টি-বিতরিত এলোমেলো ভেরিয়েবলের বর্গের সমষ্টি বিতরণ

Question

আমি টি-বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল বর্গের সমষ্টি বিতরণের, লেজ এক্সপোনেন্ট সঙ্গে খুঁজছেন করছি $\alpha$ । এক্স যেখানে আরভি হয়, $X^2$ , জন্য ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম $\mathscr{F}(t)$আমাকে কনফিউশন আগে স্কয়ারের জন্য একটি সমাধান দেয় $\mathscr{F}(t)^n$।

$$\mathscr{F}(t)=\int_0^{\infty } \exp \left(i\, t\, x^2\right)\left(\frac{\left(\frac{\alpha }{\alpha +x^2}\right)^{\frac{\alpha +1}{2}} }{\sqrt{\alpha }\ B\left(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2}\right)}\right) \, \mathrm{d}x$$

সঙ্গে $\alpha=3$ , সমাধান জন্য ফুরিয়ার বিপরীত একটি করতে বিপরীত করা সম্ভব কিন্তু জবরজং এবং অসম্ভব $\mathscr{F}(t)^n$ । সুতরাং প্রশ্নটি হল: টি-বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির নমুনা বৈকল্পিক বা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি বিতরণের বিষয়ে কাজ করা হয়েছে? (এটি স্টুডেন্টটির পক্ষে হবে চ-বর্গটি গাউসের কাছে কী)) ধন্যবাদ.

(সম্ভাব্য সমাধান) আমি বুঝতে পারলাম যে $X^2$ হ'ল ফিশার $F(1,\alpha)$ বিতরণ, সুতরাং ফিশার বিতরণকৃত ভেরিয়েবলগুলির যোগফলটি দেখব।

$n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

$$g(u)=\frac{2 \alpha ^{\alpha /2} n^{n/2} u^{n-1} \left(\alpha +n u^2\right)^{-\frac{\alpha }{2}-\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{\alpha }{2}\right)}$$

Comments

$T^2$$F$$F(1,\alpha)$

Answer 1

$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

ইন্ডিপেন্ডেন্ট স্কোয়ার্ড সমষ্টি বিতরণ$t_{\alpha }$

$T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$$F(1,\alpha)$$\alpha$

$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$, বর্গক্ষেত্রের (মানক) সাধারণ পরিবর্তনের সংমিশ্রণ করার সময় আমরা যে ফলাফলটি প্রত্যাশা করি]]

একটি বিতরণ থেকে নমুনা দেওয়ার সময় বৈকল্পিকের নমুনা বিতরণ$t_{\alpha }$

আমি উপরে যা লিখেছি তা বিবেচনা করে, আপনি "এন-নমুনা টি ভেরিয়েবলগুলির স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির ঘনত্ব" এর জন্য যে অভিব্যক্তিটি পেয়েছেন তা ভুল। তবে, সঠিক বিতরণ হওয়া সত্ত্বেও, মান বিচ্যুতিটি কেবল স্কোয়ারের যোগফলের বর্গমূল নয় (যেমন মনে হয় আপনি আপনার ঘনত্বের কাছে এসেছিলেন)। আপনি পরিবর্তে of এর (স্কেলড) নমুনা বিতরণ সন্ধান করবেন । সাধারণ ক্ষেত্রে, এই এক্সপ্রেশনটির এলএইচএসকে স্কোয়ার্ড স্বাভাবিক ভেরিয়েবলের যোগফল হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে (স্কোয়ারের ভিতরে শব্দটি আবার স্বাভাবিকভাবে পরিবর্তিত হয় যা সাধারণত পরিবর্তনশীলগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে আবার লেখা যায়) যা বাড়ে পরিচিত$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$ বিতরণ। দুর্ভাগ্যক্রমে, ভেরিয়েবলগুলির একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণ (এমনকি স্বাধীনতার একই ডিগ্রি সহ) হিসাবে বিতরণ করা হয় না , সুতরাং অনুরূপ পদ্ধতির ব্যবহার করা যায় না।$t$$t$

সম্ভবত আপনি এটি প্রদর্শন করতে চান তা আবার বিবেচনা করা উচিত? উদাহরণস্বরূপ কিছু সিমুলেশন ব্যবহার করে উদ্দেশ্য অর্জন করা সম্ভব হতে পারে। যাইহোক, আপনি দিয়ে একটি উদাহরণ নির্দেশ করেন , এমন পরিস্থিতি যেখানে কেবলমাত্র এর প্রথম মুহূর্তটি সীমাবদ্ধ থাকে, তাই সিমুলেশন এই মুহুর্তের গণনাগুলিতে সহায়তা করবে না। $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

Comments

ধন্যবাদ মার্ক; প্রথম দুটি মুহুর্ত সংরক্ষিত থাকলেও প্রকৃতপক্ষে সিদ্ধান্তটি ভেঙে যায়। চি-স্কোয়ার চেষ্টা করে আবার ফিরে আসবে।

— নেরো

আমি আমার প্রশ্নটি পুনরায় চাপিয়ে দিয়েছি। বা আমার অন্য পৃষ্ঠায় পরিবর্তনগুলি পোস্ট করা উচিত?

— নিরো

নেরো - আপনার প্রশ্নের পরিবর্তনগুলি প্রশ্নটিতে উপস্থিত হওয়া উচিত। যদি এটি সহায়তা করে তবে আপনি প্রশ্নটিতে প্রশ্নটি কীভাবে পরিবর্তিত হয়েছে তা সর্বদা সিগন্যাল করতে পারেন (যদিও মনে রাখবেন যে প্রশ্ন এবং উত্তরগুলির পুরো সম্পাদনা-ইতিহাস প্রয়োজন হলে উপলব্ধ)।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 2

আপনি হোটেলিংয়ের টি-বিতরণ ( http://en.wikedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribration ) পরীক্ষা করে দেখতে চাইতে পারেন । সাথে ডিস্ট্রিবিউশন হওয়ার সাথে সম্পর্ক রয়েছে ( http://en.wikedia.org/wiki/F-dist वितरण# রিলেটেড_ড্রিট্রিবিউশনস_আর_প্রপার্টি ) তবে আমি নিশ্চিত নই যে আপনি যা চাইছেন ঠিক এটিই। $T^2$$F$