সিএলটি-র উদাহরণ যখন মুহুর্তের অস্তিত্ব থাকে না

Question

বিবেচনা $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

আমাকে এটি দেখাতে হবে যদিও এর অসীম মুহূর্ত রয়েছে,

$$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$$

আমি লেভির ধারাবাহিকতা উপপাদকটি ব্যবহার করে এটি দেখানোর চেষ্টা করেছি, অর্থাৎ বাম দিকের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিকের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনে রূপান্তরিত করে দেখানোর চেষ্টা করেছি। তবে এটি দেখানো অসম্ভব বলে মনে হয়েছিল।

এই সমস্যার জন্য প্রদত্ত একটি ইঙ্গিতটি হ'ল প্রতিটিকে ছাঁটাই করা $X_i$, অর্থাৎ লেটিং $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ এবং এটি দেখানোর জন্য লিন্ডবার্গ শর্তটি ব্যবহার করে $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$।

তবে, লায়াপুনভের অবস্থা সন্তুষ্ট তা দেখাতে পারিনি। এটি মূলত কারণ$Y_{ni}$আমি এটি চাই যেমন আচরণ করে না। আমি চাইব$Y_{ni}$ শুধুমাত্র মান -1 এবং 1 নিতে, তবে এটি যেভাবে নির্মিত হয়, এটি মান নিতে পারে $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

Comments

আপনি যদি ছাঁটাচ্ছেন $n$, কাটা ভেরিয়েবল যে মানগুলি নিতে পারে তার জন্য সাবধানতার সাথে সেই শেষ অনুচ্ছেদটি পরীক্ষা করুন। যে কোনও হারে, কেটে দেওয়ার চেষ্টা করুন$1$পরিবর্তে, ফলাফল পেতে বোরেল-ক্যান্টেলি এবং তারপরে স্লুটস্কি ব্যবহার করুন। আপনার কাটা কাটা টুকরোটিতে লিন্ডবার্গ বা লায়াপুনভ ব্যবহার করতে সক্ষম হওয়া উচিত (যদিও আমি এটি আসলে পরীক্ষা করে দেখিনি)।

— কার্ডিনাল

এর জন্যে দুঃখিত. এটিকে "অসীম" মুহুর্তে পরিবর্তন করা হয়েছে

— গ্রিনপার্কার

@ কার্ডিনাল আমি সম্ভাব্য মানগুলি ছাড়িয়ে গিয়েছি $Y_{ni}$আবার নিতে পারে, এবং লগ শব্দে একটি মেঝে যোগ করতে পারেন। অন্যথায়, মানগুলি সঠিক বলে মনে হচ্ছে। আমি যদি 1-এ কাটা হয় তবে আমি যে মানগুলি চাই তা পেয়ে যাব$Y_{ni}$এবং লিন্ডবার্গ শর্তটি স্বাভাবিক রূপান্তরিত করতে প্রয়োগ করতে সক্ষম হবে। যাইহোক, আমি দেখতে পাচ্ছি না এটি কীভাবে এটির জন্য সাধারণ রূপান্তরকে বোঝায়$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— গ্রিনপার্কার

কি "$\bar{X}_n$"? আপনি এমন একটি প্রসঙ্গ বর্ণনা করেন নি যেখানে প্রতিটি নমুনা বা একাধিক উদাহরণ রয়েছে $X_n$, কোথা থেকে - প্রশ্নটিতে যা বলা হয়েছে তা দেওয়া হয়েছে - এই স্বরলিপিটির একমাত্র সম্ভাব্য পাঠটি এটির অর্থ বোঝায়$X_n$, যা সর্বদা অসীম এবং একটি সংখ্যা, কোনও বিতরণ নয়। তাই আপনাকে কল্পনা করতে হবে যে আপনি আইডির নমুনাগুলি বিবেচনা করছেন$X_n$, তবে আপনাকে এটি আমাদের বলতে হবে এবং আপনাকে বিশেষত নমুনার আকারগুলি নির্ধারণ করা দরকার।

— whuber

Answer 1

@ কার্ডিনালের মন্তব্যের ভিত্তিতে একটি উত্তর এখানে দেওয়া হয়েছে:

নমুনা স্থানটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির পাথের মতো হতে দিন $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ এবং $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$, আমরা যেখানে দেওয়া $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$। লিন্ডবার্গ শর্ত ( উইকিপিডিয়া স্বরলিপি অনুসারে ) সন্তুষ্ট, এর জন্য:

$$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$$ কোন জন্য $\epsilon$ যেমন $s_n^2\to \infty$ যখনই $n\to \infty.$

আমাদেরও তা আছে $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ বোরেল-ক্যান্তেল্লি থেকে $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ যাতে $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$। অন্যভাবে স্থিত,$X_i$ এবং $Y_i$ প্রায়শই প্রায় অবশ্যই চূড়ান্তভাবে পৃথক।

নির্ধারণ করা $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ এবং সমানভাবে $S_{Y,n}$। এর একটি নমুনা পথ বেছে নিন$(X_i)_{i=1}^{\infty}$ যেমন যে $X_i > 1$ শুধুমাত্র চূড়ান্ত অনেকের জন্য $i$। এই শর্তাবলী দ্বারা সূচক$\mathcal{J}$। এই পথ থেকে এছাড়াও প্রয়োজন যে$X_j,j\in \mathcal{J}$সীমাবদ্ধ এমন পথের জন্য,

$$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$$ কোথায় $S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$। তদতিরিক্ত, যথেষ্ট বড় জন্য$n$, $$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$$

বোরেল-ক্যান্তেল্লি ফলাফলটি একত্রে বাস্তবতার সাথে ব্যবহার করে $X_i$প্রায় অবশ্যই সীমাবদ্ধ, আমরা দেখতে পেলাম যে আমাদের প্রয়োজনীয়তা মেনে চলার একটি নমুনা পথের সম্ভাবনা এক। অন্য কথায়, বিবিধ পদগুলি প্রায় অবশ্যই শূন্যে চলে যায়। স্লোটস্কির উপপাদ্যটি আমাদের কাছে রয়েছে যা যথেষ্ট পরিমাণে$n$,

$$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$$ কোথায় $\xi\sim N(0,1)$।