মোট ডেরাইভিং (শ্রেণীর মধ্যে + শ্রেণীর মধ্যে) স্ক্যাটার ম্যাট্রিক্স

আমি পিসিএ এবং এলডিএ পদ্ধতিগুলির সাথে ফিড করছি এবং আমি একটি মুহূর্তে আটকা পড়েছি, আমার মনে হয় যে এটি এত সহজ যে আমি এটি দেখতে পাচ্ছি না that

শ্রেণীর মধ্যে ( ) এবং মধ্য-শ্রেণীর ( ) স্ক্যাটার ম্যাট্রিকগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়: $S_W$ $S_B$

S_{W} = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i}) (x_{t}^{i} - μ_{i})^{T}

$S_W = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i)(x_t^i - \mu_i)^T$

S_{B} = \sum_{i = 1}^{C} N (μ_{i} - μ) (μ_{i} - μ)^{T}

$S_B = \sum_{i=1}^CN(\mu_i-\mu)(\mu_i-\mu)^T$

মোট স্ক্যাটার ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়েছে: $S_T$

S_{T} = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ)^{T} = S_{W} + S_{B}

$S_T = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T = S_W + S_B$

যেখানে সি শ্রেণীর সংখ্যা এবং এন নমুনাগুলির সংখ্যা নমুনাগুলি, ith শ্রেণি গড়, সামগ্রিক গড়। $x$ $\mu_i$ $\mu$

করার চেষ্টা করার সময় আমি আমার কাছে এসে : $S_T$

(x - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} + (μ_{i} - μ) (x - μ_{i})^{T}

$(x-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T + (\mu_i-\mu)(x-\mu_i)^T$

পদ হিসাবে। এটি শূন্য হওয়া দরকার, তবে কেন?

প্রকৃতপক্ষে:

\begin{aligned} S_{T} & = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ)^{T} \\ = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i} + μ_{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ_{i} + μ_{i} - μ)^{T} \\ = S_{W} + S_{B} + \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} [(x_{t}^{i} - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} + (μ_{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ_{i})^{T}] \end{aligned}

$\begin{align} S_T &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T \\ &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)^T \\ &= S_W + S_B + \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N\big[(x_t^i - \mu_i)(\mu_i - \mu)^T + (\mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i)^T\big] \end{align}$

discriminant-analysis

— nimcap
সূত্র

উত্তরটি হ'ল আপনি তার মানকে ঘিরে মানগুলির বিচ্যুতির যোগফল দিচ্ছেন এবং সেই যোগটি শূন্য। তবে ঠিক কী, , এবং ? কেমন আছেন এবং এর সাথে সম্পর্কিত এবং ? উত্তরের গুণমান নির্ভর করে আমরা কতটা নির্ভুলভাবে অনুমান করি তার উপর নির্ভর করবে তবে আপনি আমাদেরকে অনুমান করার মতো ভয়ঙ্কর কিছু করতে বাধ্য করছেন!

x

$x$

m

$m$

m_{i}

$m_i$

m

$m$

m_{i}

$m_i$

μ

$\mu$

μ_{i}

$\mu_i$

— হোবার

@ শুভ: আপনি সম্পূর্ণরূপে ঠিক বলেছেন, আমি আমার প্রশ্নটি সংশোধন করেছি।

— নিমক্যাপ

যদি ধরে নিই

\frac{1}{N} \sum_{t = 1}^{N} x_{t}^{i} = μ_{i}

$\frac{1}{N}\sum_{t=1}^Nx_t^{i}=\mu_i$

তারপর

\sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} = \sum_{i = 1}^{C} (\sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i})) (μ_{i} - μ)^{T} = 0

$\sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T=\sum_{i=1}^C\left(\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)\right)(\mu_i-\mu)^T=0$

এবং সূত্র ধরে। আপনি দ্বিতীয় পদের সাথে একইভাবে ডিল করেন।

— mpiktas
সূত্র

(+1) দ্বিতীয় পদটি, প্রথমটির স্থানান্তর হওয়ায় অবশ্যই শূন্য :-) হতে হবে।

— হোয়বার

@ শুভ্র, হ্যাঁ, এটিও :)

— এমপিক্টাস

হাই, আমি পাই না কেন অনুমানটি ধরেছে? কেউ কি এটি ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— এমভিকেট

μ_{i}

$\mu_i$

μ_{i}

$\mu_i$

i

$i$

μ_{i}

$\mu_i$