একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট ধরে নেয় এমন সম্ভাবনা

Question

আমি একটি প্রারম্ভিক পরিসংখ্যান শ্রেণিতে রয়েছি যেখানে ধারাবাহিক এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি as হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে । আমি বুঝতে পারি যে এর অবিচ্ছেদ্য তবে আমি ক্রমাগত এলোমেলো ভেরিয়েবলের দিয়ে এটিকে সংশোধন করতে পারি না। বলুন এক্স হ'ল ট্রেন আসার সময় থেকে মিনিটের সংখ্যার সমান এলোমেলো পরিবর্তনীয়। এখন থেকে ঠিক ১০ মিনিট পরে ট্রেনটি আসার সম্ভাবনাটি আমি কীভাবে গণনা করব? কিভাবে এই সম্ভাবনা শূন্য হতে পারে? এটা কি সম্ভব না? কি হবে যদি ট্রেন নেই এখন থেকে ঠিক 5 মিনিট পৌঁছা যে, তা কিভাবে ঘটতে পারে যদি এটি সম্ভাব্যতা 0 ছিল?a ∫ a f ( x ) d x = $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$$\int\limits_a^af(x)dx=0$

ধন্যবাদ।

Comments

এগুলির কয়েকটি প্রশ্নের মাথায় দাঁড় করা সহায়ক। উদাহরণস্বরূপ , যদি আপনার অন্তর্দৃষ্টিটি বলে যে প্রতিটি সম্ভাব্য সময়ে অবশ্যই কিছু কঠোর ইতিবাচক সম্ভাবনা থাকতে হবে - কারণ যে কোনও বিরতিতে সম্ভাব্য সময়ের একটি অগণিত সেট রয়েছে - আপনার অন্তর্নিহিততা বোঝায় মোট সম্ভাবনা অসীম। স্পষ্টতই যে অন্তর্দৃষ্টি ভুল। একটি জিনিস যেটিকে ছেড়ে দিতে হবে তা হ'ল এই ধারণাটি যে শূন্যের সম্ভাব্যতা অসম্ভবকে বোঝায়: এটি সত্য নয়। একইভাবে, একজনের সম্ভাব্যতা একটি নির্দিষ্টতা বোঝায় না।

— whuber

@ ভুবার এটাই আমি সংশোধন করতে পারি না। যদি কোনও ইভেন্ট হওয়ার সম্ভাবনা 0 হয় তবে তা কখনই ঘটে না never উদাহরণস্বরূপ, যদি আমার একটি স্ট্যান্ডার্ড ছয়-পার্শ্বযুক্ত ডাই হয় তবে আমি যে কোনও সংখ্যা roll রোল করার সম্ভাবনাটি 0 এবং তাই হবে কখনো ঘটেনি. তদুপরি, সম্ভাব্যতা 1 এর একটি ইভেন্ট পরবর্তী পরীক্ষায় কীভাবে নিশ্চিত হওয়া যায় না? আপনি একটি উদাহরণ দিতে পারেন? $\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— জিওফ্লিটল

ধরুন আপনি একটি বৃত্ত দেখেন যার মধ্যে একটি জ্যাড প্রদর্শিত হয় এবং এটি একটি ব্যাস হিসাবে উপস্থিত হয়, আপনাকে অবাক করে জিজ্ঞাসা করে "" এলোমেলোভাবে নির্বাচিত জ্যাটি ব্যাস না হওয়ার কী সুযোগ ছিল ? " পরিধি বরাবর অভিন্ন এবং স্বতন্ত্রভাবে এক জোড়া পয়েন্ট বেছে নিয়ে জোর যখন প্রাপ্ত হয়, উত্তরটি , তবে এই ঘটনাটি ঘটেনি। এটি প্রমাণ দেয় (বেশ শক্তিশালী!) যে জোর আপনার পোস্ট করা এলোমেলো প্রক্রিয়াটির ফলাফল নয়। এই জাতীয় চিন্তার পরীক্ষাগুলি দ্বারা সরবরাহিত একটি পাঠ হ'ল সীমাবদ্ধ সম্ভাবনার জায়গাগুলির উপর ভিত্তি করে অন্তর্দৃষ্টিগুলি সর্বদা সাধারণ হয় না। $1$

— whuber

Answer 1

আপনি 'এখন থেকে পাঁচ মিনিট' সম্পর্কিত কিছু সীমাবদ্ধ সময় হিসাবে (যা একটি ননজারো সম্ভাবনা থাকতে পারে) সম্পর্কিত ফাঁদে পড়তে পারেন।

অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীল অর্থে "এখন থেকে পাঁচ মিনিট" সত্যই তাত্ক্ষণিক।

কল্পনা করুন যে পরবর্তী ট্রেনটির আগমন 8:00 থেকে 8: 15 এর মধ্যে সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে। আরও কল্পনা করুন যে আমরা কোনও ট্রেনের আগমনকে সংজ্ঞায়িত করেছি কারণ তাত্ক্ষণিকভাবে ট্রেনের সামনে এসে স্টেশনের একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টটি (সম্ভবত প্ল্যাটফর্মের মাঝামাঝি যদি এর চেয়ে ভাল কোনও চিহ্ন নেই) পাস করে। সম্ভাব্যতার নিম্নলিখিত ক্রমটি বিবেচনা করুন:

ক) কোনও ট্রেন 8:05 থেকে 8:10 এর মধ্যে আসার সম্ভাবনা

খ) কোনও ট্রেন 8:05 থেকে 8:06 এর মধ্যে আসার সম্ভাবনা

গ) সম্ভাব্যতা একটি ট্রেন 8:05:00 থেকে 8:05:01 এর মধ্যে আসবে

ঘ) সম্ভাব্যতা একটি ট্রেন 8:05:00 থেকে 8: 05: 00.01 (অর্থাত্ সেকেন্ডের এক শততম স্থানের মধ্যে) পৌঁছায়

ঙ) পরে কোনও ট্রেন 8:05 এবং এক সেকেন্ডের এক বিলিয়ন ভাগের মধ্যে আসার সম্ভাবনা

চ) পরে কোনও ট্রেন 8:05 এবং এক সেকেন্ডের এক চতুর্থাংশের মধ্যে আসার সম্ভাবনা

... ইত্যাদি

8 : 05- এ এটি স্পষ্টভাবে উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনাটি হ'ল এর মতো সম্ভাবনার ক্রমের সীমিত মান। সম্ভাবনা প্রতি চেয়ে ছোট ।$\epsilon>0$

Comments

আমি এটি বুঝতে পারি, তবে, ধরেই নেওয়া ট্রেনটি আসবে, এটি কোনও কোনও সময়ে পৌঁছেছে। কেন এই সীমা এখনও কিছু সম্ভাবনার রূপান্তর করতে পারে না?

— জিওফ্লিটল

যদি আপনি এটি বুঝতে পারেন, যেমন আপনি বলেছেন, আপনি নির্দেশিত ফ্যাশনে সম্ভাবনাটি গুণতে পারেন । আমাকে আরও সহজ করে তুলুন: গণনার সুবিধার জন্য কল্পনা করুন যে ট্রেনটি "আসার" সঠিক সময়টি (তবে আমরা এটি সংজ্ঞায়িত করি, যতক্ষণ না এটি আসলে অবিরত থাকে) বিরতিতে (0,1) একসাথে বিতরণ সময়ে (যাই হোক না কেন) একটি সুবিধাজনক সময় ইউনিট)। বিরতিতে কিছুটা এক্সের জন্য টাইম আগে ট্রেনটি আসার সম্ভাবনা কী ? এক্স এক্সের পরে এটি আসার সম্ভাবনা কী ? এটি x এবং x + d x এর মধ্যে আসার সম্ভাবনা কত ? ... (সিটিডি)$x$$x$$x$$x$$x+dx$

— গ্লেন_বি -রেইনস্টেট মনিকা

(ctd) ... এটা বলতে 'সময় আসে , মানে হলো "যেমন যে গত সম্ভাব্যতা সীমা কি একটি ক্রমাগত পরিবর্তনশীল জন্য' ঘ এক্স → 0 ? । সুতরাং, কি যে সীমা আছে? ওয়ার্ক আউট! সেই হয় সম্ভাবনাটি রূপান্তরিত করে। এই বৈশিষ্ট্যটি নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত যা একটি অবিচ্ছিন্ন $x$$dx\to 0?$

— পিডিএফকে

আরও মনে রাখবেন যদি যে গত সীমা (সামনে কিছুই কিন্তু শূন্য, আপনার তিনটি সম্ভাব্যতা হল পর এক্স "এ" এবং এক্স ) 1. যুক্ত করবে না$x$$x$$x$

— Glen_b -Reinstate মনিকা

Answer 2

যদি ট্রেনটি এখন থেকে ঠিক 5 মিনিটের মধ্যে পৌঁছায় তবে সম্ভাব্যতা 0 থাকলে এটি কীভাবে ঘটতে পারে?

একটি সম্ভাব্য বিবৃতি কোনও ঘটনার সম্ভাবনা / সম্ভাব্যতা সম্পর্কে বিবৃতি নয় । এটি কেবল এটি ঘটছে সম্পর্কে আমাদের অনিশ্চয়তার পরিমাণ প্রমাণ করার জন্য আমাদের প্রয়াসকে প্রতিফলিত করে। সুতরাং যখন কোনও ঘটনা অবিরত থাকে (বা এক হিসাবে মডেল করা হয়), তখন আমাদের সরঞ্জামগুলি এবং বর্তমান জ্ঞানের অবস্থা আমাদের নির্দিষ্ট মান নিয়ে এটি সম্পর্কে কোনও সম্ভাব্য বিবৃতি দেওয়ার অনুমতি দেয় না । আমরা কেবলমাত্র একটি পরিসীমা সম্পর্কিত বিবৃতি দিতে পারিমান। অবশ্যই এখানে স্বাভাবিক কৌশলটি সমর্থনকে বিযুক্ত করা, একক মানের চেয়ে মানগুলির "ছোট" অন্তর বিবেচনা করা। যেহেতু অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের তুলনায় দুর্দান্ত সুবিধা এবং নমনীয়তা নিয়ে আসে, তাই এটি প্রদানের পরিবর্তে খুব কম দাম হিসাবে পাওয়া গেছে, সম্ভবত আমাদের অন্তর্ভুক্ত হিসাবে বিবেচনা করতে বাধ্য হওয়াগুলির মতোই ছোট।

Comments

$\Pr(X=a)=0$$X$

হাই @ শুভ মডেল এবং ঘটনার মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে, পৃথিবীর মানচিত্র পৃথিবী নয়, তবে এটি আপনাকে পৃথিবীতে ঘোরাঘুরি করতে সহায়তা করতে পারে। আমি যখন মডেলগুলি সম্পর্কে খাঁটি বৌদ্ধিক আনন্দের জিনিস হিসাবে বিবেচনা করি না (তখন তারা যেমন হয়) তখনও আমি মডেলদের সম্পর্কে এইভাবে চিন্তা করি। "শূন্য সম্ভাবনা" ইস্যু হিসাবে, এটি একটি অপূর্ণতা-সর্বোপরি, ধারাবাহিকতার সমস্ত সুবিধা পাওয়া এবং একক মান সম্পর্কে সম্ভাব্যতার বিবৃতি দিতে সক্ষম হওয়া কি দুর্দান্ত হবে না ? তবে অসম্পূর্ণ হওয়ার কারণে অবশ্যই কিছু ক্ষেত্রে অযৌক্তিক কিছু পাওয়া যায় না এবং আমি যেমন লিখি তেমনি এই অসম্পূর্ণতা খুব কম গুরুত্বের প্রমাণিত হয়েছে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

আপনি স্পষ্টতই মনে করুন যে সম্ভাবনাটি আপনার ম্যাপিং উপমাতে "সেখানে" কিছু উদ্দেশ্যমূলক বিষয়, তবে তা তা নয়। সম্ভাবনার একটি অর্থ কেবল একটি মডেলের মধ্যে থাকে। আমি সম্ভাবনার অলঙ্কারগুলিতে কোনও "অপূর্ণতা" দেখতে পাই না এবং প্রকৃতপক্ষে, একক মানগুলির সম্ভাব্যতা সম্পর্কে সঠিক, ধারাবাহিক বিবৃতি দিতে পারে: প্রায়শই এগুলি শূন্য হয়।

— whuber

@ হুবুহু না, আমি এটি অনুমান করি না এবং আমি বুঝতে পারি না যে আমি যা লিখেছি তাতে আপনি কোথায় তা দেখেছেন। আমি বলেছিলাম "মানচিত্রটি পৃথিবী নয়", যার অর্থ "মডেলটিতে যা আছে বাস্তবে তার অস্তিত্ব নেই", সুতরাং আপনি ঠিক এর বিপরীত দিক থেকে কীভাবে অনুমান করতে পারবেন? "অসম্পূর্ণতা" সম্ভাবনার অলঙ্কারগুলিকে বোঝায় না, তবে এই অক্ষগুলি আমাদের কী কী সরঞ্জামগুলির দিকে নিয়ে যায় এবং বাস্তব বিশ্বের মডেল, অধ্যয়ন এবং বোঝার জন্য এই সরঞ্জামগুলি কীভাবে কার্যকরভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। এবং এটা স্পষ্ট যে আমি বিশ্বাস করি যে সম্ভাবনা একটি কার্যকর সরঞ্জাম।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

Answer 3

উপরের দিক থেকে আপনাকে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি দেওয়ার জন্য নিম্নলিখিত (চিন্তা) পরীক্ষার চেষ্টা করুন:

কোনও শাসকের সাথে শূন্যের কাছাকাছি একটি সত্যিকারের রেখা আঁকুন। এখন একটি তীক্ষ্ণ ডার্ট নিন এবং এটিকে এলোমেলোভাবে লাইনে পড়ুন (আসুন ধরে নেওয়া যাক আপনি সর্বদা লাইনটি আঘাত করবেন এবং যুক্তির পক্ষে কেবল পার্শ্বীয় অবস্থান সম্পর্কিত বিষয়গুলি)।

তবে বহুবার আপনি ডার্টটিকে এলোমেলোভাবে লাইনে পড়তে দিলে আপনি কখনই বিন্দু শূন্যকে আঘাত করতে পারবেন না। কেন? বিন্দু শূন্য কি তা ভাবুন, এর প্রস্থটি কী তা ভাবেন। এবং আপনি এর প্রস্থটি 0 বলে স্বীকৃতি দেওয়ার পরেও আপনি কি ভাবেন যে আপনি এটি আঘাত করতে পারেন?

আপনি কি পয়েন্ট 1, বা -2 হিট করতে সক্ষম হবেন? বা অন্য কোনও বিষয় আপনি এই বিষয়টির জন্য লাইনে দাঁড়ান?

গণিতে ফিরে যেতে, এটি দৈহিক জগতের মধ্যে পার্থক্য এবং একটি গাণিতিক ধারণা যেমন বাস্তব সংখ্যা (আমার উদাহরণে বাস্তব লাইনের দ্বারা উপস্থাপিত)। আপনার বক্তৃতায় আপনি যতটা দেখতে পাবে তার থেকে সম্ভাবনার তত্ত্বটির সম্ভাবনার যথেষ্ট জটিল জটিল সংজ্ঞা রয়েছে। ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতা এবং তার ফলাফলগুলির কোনও সংমিশ্রণের পরিমাণ নির্ধারণের জন্য আপনার সম্ভাবনা পরিমাপের প্রয়োজন। বোরেল পরিমাপ এবং লেবেসগু উভয় পরিমাপকে আসল লাইনে একটি অন্তর [a, b] এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: এই সংজ্ঞাটি থেকে আপনি দেখতে পাচ্ছেন সম্ভাবনার সাথে কী ঘটে যদি আপনি বিরতি হ্রাস করেন তবে একটি সংখ্যায় (সেটিং a = বি)

$$\mu([a,b])=b-a$$

তল লাইনটি হ'ল আমাদের সম্ভাব্য তত্ত্বের বর্তমান সংজ্ঞা (কোলমোগোরভ থেকে ডেটে) এর ভিত্তিতে যে কোনও ইভেন্টের 0 সম্ভাবনা রয়েছে তার অর্থ এটি ঘটতে পারে না।

এবং ট্রেনের সাথে আপনার উদাহরণ যতদূর যায়, আপনার যদি একটি সুনির্দিষ্ট সুনির্দিষ্ট ঘড়ি থাকে তবে আপনার ট্রেন কখনই ঠিক সময়ে আসতে পারে না।

Comments

আপনি বলছেন "আপনি কখনই বিন্দু শূন্যকে আঘাত করতে পারবেন না", তবে আপনি আমার প্রথম ডার্ট থ্রোতে যে বিন্দুটি আঘাত করেছিলেন তা সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন? যাক বিন্দু যে আমি আঘাত করা। আমার ডার্ট ছোঁড়ার আগে আপনি বলেছিলেন যে "আপনি কখনই x বিন্দুটিকে আঘাত করতে পারবেন না ", তবে আমি কেবল এটি আঘাত করেছি। এখন কি? $x$$x$

— জিওফ্লিটল

আমি মনে করি যে আপনাকে প্রশ্নের মধ্যে পার্থক্য করতে হবে: আমি কিছুটা আঘাত করার সম্ভাবনা কী? যদি আমরা সম্মত হন যে আপনি সর্বদা একটি ডার্ট ফেলে দেন এবং এটি সর্বদা লাইন বরাবর কোথাও আঘাত করে তবে এই সম্ভাবনাটি 1 Also এছাড়াও, আমি কেবল বলছি না আপনি 0 টি আঘাত করবেন না আমি বলছি যে আপনি যে কোনও পয়েন্টকে বেছে নেওয়ার সম্ভাবনাটি ডার্টটি নিক্ষেপ করার আগে 0 টি হয় প্রকৃতপক্ষে আপনি পয়েন্টগুলির যে কোনও সীমাবদ্ধ সেট বাছাই করতে পারেন এবং সম্ভাবনাটি এখনও 0 হবে

— means

আপনার প্রশ্ন সম্পর্কে, আমি আপনার বক্তব্যটি পেয়েছি, তবে ঘটনাগুলির ঘটনার পরে তার সম্ভাব্যতাগুলি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা সংবেদনশীল নয়। পি (এক্স = এক্স) এর মতো একটি বিবৃতিটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সের ভবিষ্যতের উপলব্ধি বোঝায় So সুতরাং আপনি কিছুটা আঘাত করার পরে আমি এটি সম্পর্কে কিছু বলব না। (বৃহত্তর ক্যাপগুলি কেবল সময়-প্রবাহকে দেখানোর জন্য ব্যবহৃত হয়েছিল, চিৎকার করার জন্য নয় ...)

— অর্থ-থেকে-অর্থ

Answer 4

সম্ভাব্য বন্টনের unityক্যের ক্ষেত্র থাকতে হবে। যদি পরিমাপটি অবিচ্ছিন্ন থাকে তবে এটির নিতে পারে এমন একটি অসীম সংখ্যার মান রয়েছে (অর্থাত্ বিতরণের এক্স-অক্ষ বরাবর একটি অসীম মান)। সম্ভাব্যতা বিতরণের মোট ক্ষেত্রটি সীমাবদ্ধ হওয়ার একমাত্র উপায় হ'ল মানের অসীম সংখ্যার প্রতিটি মানের জন্য শূন্য। এক অনন্ত দ্বারা বিভক্ত।

'বাস্তব জীবনে' এমন কোনও পদক্ষেপ থাকতে পারে না যা সীমাহীন সংখ্যার মান গ্রহণ করে (বিভিন্ন ধরণের দার্শনিক যুক্তি দ্বারা যা এখানে বেশি গুরুত্ব দেয় না) তাই কোনও মানের প্রয়োজন হুবহু শূন্যতার সম্ভাবনা গ্রহণ করে না। একটি কার্যকর ব্যবহারিক যুক্তি বাস্তব-বিশ্বের পরিমাপের সীমাবদ্ধতার উপর ভিত্তি করে। আপনি যদি স্টপওয়াচ ব্যবহার করেন যা সেকেন্ডের দশমাংশকে পরিমাপ করে, ট্রেনটির সেকেন্ডের দশমাংশ থাকবে যেখানে 'ঠিক' পাঁচ মিনিটে পৌঁছানো হবে।

Comments

এখানে প্রথম অনুচ্ছেদটি কিছু অস্পষ্ট অন্তর্দৃষ্টি সরবরাহ করে, যদিও অনুদানমূলক পদক্ষেপগুলি ভুল। প্রচুর বিতরণ রয়েছে যা অসীম সংখ্যার মান স্বীকার করে তবে প্রতিটি মানের কঠোর ইতিবাচক সম্ভাবনা থাকে। দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে কোনও রেকর্ডিং থেকে লাভ হতে পারে যা জোর দেয় যে প্রতিটি পরিমাপের মানের সাথে সুদের অন্তর্নিহিত পরিমাণের সম্ভাব্য মানগুলির একটি (ছোট) অন্তর অন্তর্ভুক্ত থাকে।

— কার্ডিনাল

এই প্রসঙ্গে কঠোরভাবে ইতিবাচক মান (অনন্ত দ্বারা বিভক্ত একটি সীমাবদ্ধ মান?) এবং শূন্যের মধ্যে পার্থক্য কী?

— মাইকেল লু

আমার বক্তব্য, সম্ভবত খারাপভাবে তৈরি হয়েছে, এটি হ'ল প্রথম অনুচ্ছেদে যুক্তিটি মিথ্যা ভিত্তির উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে যেহেতু এলোমেলো পরিবর্তনশীল অসীম বহু মান গ্রহণ করতে পারে, তাই প্রতিটি স্বতন্ত্র ফলাফলের অবশ্যই সম্ভাবনা শূন্য থাকতে হবে। এটি অবশ্যই ভুল (পইসন, জ্যামিতিক ইত্যাদি); "অনন্ত" ধারণাটি এখানে যথেষ্ট শক্তিশালী নয়, আমাদের অগণিততার প্রয়োজন ।

— কার্ডিনাল

Answer 5

$A$$A$

আমি আশাবাদী অন্য কোনও বিষয় সম্বোধন করার জন্য এটি লিখছি যা মন্তব্যগুলিতে ওপি বলেছিল:

আপনি বলছেন "আপনি কখনই বিন্দু শূন্যকে আঘাত করতে পারবেন না", তবে আপনি আমার প্রথম ডার্ট থ্রোতে যে বিন্দুটি আঘাত করেছিলেন তা সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন? যাক আমি যে বিন্দুতে আঘাত করেছি। আমার ডার্ট ছোঁড়ার আগে আপনি বলেছিলেন যে "আপনি কখনই বিন্দু hit" আঘাত করবেন না, তবে আমি কেবল এটি আঘাত করেছি। এখন কি?

$(\Omega, A, \mu)$$\Omega$$\mathbb{R}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$$\mu$$\mu(\Omega) = 1$$([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$$\nu$$\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$$x \in [a,b]$$\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$$A$$\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$$t < s$

$$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$$ $\mathcal{F}_1$

Comments

$\Omega.$$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$ একাধিক মৌলিক স্তরে, এটি একটি স্পষ্ট নয় যে কেন আপনি কোনও ইভেন্টের সময়টির এলোমেলো পরিবর্তনশীল মডেলিংয়ের জন্য আলোচনার জন্য স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির যন্ত্রপাতিটি গ্রহণ করতে হবে বা এটি স্পষ্ট নয় যে এটি কোনও অন্তর্দৃষ্টি দেয়।

— whuber