মাত্রায় দুটি এলোমেলো ইউনিট ভেক্টরের স্কেলার পণ্য বিতরণ

যদি এবং যদি ( দুটি ইউনিট গোলকের মধ্যে অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়) এ দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ইউনিট ভেক্টর হয় তবে তাদের স্কেলার পণ্য (বিন্দু পণ্য) the এর বিতরণ কী? ? $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $\mathbb{R}^D$ $\mathbf x \cdot \mathbf y$

আমার ধারণা, দ্রুত বিতরণ সাথে সাথে (?) শূন্য গড়ের সাথে স্বাভাবিক হয়ে যায় এবং উচ্চ মাত্রায় কমতে থাকে তবে সেখানে একটি সুস্পষ্ট সূত্র রয়েছে কি না? ? $D$

lim_{D \to \infty} σ^{2} (D) \to 0,

$\lim_{D\to\infty}\sigma^2(D) \to 0,$

σ^{2} (D)

$\sigma^2(D)$

হালনাগাদ

আমি কিছু দ্রুত সিমুলেশন দৌড়েছি। প্রথমত, জন্য 10000 জোড়া এলোমেলো ইউনিট ভেক্টর $D=1000$ তৈরি করা তাদের ডট পণ্যগুলির বিতরণটি পুরোপুরি গাউসিয়ান (আসলে এটি জন্য ইতিমধ্যে বেশ গাউসিয়ান $D=100$ ) দেখতে সহজ, বাম দিকে সাবপ্লটটি দেখুন। দ্বিতীয়ত, 1 থেকে 10000 (ক্রমবর্ধমান পদক্ষেপ সহ) পর্যন্ত প্রতিটি জন্য $D$ আমি 1000 জোড়া উত্পন্ন করেছি এবং তারতম্যটি গণনা করেছি। লগ-লগ প্লটটি ডানদিকে দেখানো হয়েছে এবং এটি স্পষ্ট যে সূত্রটি খুব ভালভাবে দ্বারা $1/D$ । নোট করুন যে $D=1$ এবং $D=2$ এই সূত্র এমনকি সঠিক ফলাফল দেয় (তবে পরে কী হবে তা আমি নিশ্চিত নই)।

এলোমেলো ইউনিট ভেক্টরগুলির মধ্যে ডট পণ্য

mathematical-statistics linear-algebra beta-distribution

— অ্যামিবা বলছেন মনিকাকে রিইনস্টেট করুন
সূত্র

@ কার্লোস্কর: আপনাকে ধন্যবাদ, এই লিঙ্কটি খুব প্রাসঙ্গিক এবং আসলে আমার প্রশ্নটিকে প্রায় নকল করে, তবে বেশ নয়। সুতরাং for for এর জন্য একটি সুস্পষ্ট সূত্র রয়েছে যা ডট পণ্যগুলির একটি संचयी বিতরণ ফাংশন। কেউ পিডিএফ পেতে ডাইরিভেটিভ নিতে পারেন এবং তারপরে । সীমা অধ্যয়ন করতে পারেন। তবে সূত্রটি বিটা ফাংশন এবং অসম্পূর্ণ বিটা ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে দেওয়া হয়েছে, সুতরাং গণনাগুলি অদ্ভুত হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে।

P {(x, y) > ϵ}

$P\{(\mathbf{x}, \mathbf{y})>\epsilon\}$

D \to \infty

$D\to \infty$

— অ্যামিবা বলেছেন মোনিকা

@ কার্লোস্কর: unit ম্যাথবিবি ইউনিট গোলকের ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে । এই বিতরণ থেকে একটি এলোমেলো ভেক্টর উত্পাদন করতে, কেউ একটি ইউনিট বৈকল্পিকতা দিয়ে গাউসিয়ান থেকে একটি এলোমেলো ভেক্টর তৈরি করতে পারে এবং তারপরে এটিকে সাধারণীকরণ করতে পারে।

R^{D}

$\mathbb{R}^D$

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকা

উত্তর:

কারণ ( যেমনটি সুপরিচিত ) ইউনিট গোলক on এ অভিন্ন বিতরণ একটি ভারিটেট স্বাভাবিক বিতরণকে সাধারণ করে প্রাপ্ত হয় এবং সাধারণীকৃত ভেক্টরগুলির ডট প্রোডাক্ট তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ, তিনটির উত্তর প্রশ্নগুলি হ'ল: $S^{D-1}$ $D$ $t$

$u= (t+1)/2$ এর একটি বিটা বিতরণ রয়েছে। $((D-1)/2,(D-1)/2)$
ভ্যারিয়েন্স সমান (যেমন প্রশ্নে জল্পনা)। $t$ $1/D$
এর মান বন্টন হারে স্বাভাবিক পন্থা $t$ $O\left(\frac{1}{D}\right).$

পদ্ধতি

সঠিক ইউনিট ভেক্টর ডট পণ্য বিতরণের সহজেই জ্যামিতিক প্রাপ্ত হয় কারণ এই প্রথম দিক দ্বিতীয় ভেক্টরের উপাদান। যেহেতু দ্বিতীয় ভেক্টর প্রথমটির থেকে পৃথক এবং ইউনিট গোলকের ক্ষেত্রে সমানভাবে বিতরণ করা হয়, তাই প্রথম দিকের অংশটি গোলকের কোনও স্থানাঙ্কের মতোই বিতরণ করা হয়। (লক্ষ্য করুন যে প্রথম ভেক্টর বিতরণে কোনও ব্যাপার হয় না))

ঘনত্ব সন্ধান করা

এই সমন্বয়কে সর্বশেষ হতে দিন, তে ঘনত্ব তাই ইউনিট গোলকের এবং মধ্যে একটি উচ্চতায় থাকা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রের সমানুপাতিক । যে অনুপাতে উচ্চতার একটি বেল্ট মধ্যে ঘটে এবং ব্যাসার্ধ যা মূলত একটি হল মোচাকার frustum একটি আউট নির্মাণ ব্যাসার্ধ্যের উচ্চতার , এবং ঢাল । যেখানে থেকে সম্ভাবনা আনুপাতিক $t \in [-1,1]$ $t$ $t+dt$ $dt$ $\sqrt{1-t^2},$ $S^{D-2}$ $\sqrt{1-t^2},$ $dt$ $1/\sqrt{1-t^2}$

\frac{{(\sqrt{1 - t^{2}})}^{D - 2}}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t = (1 - t^{2})^{(D - 3) / 2} d t .

$\frac{\left(\sqrt{1 - t^2}\right)^{D-2}}{\sqrt{1 - t^2}}\,dt = (1 - t^2)^{(D-3)/2} dt.$

লেটিং অনিবার্য ফল । পূর্ববর্তীটিতে এটি প্রতিস্থাপন করা সম্ভাবনার উপাদানটিকে একটি স্বাভাবিককরণের ধ্রুবক পর্যন্ত দেয়: $u=(t+1)/2 \in [0,1]$ $t = 2u-1$

f_{D} (u) d u \propto (1 - (2 u - 1)^{2})^{(D - 3) / 2} d (2 u - 1) = 2^{D - 2} (u - u^{2})^{(D - 3) / 2} d u .

$f_D(u)du \; \propto \; (1 - (2u-1)^2)^{(D-3)/2} d(2u-1) = 2^{D-2}(u-u^2)^{(D-3)/2}du.$

এটি অবিলম্বে যে এর একটি বিটা বিতরণ রয়েছে, কারণ (সংজ্ঞায়িতভাবে) এর ঘনত্বও আনুপাতিক $u=(t+1)/2$ $((D-1)/2, (D-1)/2)$

u^{(D - 1) / 2 - 1} {(1 - u)}^{(D - 1) / 2 - 1} = (u - u^{2})^{(D - 3) / 2} \propto f_{D} (u) .

$u^{(D-1)/2-1}\left(1-u\right)^{(D-1)/2-1} = (u-u^2)^{(D-3)/2} \; \propto \; f_D(u).$

সীমাবদ্ধ আচরণ নির্ধারণ করা

সীমিত আচরণ সম্পর্কে তথ্য প্রাথমিক কৌশলগুলি ব্যবহার করে সহজেই অনুসরণ করে: আনুপাতিকতার অর্জন করতে একীভূত করা যেতে পারে ; (বিটা ফাংশন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, উদাহরণস্বরূপ) ইন্টিগ্রেটেড যাবে মুহূর্ত প্রাপ্ত, দেখাচ্ছে যে ভ্যারিয়েন্স হয় এবং কমা করতে (কোথা, Chebyshev এর উপপাদ্য দ্বারা, সম্ভাব্যতা ঘনীভূত হয়ে উঠছে হয় কাছাকাছি ); এবং সীমিত বন্টন এর পরে ছোট মানগুলির জন্য সমানুপাতিক মান বিতরণের ঘনত্বের মান বিবেচনা করে পাওয়া যায় $f_D$ $\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{D-1}{2}\right)}$ $t^k f_D(t)$ $1/D$ $0$ $t=0$ $f_D(t/\sqrt{D}),$ $t$ :

\begin{aligned} \log (f_{D} (t / \sqrt{D})) & = C (D) + \frac{D - 3}{2} \log (1 - \frac{t^{2}}{D}) \\ = C (D) - (1 / 2 + \frac{3}{2 D}) t^{2} + O (\frac{t^{4}}{D}) \\ \to C - \frac{1}{2} t^{2} \end{aligned}

$\eqalign{ \log(f_D(t/\sqrt{D})) &= C(D) + \frac{D-3}{2}\log\left(1 - \frac{t^2}{D}\right) \\ &=C(D) -\left(1/2 + \frac{3}{2D}\right)t^2 + O\left(\frac{t^4}{D}\right) \\ &\to C -\frac{1}{2}t^2 }$

যেখানে এর প্রতিনিধিত্ব করে (লগ) সংহতকরণের ধ্রুবক। স্পষ্টতই যে হারে এটি স্বাভাবিকতার দিকে যায় (যার জন্য লগের ঘনত্ব সমান ) ও $C$ $-\frac{1}{2}t^2$ $O\left(\frac{1}{D}\right).$

ব্যক্তিত্ব

এই প্লটটি জন্য ডট পণ্যটির ঘনত্বকে ইউনিট বৈকল্পিক হিসাবে মানক হিসাবে এবং তাদের সীমিতকরণের ঘনত্বকে দেখায় । সাথে তে মানগুলি বৃদ্ধি পায় (স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক ঘনত্বের জন্য নীল থেকে লাল, সোনার এবং পরে সবুজ)। জন্য ঘনত্ব এই রেজোলিউশনে স্বাভাবিক ঘনত্ব থেকে আলাদা করে চেনা যাবে। $D=4, 6, 10$ $0$ $D$ $D=1000$

— whuber
সূত্র

(+1) আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, @ শুভেচ্ছা, এটি দুর্দান্ত উত্তর! "হতাশ" শব্দটি উল্লেখ করার জন্য বিশেষ ধন্যবাদ। এটি এমন হয় যে আপনি নিজের পোস্ট দেওয়ার কয়েক মিনিটের আগেই আমি অন্য উত্তরটি গ্রহণ করেছি এবং এখনই এটি ডি-গ্রহণ করতে চাই না; আশা করি বুঝতে পেরেছো. দু: খের বিষয় যে উভয়ই গ্রহণ করা সম্ভব নয়! যাইহোক, উত্তর থেকে বৈকল্পিকতার জন্য এক্সপ্রেশনটির খুব সাধারণ প্রমাণটি নোট করুন : বিটা ফাংশনগুলির সাথে গোলমাল না করে কেউ সরাসরি এটি দেখতে পারে! বিন্দু পণ্যের বৈচিত্র্যটি কোনও ক্ষেত্রের স্থানাঙ্কের বৈকল্পিকের সমান (যেমন আপনি লিখেছেন), এবং তাদের সমস্ত এর যোগফল হতে হবে , কিউইডি

1 / D

$1/D$

D

$D$

1

$1$

— অ্যামিবা বলেছেন, পুনরায় প্রতিষ্ঠিত মনিকা

এটি রূপগুলি সম্পর্কে একটি দুর্দান্ত পর্যবেক্ষণ।

— হোবার

@ আমেবা, সাম্প্রতিক ক্রিয়াকলাপটি আমার এখানে আবারও মনোযোগ এনেছে এবং আপনি যতটা প্রশংসা করেছেন যে আপনি আমার উত্তরটি মেনে নিয়েছেন, এটি অনেক বেশি পূর্ণ ler আপনি বদলে গেলে আমার কিছু মনে হবে না।

— একওয়াল

@ ছাত্র 1001: এটি একটি নিখুঁত এবং উদার মন্তব্য। আমি গৃহীত উত্তরটি পরিবর্তন করেছি। আমি এটির জন্য আপোভেট করতে আপনার একটি প্রশ্ন এবং একটি এও পেয়েছি :)

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকা

বিতরণের @mat যে । এটা একটি বিটা বিতরণ যে ছোটো করা হয়েছে এবং বিরতি থেকে সরে তোলে ব্যবধান মধ্যে ।

t

$t$

2 U - 1

$2U-1$

[0, 1]

$[0,1]$

[- 1, 1]

$[-1,1]$

— শুক্র

আসুন বিতরণটি সন্ধান করুন এবং তারপরে তারতম্যটি স্ট্যান্ডার্ড ফলাফলগুলি অনুসরণ করে। ভেক্টর পণ্যটি বিবেচনা করুন এবং এটি এর কোসাইন ফর্মটিতে লিখুন, যেমন লক্ষ করুন যে আমাদের কাছে যেখানে হল এবং মধ্যবর্তী কোণ । শেষ পদক্ষেপে আমি যে কোনও ইভেন্টের জন্য এবংএখন শব্দটি বিবেচনা করুন । এটা পরিষ্কার যে, যেহেতু গোলক পৃষ্ঠ থেকে সম্মান সঙ্গে অবিশেষে choosen হয়, এটি কি কোন ব্যাপার না

P (x^{'} y \leq t) = P (| x | | y | \cos θ \leq t) = P (\cos θ \leq t) = E P (\cos θ \leq t ∣ y),

$P(x'y\leq t)=P(|x||y|\cos\theta\leq t)=P(\cos\theta\leq t)=\mathbb{E}P(\cos\theta\leq t\mid y),$

θ

$\theta$

x

$x$

y

$y$

A

$A$

B

$B$

E P (A ∣ B) := E [E [χ_{A} ∣ B]] = E χ_{A} = P (A) .

$\mathbb EP(A\mid B):=\mathbb{E}[\mathbb{E}[\chi_A\mid B]]=\mathbb{E}\chi_A=P(A).$

P (\cos θ \leq t ∣ y)

$P(\cos\theta\leq t\mid y)$

x

$x$

y

$y$ আসলে, এবং মধ্যে কেবল কোণ । সুতরাং, প্রত্যাশার ভিতরে শব্দটি ফাংশন হিসাবে প্রকৃতপক্ষে ধ্রুবক এবং আমরা অনুমান করতে পারি যেতারপরে আমরা সেইকিন্তু যেহেতু প্রথম একটি সাধারণ গসিয়ান ভেক্টর এর তুল্য আমরা আছে ভ্যারিয়েন্স সঙ্গে গসিয়ান হয় এর মধ্যে asymptotic ফলাফলের আবাহন করার মাধ্যমে এই কাগজ ।

x

$x$

y

$y$

y

$y$

y = [1, 0, 0, \dots]^{'} .

$y=[1,0,0,\dots ]'.$

P (x^{'} y \leq t) = P (x_{1} \leq t) .

$P(x'y\leq t)=P\left( x_1\leq t\right).$

x_{1}

$x_1$

R^{n},

$\mathbb{R}^n,$

x^{'} y

$x'y$

1 / n

$1/n$

বৈকল্পিকতার সুস্পষ্ট ফলাফলের জন্য, ডট পণ্যটি স্বাধীনতার দ্বারা শূন্য এবং উপরে প্রদর্শিত হিসাবে, প্রথম স্থানাঙ্কের মতো বিতরণ করা হয় তা ব্যবহার করুন । এই ফলাফলগুলির দ্বারা, সন্ধান করা । এখন, লক্ষ্য করুন যে প্রতি নির্মাণ এবং তাই আমরা যেখানে সর্বশেষ সমতাটি অনুসরণ করে যে এর স্থানাঙ্কগুলি একইভাবে বন্টিত হয়। জিনিসগুলি একসাথে রেখে আমরা দেখতে পেয়েছি যে $x$ $\text{Var}(x'y)$ $\mathbb{E}x_1^2$ $x'x=1$

1 = E x^{'} x = E \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} E x_{i}^{2} = n E x_{1}^{2},

$1=\mathbb{E}x'x=\mathbb{E}\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^n\mathbb{E}x_i^2=n\mathbb{E}x_1^2,$

x

$x$

Var (x^{'} y) = E x_{1}^{2} = 1 / n

$\text{Var}(x'y)=\mathbb{E}x_1^2=1/n$

— ekvall
সূত্র

আপনাকে ধন্যবাদ, তবে আমি বিভ্রান্ত: "পছন্দসই ফলাফল" আসলে কী এবং শেষ সমীকরণটি কীভাবে অনুসরণ করবে? চূড়ান্ত সম্ভাব্যতা বিতরণ উপর নির্ভর করবে ।

D

$D$

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকাকে

আসলে আপনার শেষ সমীকরণ থেকে ফলাফলটি কীভাবে অনুসরণ করে তা হ'ল গণিত.এসই থ্রেডে আলোচিত যা আপনি পেয়েছেন। এটিতে বিটা বিতরণ ইত্যাদি জড়িত এবং সীমিত আচরণ (আমার কাছে) সুস্পষ্ট থেকে অনেক দূরে। আমার ধারণা দেখার সহজ সরল উপায় থাকতে হবে ।

σ^{2} (D) \approx 1 / D

$\sigma^2(D) \approx 1/D$

— অ্যামিবা বলেছেন মোনিকা

এটি since সাল থেকে মাত্রাটির উপর নির্ভর করে , যেখানে উত্পন্ন গাউসিয়ান ভেক্টর। আমি আজ বা কাল উত্তরটি আপডেট করব।

x_{1} = z_{1} | z |^{- 1}

$x_1=z_1 |z|^{-1}$

z

$z$

— একওয়াল

বাহ, মহান, আপনার শেষ লিংক বিপরীত বিটা ফাংশন জড়িত যে মত প্রকাশের সীমা (যা আমি গনা ভয় ছিল) তৃতীয় সমীকরণের পৃষ্ঠার 1. সুতরাং যুক্তি সম্পন্ন করার প্রদান করে: গোলক ব্যাসার্ধ হয়েছে থাকে , তারপর (এসিম্পটোটিকভাবে) হিসাবে বিতরণ করা হয় । যার অর্থ ইউনিট ব্যাসার্ধের গোলকের ক্ষেত্রে গুন ছোট, অর্থাৎ । তবে, আমার এখনও একটি উদ্বেগ রয়েছে: আমি থেকে 1 থেকে 4 পর্যন্ত পরীক্ষা করেছিলাম এবং মনে হয় সঠিক বৈকল্পিকতা দিচ্ছে , যদিও ডি = 1 বা ডি = 2 এর জন্য বিতরণ স্বাভাবিকের থেকে খুব দূরে। এর পিছনে আরও গভীর কারণ থাকতে হবে।

\sqrt{D}

$\sqrt{D}$

x_{1}

$x_1$

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$

D

$D$

1 / D

$1/D$

D

$D$

1 / D

$1/D$

— অ্যামিবা বলেছেন মোনিকা

@ অ্যামিবা হ্যাঁ, তার প্রমাণ সহ আপডেট হয়েছে।

— একওয়াল

আপনার প্রশ্নের প্রথম অংশের উত্তর দেওয়ার জন্য, । নির্ধারণ গুণফল উপাদান এর এবং এখানে প্রকাশ হিসেবে যুগ্ম বিতরণ অনুযায়ী বিতরণ করা হবে এবং । পর থেকে , $Z = \langle X,Y \rangle = \sum X_i Y_i$

f_{Z_{i}} (z_{i}) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{Z_{1}, \dots, Z_{D}} (z_{1}, \dots, z_{D}) d z_{i}

$f_{Z_i}(z_i) = \int_{-\infty}^\infty f_{Z_1,\ldots,Z_D}(z_1,\ldots,z_D) \: d z_i$

i^{t h}

$i^{th}$

X

$X$

Y

$Y$

Z_{i}

$Z_i$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

f_{Z_{i}} (z_{i}) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X_{i}, Y_{i}} (x, \frac{z_{i}}{x}) \frac{1}{| x |} d x

$f_{Z_i}(z_i) = \int_{-\infty}^\infty f_{X_i,Y_i}(x,\frac{z_i}{x})\frac{1}{|x|}dx$

Z = \sum Z_{i}

$Z = \sum Z_i$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \dots \int_{- \infty}^{\infty} f_{Z_{1}, \dots, Z_{D}} (z_{1}, \dots, z_{d}) δ (z - \sum z_{i}) d z_{1} \dots d z_{d}

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty \ldots \int_{-\infty}^\infty f_{Z_1,\ldots,Z_D} (z_1,\ldots,z_d) \: \delta(z - \sum z_i)\: dz_1\ldots d z_d$

দ্বিতীয় অংশের জন্য, আমি মনে করি যে আপনি যদি অ্যাসিপোটিক আচরণ সম্পর্কে আকর্ষণীয় কিছু বলতে চান তবে আপনাকে কমপক্ষে এবং স্বাধীনতা গ্রহণ করতে হবে এবং তারপরে একটি সিএলটি প্রয়োগ করতে হবে। $\sigma$ $X$ $Y$

উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি অনুমান করতে ইচ্ছুক ছিল হয় IID সঙ্গে এবং তুমি বলুন যে এবং । $\{Z_1,\ldots,Z_D\}$ $\mathbb{E}[Z_i] = \mu$ $\mathbb{V}[Z_i] = \sigma^2$ $\sigma^2(D) = \frac{\sigma^2}{D}$ $\lim_{D\to\infty} \sigma^2(D) = 0$

— টম
সূত্র

আপনাকে ধন্যবাদ, তবে আমি দ্বিতীয় অংশটি সম্পর্কে বিভ্রান্ত। এবং অবশ্যই স্বাধীন হওয়ার কথা, আমি এটি প্রশ্নের সাথে যুক্ত করব। আপনি বলছেন যে , এবং এটি যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হচ্ছে, তবে এর অসম্পূর্ণ আচরণ কী? আমি মনে করি যে অভিব্যক্তিটি আমি অনুসন্ধান করছি এটি কেবল উপর নির্ভর করবে । 2D যদি আমার ভুল না হয় তবে আমি আশ্চর্য হয়েছি যে এটি আরও উচ্চ মাত্রায় সত্য থেকে যায় কিনা ...

X

$X$

Y

$Y$

σ^{2} (D) = V a r (z_{i}) / D

$\sigma^2(D) = \mathrm{Var}(z_i)/D$

V a r (z_{i})

$\mathrm{Var}(z_i)$

D

$D$

V a r (z_{i}) = 1 / 2

$\mathrm{Var}(z_i)=1/2$

— অ্যামিবা বলেছেন মেনিকা

এবং একক দৈর্ঘ্যের প্রয়োজন অনুসারে স্বাধীন হওয়া কি সত্যিই সম্ভব ?

z_{i}

$z_i$

X

$X$

Y

$Y$

— একওয়াল

@tom: প্রসঙ্গক্রমে, আমি ছিল ভুল: 2D মধ্যে 1, এটা যে সমান 1/2। আমি কিছু সিমুলেশন ফলাফলের সাথে আমার প্রশ্ন আপডেট করেছি। সঠিক সূত্রটি মতো মনে হচ্ছে ।

V a r (z_{i})

$\mathrm{Var}(z_i)$

V a r (z)

$\mathrm{Var}(z)$

1 / D

$1/D$

— অ্যামিবা বলেছেন মোনিকা