y}

$= P(X=1,Y=1) - q_xq_y = P(X=1\mid Y=1)P(Y=1)-q_xq_y$

= (P (X = 1 ∣ Y = 1) - q_{x}) q_{y}

$= \Big(P(X=1\mid Y=1)-q_x\Big)q_y$

অসামঞ্জস্যতার জন্য আমাদের সমবায়ু শূন্য হওয়া দরকার

Cov (X, Y) = 0 \Rightarrow P (X = 1 ∣ Y = 1) = P (X = 1)

$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0 \Rightarrow P(X=1\mid Y=1) = P(X=1)$

\Rightarrow P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) P (Y = 1)

$\Rightarrow P(X=1,Y=1) = P(X=1)P(Y=1)$

ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন হওয়ার জন্যও এটি এমন এক শর্ত।

সুতরাং আমার প্রশ্নটি: আপনি কি অন্য কোনও বিতরণ সম্পর্কে জানেন (অবিচ্ছিন্ন বা বিযুক্ত) যার জন্য নিরঙ্কুশতা স্বাধীনতা বোঝায়?

অর্থ: দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার প্রান্তিক বিতরণ রয়েছে যা একই বিতরণের অন্তর্ভুক্ত (সম্ভবত জড়িত বিতরণের প্যারামিটারগুলির জন্য বিভিন্ন মান রয়েছে), তবে আসুন একই সমর্থন হিসাবে বলা যাক। দুটি ক্ষতিকারক, দুটি ত্রিভুজাকার, ইত্যাদি। সমীকরণের সমস্ত সমাধান কি এমন হয় যে তারা জড়িত বন্টনের ফর্ম / বৈশিষ্ট্যের কারণে স্বাধীনতা বোঝায়? এটি সাধারণ প্রান্তিকের ক্ষেত্রে (তাদের দ্বিগুণ স্বাভাবিক বিতরণও দেওয়া আছে) এর পাশাপাশি বার্নোল্লি প্রান্তিকের ক্ষেত্রেও কি-অন্য কোনও ক্ষেত্রে আছে? $X,Y$ $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$

এখানে অনুপ্রেরণা হ'ল স্বাধীনতা আছে কি না তা যাচাই করার সাথে তুলনা করে সমবায়ুভাব শূন্য কিনা তা পরীক্ষা করা সহজ। সুতরাং, যদি তাত্ত্বিক বিতরণ দেওয়া হয়, কোভেরিয়েন্স পরীক্ষা করে আপনি স্বাধীনতাও পরীক্ষা করে দেখছেন (যেমন বার্নোল্লি বা সাধারণ ক্ষেত্রে যেমন হয়) তবে এটি জানার জন্য দরকারী জিনিস হবে।
যদি আমাদের দুটি প্রান্তিকের সাধারণ প্রান্তিকের দুটি থেকে নমুনা দেওয়া হয়, তবে আমরা জানি যে আমরা যদি পরিসংখ্যানগতভাবে তাদের নমুনাগুলি থেকে সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে তাদের ovক্যবদ্ধতা শূন্য, তবে আমরা এটিও বলতে পারি যে তারা স্বতন্ত্র (তবে কেবলমাত্র তাদের স্বাভাবিক প্রান্তিক রয়েছে)। দু'টি আরভি'র মার্জিনাল ছিল যেগুলি অন্য কোনও বিতরণের অন্তর্গত ছিল সে ক্ষেত্রেও আমরা একইভাবে সিদ্ধান্ত নিতে পারি কিনা তা জানার জন্য দরকারী useful

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

যৌক্তিকভাবে, এখানে কোনও প্রশ্নই আসে না: বিতরণ হিসাবে স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলগুলির কোনও জুড়ি নিন। তারা পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত কিনা, তারা ফিয়াট দ্বারা স্বাধীন ! আপনার "ডিস্ট্রিবিউশন" বলতে কী বোঝায় এবং কী ধরণের উত্তরগুলি আপনাকে দরকারী মনে করবে সে সম্পর্কে আপনার আরও সত্যতা হওয়া দরকার।

— whuber

@ তবে আমি আপনার মন্তব্য বুঝতে পারি না। আমি নিরবিচ্ছিন্নতা দিয়ে শুরু করি এবং জিজ্ঞাসা করি "যদি আমি প্রমাণ করতে পারি যে তারা অসামঞ্জস্যিত হয় কখন এটি বোঝায় যে তারাও স্বতন্ত্র"? যেহেতু প্রশ্নে বর্ণিত দুটি ফলাফল আরভি'র নির্দিষ্ট বন্টন (স্বাভাবিক বা বার্নোল্লি) এর উপর নির্ভরশীল, তাই আমি জিজ্ঞাসা করি "এর বাইরে এমন কোনও আর কোনও বিতরণ রয়েছে যার জন্য, যদি দুটি ভেরিয়েবলগুলি অনুসরণ করে, তবে এই ফলাফলগুলি ধারণ করে"?

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

যে কোনও দুটি পৃথক ভেরিয়েবল

এবং

তাদের বিতরণ হতে দিন ।

আপনার প্রশ্নের বৈধ উত্তর is নোট করুন যে আপনি একটি শর্তসাপেক্ষ প্রমাণ করতে বলছেন, যা সংজ্ঞা অনুসারে সত্য যখনই ফলস্বরূপ সত্য হয়, তার পূর্ববর্তীটির সত্য মানটি যাই হোক না কেন । সুতরাং, যুক্তির মৌলিক নিয়ম অনুসারে, স্বাধীন ভেরিয়েবলগুলির সমস্ত বিতরণ আপনার প্রশ্নের উত্তর।

X, Y

$X,Y$

F

$F$

F

$F$

— whuber

@ শুভ, আপনি স্পষ্টতই ঠিক বলেছেন। আমি এই প্রশ্নের অনুপ্রেরণার সাথে সম্পর্কিত কিছু পাঠ্য যুক্ত করেছি, যা আমি আশা করি যে আমার প্রেরণাটি কী তা স্পষ্ট করে দেয়।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

এই সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় আপনি কোন তথ্য দিয়ে শুরু করবেন? আপনার উদাহরণ গঠনের সময় থেকে মনে হয় যে আপনাকে প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য প্রান্তিক পিডিএফ দেওয়া হয়েছে এবং প্রতিটি জোড় ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কযুক্ত নয় এমন তথ্য। তারা তখন স্বতন্ত্র কিনা তা আপনি সিদ্ধান্ত নিন। এটা কি সঠিক?

— সম্ভাব্যতা

"তবুও যদি দুটি ভেরিয়েবলগুলি সাধারণত বিতরণ করা হয়, তবে নিরপেক্ষতা স্বাধীনতার ইঙ্গিত দেয়" একটি খুব সাধারণ ভুল ।

এটি কেবল তখনই প্রযোজ্য যদি তারা যৌথভাবে সাধারণত বিতরণ করা হয়।

আমি প্রায়শই দেখেছি প্রতিবিম্বিত উদাহরণটি সাধারণ এবং স্বতন্ত্র র‌্যাডম্যাচার (সুতরাং এটি সম্ভাব্যতার সাথে 0.5 বা 1 -1 হয়); তারপরে স্বাভাবিক (এর বিতরণ ফাংশনটি বিবেচনা করে পরিষ্কার), (এখানে সমস্যাটি হ'ল উদাহরণ দেখানো হবে উপর প্রত্যাশা পুনরাবৃত্তি করে , এবং সেই উল্লেখ করে হয় $X \sim N(0,1)$ $Y$ $Z=XY$ $\operatorname{Cov}(X,Z)=0$ $\mathbb{E}(XZ)=0$ $Y$ $XZ$ $X^2$ বা সম্ভাব্যতা সহ প্রতিটি 0.5) এবং এটি স্পষ্ট যে ভেরিয়েবলগুলি নির্ভরশীল (যেমন আমি যদি জানি তবে বা , সুতরাং সম্পর্কে তথ্য আমাকে সম্পর্কে তথ্য দেয় )। $-X^2$ $X>2$ $Z>2$ $Z<-2$ $X$ $Z$

এটি মনে রাখাও মূল্যবান যে প্রান্তিক বিতরণগুলি স্বতন্ত্রভাবে যৌথ বন্টন নির্ধারণ করে না। প্রান্তিক সিডিএফ এবং সহ যে কোনও দুটি আসল আরভিএস এবং নিন । তারপরে যে কোনও ফাংশনের জন্য: $X$ $Y$ $F_X(x)$ $G_Y(y)$ $\alpha<1$

H_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) G_{Y} (y) (1 + α (1 - F_{X} (x)) (1 - F_{Y} (y)))

$H_{X,Y}(x,y)=F_X(x)G_Y(y)\left(1+\alpha\big(1-F_X(x)\big)\big(1-F_Y(y)\big)\right)$

একটি বিভাজন সিডিএফ হবে। (প্রান্তিক প্রাপ্ত থেকে সীমা নিতে হিসাবে অনন্ত, যেখানে যায় জন্য। ভাইস উলটোটা ।) স্পষ্টত মান আলাদা নির্বাচন করে এর আপনি বিভিন্ন যৌথ বিতরণ পেতে পারেন! $F_X(x)$ $H_{X,Y}(x,y)$ $y$ $F_Y(y)=1$ $Y$ $\alpha$

— Silverfish
সূত্র

প্রকৃতপক্ষে. আমি "জয়েন্ট" ভুলে গেছি।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

@ আলেকোস যেহেতু প্রান্তিক বিতরণগুলি যৌথ বিতরণটি সাধারণভাবে নির্ধারণ করে না (কেবল এটি পরিষ্কার করার জন্য আমার উত্তর সম্পাদনা করা হয়েছে), এটি আপনার প্রশ্নটি কোথায় রাখবে?

— সিলভারফিশ

@ অ্যালোকোস আমি মনে করি যে এখন প্রশ্নটির পদার্থ সম্পর্কে আমার আরও ভাল ধারণা রয়েছে: দুটি প্রান্তিক বিতরণ দেওয়া, সম্ভাব্য যৌথ বিতরণের একটি অসীম সেট রয়েছে। কোন পরিস্থিতিতে শূন্য সমবায়ার শর্ত আরোপ করা আমাদের কেবল সেই যৌথ বিতরণগুলির মধ্যে একটির সাথে এখনও বাকি থাকতে পারে, যেমন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন?

— সিলভারফিশ

আমি bivariate ক্ষেত্রে বিদ্ধ তাহলে যৌথ MGF সঙ্গে,

ও প্রান্তিক MGFs

এবং

, প্রশ্নটি হয়ে ওঠে: কখন

M_{X, Y} (s, t)

$M_{X,Y}(s,t)$

M_{X} (s) = M_{X, Y} (s, 0)

$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$

M_{Y} (t) = M_{X, Y} (0, t)

$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$

ইঙ্গিত দেয় যে

\frac{\partial^{2}}{\partial s \partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0}

$\frac{\partial^2}{\partial s \partial t}M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0}$

M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0) \cdot M_{X,Y}(0,t)$

— সিলভারফিশ

@Silverman আমি ধারণা পরীক্ষা হবে subindependence , en.wikipedia.org/wiki/Subindependence দেখতে এই সমস্যা মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন পরিপ্রেক্ষিতে প্রণয়ন করা যেতে পারে কিনা।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস