সম্পূর্ণ শর্তাদি যৌথ বন্টন নির্ধারণ করতে পারে?

Question

শুনেছি যে সমস্ত সম্পূর্ণ শর্তাদি (গীবস স্যাম্পলিংয়ে ব্যবহৃত) যৌথ বন্টন নির্ধারণ করতে পারে। তবে আমি বুঝতে পারছি না কেন এবং কীভাবে। নাকি আমি ভুল শুনেছি? ধন্যবাদ!

Answer 1

এই আপাতদৃষ্টিতে সহজ প্রশ্নটি দেখতে যতটা গভীর তার চেয়ে গভীর, যা আমাদের সমস্ত পথে হ্যামারস্লে-ক্লিফোর্ডের উপপাদ্যে নিয়ে যায়। সম্পূর্ণ শর্তসাপেক্ষ থেকে আমরা যৌথ বন্টন পুনরুদ্ধার করতে পারি তা হ'ল গীবস নমুনাটিকে সম্ভব করে তোলে। এটি একটি আশ্চর্যজনক ফলাফল হিসাবে দেখা যেতে পারে, যদি আমরা মনে করি যে প্রান্তিকগুলি যৌথ বন্টন নির্ধারণ করে না ।

আসুন আমরা যদি যৌথ, শর্তসাপেক্ষ এবং প্রান্তিক ঘনত্বগুলির সুপরিচিত সংজ্ঞাগুলি সাথে আনুষ্ঠানিকভাবে গণনা করি তবে কী হয় তা দেখা যাক। যেহেতু আমাদের এবং আমরা আনুষ্ঠানিকভাবে তৈরির সম্পূর্ণ শর্ত থেকে যৌথ ঘনত্ব পুনরুদ্ধার করতে পারি

$$f_{X,Y}(x,y)=f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_Y(y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)\,f_X(x) \, ,$$ $$\int \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{f_{X\mid Y}(x\mid y)}dy = \int \frac{f_Y(y)}{f_X(x)}dy = \frac{1}{f_X(x)} \, ,$$ $$f_{X,Y}(x,y) = \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{\int f_{Y\mid X}(y\mid x)/f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dy} \, . \qquad (*)$$

এই আনুষ্ঠানিক গণনার ক্ষেত্রে সমস্যাটি হ'ল এটি অনুমান করে যে সমস্ত জড়িত বস্তুর উপস্থিতি রয়েছে।

উদাহরণস্বরূপ, আমাদের যদি দেওয়া হয় তবে কী ঘটে তা বিবেচনা করুন এটি অনুসরণ করে যে , এবং ডাইভারেজের ডিনোমিনেটরে অবিচ্ছেদ্য ।

$$X\mid Y=y\sim\text{Exp}(y) \qquad \text{and} \qquad Y\mid X=x\sim\text{Exp}(x) \, .$$ $f_{Y\mid X}(y\mid x)/f_{X\mid Y}(x\mid y) = x /y$$(*)$

গ্যারান্টিটি দেওয়ার জন্য যে আমরা ব্যবহার করে পূর্ণ শর্ত থেকে যৌথ ঘনত্ব পুনরুদ্ধার করতে পারি আমাদের এই কাগজে আলোচিত সামঞ্জস্যের শর্তাদি দরকার:$(*)$

"সামঞ্জস্যপূর্ণ শর্তাধীন বিতরণ", ব্যারি সি। আর্নল্ড এবং এস জেমস প্রেস, আমেরিকান স্ট্যাটিস্টিকাল অ্যাসোসিয়েশনের জার্নাল, খণ্ড। 84, নং 405 (1989), পৃষ্ঠা 152-156।

পরিশেষে, রবার্ট এবং ক্যাসেলার বইয়ের হ্যামারস্লি-ক্লিফোর্ড থিওরেম সম্পর্কিত আলোচনাটি পড়ুন

Comments

"অবিচ্ছেদ্য .... বিদ্যমান" বলতে কী বোঝাতে চান আপনি কি তা ব্যাখ্যা করতে পারেন? এখানে দুটি পৃথক সমস্যা রয়েছে বলে মনে হয়, যেমন। (i) অবিচ্ছেদ্য অস্তিত্ব আছে কি না? এবং (ii) অবিচ্ছেদ্য উপস্থিত থাকলে এর মান ? বা আপনি কি বলছেন যে যখনই এবং শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব রয়েছে যেমন বিদ্যমান , তাহলে এটি অবশ্যই হবে যে ইন্টিগ্রালের মানটি ? $$\int \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{f_{X\mid Y}(x\mid y)}dy$$ $\frac{1}{f_X(x)}$$X$$Y$ $$\int \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{f_{X\mid Y}(x\mid y)}dy$$ $\frac{1}{f_X(x)}$

— দিলিপ সরোতে

ধন্যবাদ, @ জেন! এবং নির্ধারণ করতে পারেন , এবং এবং এছাড়াও নির্ধারণ করতে পারেন । (1) কোনটি আরও তথ্য সরবরাহ করে, বা ? (২) কোনটি , বা সাথে কম রিডানডেন্ট / ওভারল্যাপিং তথ্য সরবরাহ করে ? (3) এবং of এর মধ্যে তাদের মধ্যে একটি ইতিমধ্যে তথ্য সরবরাহ করে (যা আমি সন্দেহ করি, কারণ এটি বোঝাচ্ছে যে অন্যটি অন্যকে নিয়ে যায়)? আমার ধারণা এটি এবং এর তথ্যের মধ্যে "ছেদ" $f_Y$$f_{X|Y}$$f_{X,Y}$$f_{Y|X}$$f_{X|Y}$$f_{X,Y}$$f_Y$$f_{Y|X}$$f_{X|Y}$$f_Y$$f_{Y|X}$$f_Y$$f_{Y|X}$$f_Y$$f_{Y|X}$ , যা একসঙ্গে সঙ্গে নির্ধারণ । $f_{X|Y}$$f_{X,Y}$

— টিম

হাই @ টিম $f_Y$ সম্পর্কে আপনাকে অনিশ্চয়তা প্রতিনিধিত্ব করে $Y$যখন, $f_{Y\mid X}$ সম্পর্কে আপনার অনিশ্চয়তা প্রতিনিধিত্ব করে $Y$, আপনি এর মান জানেন যে দেওয়া $X$। "কোনটিতে আরও তথ্য রয়েছে?" একটি সহজ প্রশ্ন নয়। যদি$f_{X\mid Y}$ এবং $f_{Y\mid X}$ সুসংগত (আর্নল্ড এবং প্রেসের অর্থে), তারপরে তারা নির্ধারণ করে $f_{X,Y}$ মাধ্যম $(*)$।

— জেন

আমি বর্তমানে একই সমস্যা নিয়ে লড়াই করছি। আমি সামঞ্জস্যপূর্ণ শর্তযুক্ত বিতরণের প্রয়োজনে কিছুটা বিভ্রান্ত, কারণ এগুলি কখনই গিবস স্যাম্পলিংয়ের পরিচিতি (অন্তত আমি যা পড়েছি) তে উল্লেখ করা হয়নি। বা সামঞ্জস্যপূর্ণ শর্তসাপেক্ষ বিতরণের প্রয়োজনীয়তা কেবল তখনই ধরে রাখে, যদি কেউ যৌথ বিতরণগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে পুনরুদ্ধার করার চেষ্টা করে, যেমন (*) দ্বারা। -> গিবস স্যাম্পলিং দ্বারা যৌথ বন্টন প্রায় অনুমান না?

— স্ক্লিংজেল

একটি নিয়মিত গিবস স্যাম্পলিং সেটিংয়ে একটি পরিসংখ্যানগত সমস্যা প্রয়োগ করা হয় আপনি ধরে নিয়েছেন যে যৌথ সম্ভাবনা (উত্তরোত্তর) বন্টন বিদ্যমান, সুতরাং এই যৌথ বিতরণ থেকে প্রাপ্ত সম্পূর্ণ শর্তগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই ক্ষেত্রে বাইরে গিবসের নমুনা অর্থহীন।

— শি'য়ান