বিটা বিতরণের গড়ের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করুন

Question

[0,1] এ প্রদত্ত রেটিংয়ের একটি সেট জন্য বিটা বিতরণ বিবেচনা করুন। গড় গণনা করার পরে:

$$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$

এর অর্থের চারদিকে কোনও আস্থা অন্তর দেওয়ার কোনও উপায় আছে কি?

Comments

প্রভাবশালী - আপনি জনসংখ্যার গড় নির্ধারণ করেছেন । একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি এর অর্থের কিছু অনুমানের ভিত্তিতে হবে। আপনি কোন নমুনা পরিসংখ্যান ব্যবহার করছেন?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

গ্লেন_বি - হাই, আমি অন্তর [0,1] এ নরমালাইজড রেটিংগুলির (একটি পণ্যের) একটি সেট ব্যবহার করছি। আমি যা খুঁজছি তা হ'ল গড় প্রদত্ত (প্রদত্ত আত্মবিশ্বাসের স্তরের জন্য) একটি ব্যবধানের অনুমান, উদাহরণস্বরূপ: গড় + - 0.02

— প্রভাবশালী

প্রভাবশালী: আমাকে আবার চেষ্টা করুন। আপনি জনসংখ্যার মানে জানেন না । আপনি যদি আপনার অন্তরের মাঝামাঝি ( অনুমান অর্ধ-প্রস্থ , আপনার মন্তব্যের মত) বসে থাকার জন্য কোনও অনুমান চান , তবে আপনাকে তার মধ্যবর্তী স্থানে তার চারপাশে একটি অন্তর স্থাপন করার জন্য সেই পরিমাণের জন্য কিছু অনুমানকারী লাগবে। আপনি কি এর জন্য ব্যবহার করছেন? সর্বাধিক সম্ভাবনা? মুহুর্তের পদ্ধতি? অন্যকিছু? $\pm$

— গ্লেন_বি-রিনস্টেট মনিকা

Glen_b - আপনার ধৈর্য জন্য ধন্যবাদ। আমি এমএলই

— প্রভাবশালী

ডমিনিক; সেই ক্ষেত্রে, বৃহৎ জন্য এক সর্বোচ্চ সম্ভাবনা estimators এর মধ্যে asymptotic বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করেন; এর এমএল অনুমানটি ফিশার তথ্য থেকে গণনা করা যায় এমন গড়- এবং স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির সাথে সাধারণত তাত্পর্যপূর্ণভাবে বিতরণ করা হবে । ছোট নমুনাগুলিতে কেউ কখনও কখনও এমএলই বিতরণ গণনা করতে পারে (যদিও বিটার ক্ষেত্রে আমি মনে করি এটি কঠিন বলে মনে হচ্ছে); একটি বিকল্প হ'ল তার নমুনা আকারে বিতরণটি অনুকরণ করে সেখানে এর আচরণ বোঝার জন্য। μ $n$$\mu$$\mu$

— গ্লেন_বি

Answer 1

বিটা বিতরণে প্যারামিটারগুলির জন্য আস্থা অন্তর গণনা করার জন্য নির্দিষ্ট পদ্ধতি রয়েছে, আমি কয়েকটি সাধারণ পদ্ধতি বর্ণনা করব , যা বিটা বিতরণ সহ (প্রায়) সমস্ত ধরণের বিতরণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে এবং সহজেই আর তে প্রয়োগ করা হয় ।

প্রোফাইল সম্ভাবনার আস্থা অন্তর

আসুন সংশ্লিষ্ট প্রোফাইল সম্ভাবনা আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলির সাথে সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানের সাথে শুরু করা যাক। প্রথমে আমাদের কিছু নমুনা ডেটা প্রয়োজন:

# Sample size
n = 10

# Parameters of the beta distribution
alpha = 10
beta = 1.4

# Simulate some data
set.seed(1)
x = rbeta(n, alpha, beta)

# Note that the distribution is not symmetrical
curve(dbeta(x,alpha,beta))

আসল / তাত্ত্বিক মানে হয়

> alpha/(alpha+beta)
0.877193

এখন আমাদের বিটা বিতরণ থেকে একটি নমুনার জন্য নেতিবাচক লগ সম্ভাবনা ফাংশন গণনা করার জন্য একটি ফাংশন তৈরি করতে হবে, যার সাথে প্যারামিটারগুলির মধ্যে একটি হিসাবে গড় আছে। আমরা dbeta()ফাংশনটি ব্যবহার করতে পারি , তবে এটি যেহেতু গড় যুক্ত কোনও প্যারামিটারাইজেশন ব্যবহার করে না, তাই আমাদের এর পরামিতিগুলি ( α এবং β ) গড়ের ফাংশন এবং কিছু অন্যান্য প্যারামিটার হিসাবে প্রকাশ করতে হবে (মানক বিচ্যুতির মতো):

# Negative log likelihood for the beta distribution
nloglikbeta = function(mu, sig) {
  alpha = mu^2*(1-mu)/sig^2-mu
  beta = alpha*(1/mu-1)
  -sum(dbeta(x, alpha, beta, log=TRUE))
}

সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমানের জন্য, আমরা লাইব্রেরিতে mle()ফাংশনটি ব্যবহার করতে পারি stats4:

library(stats4)
est = mle(nloglikbeta, start=list(mu=mean(x), sig=sd(x)))

আপাতত সতর্কতাগুলি উপেক্ষা করুন। তারা পরামিতি জন্য অবৈধ মান চেষ্টা অপ্টিমাইজেশান আলগোরিদিম দ্বারা সৃষ্ট করছি, জন্য নেতিবাচক মান দান α এবং / অথবা β । (সতর্কতা এড়াতে, আপনি একটি lowerযুক্তি যুক্ত করতে এবং methodব্যবহৃত অপ্টিমাইজেশন পরিবর্তন করতে পারেন ))

আমাদের দুটি পরামিতিগুলির জন্য এখন আমাদের উভয় অনুমান এবং আস্থা অন্তর রয়েছে:

> est
Call:
mle(minuslogl = nloglikbeta, start = list(mu = mean(x), sig = sd(x)))

Coefficients:
        mu        sig 
0.87304148 0.07129112

> confint(est)
Profiling...
         2.5 %    97.5 %
mu  0.81336555 0.9120350
sig 0.04679421 0.1276783

মনে রাখবেন, প্রত্যাশার মতো আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি প্রতিসম নয় met

par(mfrow=c(1,2))
plot(profile(est)) # Profile likelihood plot

(দ্বিতীয় বাইরের ম্যাজেন্টা রেখাগুলি 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান দেখায়।)

এছাড়াও মনে রাখবেন যে মাত্র 10 টি পর্যবেক্ষণের পরেও আমরা খুব ভাল অনুমান (একটি সংকীর্ণ আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান) পাই।

এর বিকল্প হিসাবে mle(), আপনি প্যাকেজ fitdistr()থেকে ফাংশনটি ব্যবহার করতে পারেন MASS। এটিও সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানকারী গণনা করে এবং এর সুবিধা রয়েছে যে আপনার কেবল ঘনত্ব সরবরাহ করতে হবে, নেতিবাচক লগ সম্ভাবনা নয়, তবে আপনাকে প্রোফাইল সম্ভাবনার আত্মবিশ্বাসের বিরতি দেয় না, কেবল অ্যাসিম্পটোটিক (প্রতিসম) আত্মবিশ্বাসের অন্তর অন্তর্ভুক্ত করে।

প্যাকেজ mle2()থেকে একটি আরও ভাল বিকল্প (এবং সম্পর্কিত ফাংশন) bbmleযা কিছুটা নমনীয় এবং শক্তিশালী mle()এবং কিছুটা সুন্দর প্লট দেয়।

বুটস্ট্র্যাপের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি

আরেকটি বিকল্প হ'ল বুটস্ট্র্যাপ ব্যবহার করা। এটি আর-তে ব্যবহার করা অত্যন্ত সহজ এবং আপনার ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপ সরবরাহ করতে হবে না:

> library(simpleboot)
> x.boot = one.boot(x, mean, R=10^4)
> hist(x.boot)                # Looks good
> boot.ci(x.boot, type="bca") # Confidence interval
BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 10000 bootstrap replicates

CALL : 
boot.ci(boot.out = x.boot, type = "bca")

Intervals : 
Level       BCa          
95%   ( 0.8246,  0.9132 )  
Calculations and Intervals on Original Scale

বুটস্ট্র্যাপের অতিরিক্ত সুবিধা রয়েছে যা এটি আপনার ডেটা বিটা বিতরণ থেকে না আসলেও এটি কাজ করে।

অ্যাসিপটোটিক আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য, আসুন কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্যের (এবং টি- বিতরণ) এর উপর ভিত্তি করে ভাল পুরাতন অ্যাসিম্পোটিক আত্মবিশ্বাসের বিরতিগুলি ভুলে যাওয়া উচিত না । যতদিন আমরা আছে যেমন হয় একটি বৃহৎ নমুনা আকার (তাই CLT প্রযোজ্য এবং নমুনা গড় বিতরণের প্রায় স্বাভাবিক) অথবা উভয় বৃহৎ মান α এবং β (যাতে বিটা বিতরণ নিজেই প্রায় স্বাভাবিক), এটা ভাল কাজ করে। এখানে আমাদের দুটিও নেই, তবে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি এখনও খুব খারাপ নয়:

> t.test(x)$conf.int
[1] 0.8190565 0.9268349

এন এর সামান্য লার্জ মানগুলির জন্য (এবং দুটি পরামিতিগুলির খুব চরম মান নয়), অ্যাসিম্পটোটিক আত্মবিশ্বাস অন্তর খুব ভালভাবে কাজ করে।

Comments

ধন্যবাদ কার্ল দ্রুত প্রশ্ন: আপনি আপনার আলফা এবং বিটা কীভাবে নির্ধারণ করলেন? আমি আলফা এবং বিটা পাওয়ার জন্য ভিন্নতা এবং নমুনাটির অর্থ ব্যবহার করেছি, তবে আমি মনে করি যে জনসংখ্যার সাথে আমি নমুনাটি বিভ্রান্ত করেছি তার অর্থ আমি সঠিকভাবে এটি সম্পর্কে নিশ্চিত হয়েছি কিনা তা নিশ্চিত নই ... উপরে গ্লেন_বি'র মন্তব্য দেখুন ।

— প্রভাবশালী

নির্ধারণ α এবং β গড় এবং মানক চ্যুতির কার্যাবলী যেমন, আমি শুধু কার্যাবলী যেমন গড় এবং স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন জন্য ফাংশন উল্টানো α এবং β (কিন্তু আমি নিশ্চিত আপনিও এটা দেখতে পারেন নেট উপর আছি)।

— কার্ল ওভে হুফামহ্যামার

$\alpha,\beta$

Answer 2

বিটা রিগ্রেশন পরীক্ষা করে দেখুন। আর এর সাহায্যে এটি কীভাবে করা যায় তার একটি ভাল ভূমিকা এখানে পাওয়া যাবে:

http://cran.r-project.org/web/packages/betareg/vignettes/betareg.pdf

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরির আর একটি (সত্যই সহজ) উপায় হ'ল নন-প্যারাম্যাট্রিক বোস্ট্র্যাপ পদ্ধতির ব্যবহার। উইকিপিডিয়ায় ভাল তথ্য রয়েছে:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bootstrapping_%28statistics%29

এখানেও দুর্দান্ত ভিডিও:

http://www.youtube.com/watch?v=ZCXg64l9R_4