কেন স্বাধীনতা পরীক্ষা চি-স্কোয়ার বিতরণ ব্যবহার করে?

ধার্মিকতা অফ হইয়া পরীক্ষা নিম্নলিখিত ব্যবহার পরিসংখ্যাত : পরীক্ষা ইন, দেওয়া যে শর্তগুলি পূরণ করা হয়, কেউ ব্যবহার করে - পি-মান গণনা করার জন্য বিতরণ যে টি সত্য তা একই আকারের প্রতিনিধি নমুনায় এই জাতীয় মানটি পর্যবেক্ষণ করতে পারে। $\chi^2$

χ_{0}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$\chi_0^2=\sum_{i=1}^n\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

χ^{2}

$\chi^2$

H_{0}

$H_0$

যাইহোক, একটি বিতরণ ( স্বাধীনতার ডিগ্রি সহ) অনুসরণ করার জন্য একটি পরিসংখ্যান জন্য , এটি অবশ্যই সত্য হতে হবে: স্বাধীন, মানক সাধারণ ( উইকিপিডিয়া ) এর জন্য। পরীক্ষার শর্তগুলি নিম্নরূপ (আবার উইকিপিডিয়া থেকে ): $\chi_0^2$ $\chi^2$ $n-1$

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}} = \sum_{i = 1}^{n - 1} Z_{i}^{2}

$\sum_{i=1}^n\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}=\sum_{i=1}^{n-1}Z_i^2$

Z_{i}

$Z_i$

জনসংখ্যার নমুনা প্রতিনিধি
বড় আকারের নমুনা আকার
প্রত্যাশিত ঘর গণনা যথেষ্ট পরিমাণে বড়
প্রতিটি বিভাগের মধ্যে স্বাধীনতা

শর্তাবলী (1,2) থেকে এটি স্পষ্ট যে আমরা নমুনা থেকে জনসংখ্যার অনুমানের জন্য শর্তাদি পূরণ করি। (৩) প্রয়োজনীয় অনুমান বলে মনে হচ্ছে কারণ পৃথক গণনা , যা ডিনোমিনেটরে রয়েছে, প্রতিটি জন্য অবিচ্ছিন্নভাবে বিতরণ করে না এবং যদি এটি যথেষ্ট পরিমাণে বড় না হয় তবে ইয়েটসের সাথে সংশোধন করতে পারে এমন একটি ত্রুটি রয়েছে that 'সংশোধন - এটি এটিকে থেকে মনে হয় যে একটি বিতরণ বিতরণ মূলত একটি "তলিত" ধারাবাহিক হয়, সুতরাং প্রতিটির জন্য দ্বারা স্থানান্তর এটিকে সংশোধন করে। $E_i$ $Z_i$ $1/2$

(4) এর প্রয়োজনীয়তাটি পরে কাজে আসবে বলে মনে হয়, তবে কীভাবে তা দেখতে পাচ্ছি না।

প্রথমে, আমি ভেবেছিলাম যে পরিসংখ্যান বিতরণের সাথে মিলে যাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয়। এটি আমাকে প্রশ্নবিদ্ধ ধারণা ধরে নিয়েছে যে , যা আসলেই ভুল ছিল। প্রকৃতপক্ষে, থেকে এ সমতার দুটি পক্ষের মাত্রা হ্রাস থেকে এটি পরিষ্কার যে এটি হতে পারে না। $Z_i=\frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i}}$ $O_i-E_i\sim \mathcal{N}(0, \sqrt{E_i})$ $n$ $n-1$

এটি স্পষ্ট হয়ে উঠেছে, whuber এর ব্যাখ্যাগুলির জন্য ধন্যবাদ, Z_i এর প্রতিটি টার্মের সমান দরকার না কারণ আদর্শ স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল জন্য (সংকলিত ভেরিয়েবল সংখ্যা হ্রাস করে মনে রাখবেন) যা হয় বৈশিষ্ট্যগুলি স্বাধীন। $Z_i$ $\frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i}}$ $\chi_0^2=\sum_{i=1}^{n-1}Z_i^2$ $Z_i$

আমার প্রশ্ন , তাহলে, কীভাবে বিতরণ অনুসরণ করতে পারে ? পদগুলির প্রতিটির কী ধরণের সংমিশ্রণের ফলে মানের হয় ? এটি সিএলটি ব্যবহারের প্রয়োজন, স্পষ্টতই (এবং এটি উপলব্ধি করে) তবে কীভাবে? অন্য কথায় , প্রতিটি সমান (বা প্রায় সমান)? $\chi_0^2$ $\chi^2$ $\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ $Z_i^2$ $Z_i$

hypothesis-testing chi-squared

— VF1
সূত্র

আমি কৌতূহলবোধ করছি যেখানে আপনি পড়েছেন যে আপনি যে মন্তব্য করেছেন তা শেষ পর্যন্ত কেউ ধরে নিয়েছে ( )। এটি প্রয়োজনীয় নয়: standard পরিসংখ্যানগুলির একটি সাধারণ বন্টন না করে এই মানকৃত অবশিষ্টগুলির কোনও ছাড়াই একটি বিতরণ থাকতে পারে (কমপক্ষে একটি খুব ভাল আনুমানিকভাবে) distribution আপনি যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতে চেয়েছেন বলে মনে হচ্ছে এই অনুমানগুলি কীভাবে পরিসংখ্যানকে একটি বিতরণকে সমর্থন করে? তাদের দ্বারা, তারা না। কী ভুল হতে পারে তা নিয়ে আলোচনার জন্য, দয়া করে আমার পোস্টটি stats.stackexchange.com/a/17148 দেখুন ।

O_{i} - E_{i} \sim N (0, \sqrt{E_{i}})

$O_i-E_i\sim \mathcal{N}(0, \sqrt{E_i})$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2}

$\chi^2$ $\chi^2$ $\chi^2$

— whuber

দুই অঙ্কের স্কোয়ারের সমতা থেকে আপনি শেষ করতে পারবেন না বর্গের শিকড়গুলি সমান মেয়াদে মেয়াদ অনুসারে! যেহেতু নিছক সংখ্যার ক্ষেত্রে এটি অবশ্যই এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে।

— হোয়বার

এই কংক্রিট তৈরি করতে হলে, অনুমান করা হয় স্বাধীনভাবে সঙ্গে বিতরণ করা স্বাধীন ডিগ্রীগুলির থাকার ডিস্ট্রিবিউশন এবং যে কিন্তু সকলের জন্য । তারপরেও এর স্বাভাবিক না, তবুও এর বিতরণ রয়েছে।

(W_{i}), i = 1, \dots, n

$(W_i),i=1, \ldots,n$

χ

$\chi$

ν_{1}, ν_{2}, \dots, ν_{n}

$\nu_1,\nu_2,\ldots,\nu_n$

ν_{1} + ν_{2} + \dots + ν_{n} = n - 1

$\nu_1+\nu_2+\cdots+\nu_n=n-1$

ν_{i} \neq 1

$\nu_i\ne 1$

i

$i$

W_{i}

$W_i$

\sum_{i = 1}^{n} W_{i}^{2}

$\sum_{i=1}^n W_i^2$

χ^{2} (n - 1)

$\chi^2(n-1)$

— হোয়বার

যদি "স্কোয়ার স্ট্যান্ডার্ড নরমাল" বলতে আপনার অর্থ হয় "স্বতন্ত্র স্কোয়ার্ড স্ট্যান্ডার্ড নরমালদের যোগফল," তবে এটিই আমি বিশ্বাস করি যে আপনি সত্যই শুরুতে পোজ দিতে চেয়েছিলেন :-)। এবং শেষ পর্যন্ত, পরিস্থিতির বেশিরভাগ বিশ্লেষণগুলি প্রকৃতপক্ষে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যকে প্রমাণ করতে অনুরোধ করে যে মানকীকৃত অবশিষ্টাংশগুলি asympototically স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক (তবে বেশ স্বতন্ত্র নয়, এজন্যই স্বাধীনতার ডিগ্রি এবং নয় )।

n - 1

$n-1$

n

$n$

— whuber

আমি প্রত্যাশা করি এর জন্য +1 খুব শীঘ্রই একটি খুব ভাল প্রশ্ন হবে। প্রথম সমস্যা হ'ল স্বাধীনতা পরীক্ষা দাবি করা পরিসংখ্যান ব্যবহার করে না। পরিসংখ্যাত শুরুতে দেওয়া একমাত্রাবিশিষ্ট (উপর একটি সমষ্টি , বিভাগগুলি) যখন স্বাধীনতার একটি পরীক্ষা একটির বেশি পরিবর্তনশীল প্রয়োজন। পরীক্ষার নাম এবং পরিসংখ্যানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ করতে দয়া করে সম্পাদনা করুন।

n

$n$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

উত্তর:

এটি পয়সন বিতরণ সম্পর্কে। তাহলে গড় সঙ্গে পইসন হয় , তারপর ভ্যারিয়েন্স হয় এছাড়াও। এর অর্থ হ'ল entity সত্তার মতো একটি । সিএলটি দ্বারা, পোইসন গড় বাড়ার সাথে সাথে স্বাভাবিকতার দিকে ঝুঁকছে, এটি যেখানে চি-স্কোয়ার্ড আসে Yes হ্যাঁ, এটি একটি অ্যাসিম্পটোটিক পরীক্ষা। $X$ $\lambda$ $X$ $\lambda$

\frac{(X - λ)^{2}}{λ}

$\frac{(X-\lambda)^2}{\lambda}$

z^{2}

$z^2$

স্বাধীনতার ডিগ্রি কোচরানের উপপাদ্য থেকে আসে। মূলত, কোচরান ব্যাখ্যা করে যে কীভাবে চি-স্কোয়ারকে রূপান্তর করা হয় (বা অপরিবর্তিত থাকে) স্কোরগুলিতে রৈখিক রূপান্তর করতে পারে । $z^2$

\sum_{i} z_{i}^{2} = Z^{'} I Z

$\sum_i z_i^2=Z' I Z$

ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি মধ্যে। যদি স্কোয়ারের সাধারণ যোগফলের পরিবর্তে আপনি কিছু ম্যাট্রিক্স কিউর জন্য গণনা করেন তবে আপনি এখনও চি-স্কোয়ার বিতরণ দিয়ে একটি পরিমাণ পান তবে স্বাধীনতার ডিগ্রিগুলি এখন এর র‌্যাঙ্কে রয়েছে । ম্যাট্রিক্স কি-তে আরও শর্ত রয়েছে তবে এটি এর সূচনা।

Z^{'} Q Z

$Z' Q Z$

Q

$Q$

আপনি যদি কিছু ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি দিয়ে ঘুরে আপনি কে চতুর্ভুজ রূপ হিসাবে প্রকাশ করতে পারেন । কোচরান মূল স্বাভাবিক পরিবর্তনের স্বতন্ত্রতা গ্রহণ করে, এজন্য আপনার সারণির গণনার পাশাপাশি কলামগুলিও স্বতন্ত্র হতে হবে।

\sum_{i} (z_{i} - \bar{z})^{2}

$\sum_i (z_i-\bar{z})^2$

— Placidia
সূত্র

দুঃখিত, তবে আপনি অবশ্যই আমাকে "যদি এর পরিবর্তে, আপনি করেন ..."

— ভিএফ 1

@ ভিএফ 1, আমি একটি পরিবর্তন করেছি, তাই আমি আশা করি এটি আরও পরিষ্কার। কোচরেনের উপপাদ্যটি যখন আপনার স্বাভাবিকের সাথে বর্গক্ষেত্রের একটি যোগফলের চি-স্কোয়ার বিতরণ থাকে তখন আপনার প্রশ্নের উত্তর।

— প্লাসিডিয়া

ঠিক আছে, আমি এই একবার দেখুন। আমি প্রশ্নটি খোলা রেখে দেব, যদিও অন্য কারও সাথে কিছু যুক্ত করার আছে।

— ভিএফ 1

সাধারণত নমুনা আকার স্থির হয়। এর অর্থ এটি অসম্ভব যে এন্ট্রিগুলির কোনও পইসন বিতরণ অনুসরণ করতে পারে। পোইসন বিতরণের আবেদনটি অতএব দেখে মনে হচ্ছে এটি অন্যরকম অনুমান - এবং আমরা যেখানে শুরু করেছি ঠিক সেখানেই ছেড়ে চলেছে বলে মনে হচ্ছে।

— whuber

"র্যান্ডমাইজেশন এবং সিমুলেশন সহ প্রবর্তন সংক্রান্ত পরিসংখ্যান", বিভাগ ৩.৩.২ ( ওপেন ইন্ট্রোতে নিখরচায় পাঠ্যপুস্তিকা ) অনুসারে, পরীক্ষার পরিসংখ্যান প্রত্যাশার থেকে পর্যবেক্ষণের বিচ্যুতিগুলি সংগ্রহ করার চেষ্টা করছে। এবং বিচ্যুতি প্রকৃতপক্ষে শব্দটির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় $\chi^2$

Z_{i} = \frac{O_{i} - E_{i}}{\sqrt{E_{i}}}

$Z_i = \frac{O_i - E_i}{\sqrt{E_i}}$

যা আসলে থেকে উত্পন্ন ।

\frac{O_{i} - E_{i}}{(S t a n d a r d E r r o r O f T h e O b s e r v e d)}

$\frac{O_i - E_i}{(Standard Error Of The Observed)}$

পাঠ্যপুস্তক বলতে চাই যে যায় ভাল দ্বারা অনুমান করা হয় , তাই শব্দটি হয়ে। পাঠ্যপুস্তকটি আসলে এই বিকল্পটি কেন গ্রহণযোগ্য তা ব্যাখ্যা করে না এবং আমি এটিও অনুসন্ধান করতে চাই। $(StandardErrorOfTheObserved)$ $\sqrt{E_i}$ $Z_i = \frac{O_i - E_i}{\sqrt{E_i}}$

যাইহোক, আপনি ফর্মের একটি পরীক্ষা পরিসংখ্যান তৈরি করতে পারে

Z = | Z_{1} | + | Z_{2} | + | Z_{3} | + . . .

$Z = |Z_1| + |Z_2| + |Z_3| + ...$

তবে সমস্ত পদগুলিকে বর্গক্ষেত্র করা আরও ভাল কারণ আপনি অবিলম্বে ইতিবাচক মান পাবেন এবং উচ্চতর মানগুলি স্কোয়ারিংয়ের পরে আরও বেশি দাঁড়িয়ে stand সুতরাং আপনি নিম্নলিখিতগুলি পান:

χ^{2} = Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + Z_{3}^{2} + . . .

$\chi^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 +...$

কিন্তু আমি জানি না পারেন কেন এই সমষ্টি অনুসরণ করা উচিত বন্টন, বা কি সংজ্ঞা সংযোগ বন্টন (আদর্শ স্বাভাবিক স্বাধীন ভেরিয়েবল বর্গের সমষ্টি)। $\chi^2$ $\chi^2$

সম্পাদনা: আমি এখনও পরিসংখ্যান শিখছি, এবং আমি এখনও মনে করি না যে আমি পরীক্ষাটি সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি । আমি আশা করি অন্যরাও আমাকে আলোকিত করতে পারে। $\chi^2$

— CamilB
সূত্র