1 এবং 100 এর মধ্যে 25 এলোমেলো সংখ্যার থেকে সর্বোচ্চ একাধিকবার প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা কী?

অনেক অনলাইন গেমগুলিতে, যখন খেলোয়াড়রা একটি কঠিন কাজ সম্পন্ন করে, কখনও কখনও একটি বিশেষ পুরষ্কার দেওয়া হয় যা এই কাজটি সম্পন্ন প্রত্যেকে ব্যবহার করতে পারে। এটি সাধারণত একটি মাউন্ট (পরিবহণের পদ্ধতি) বা অন্য ভ্যানিটি আইটেম (আইটেমগুলি যা চরিত্রটির পারফরম্যান্সের উন্নতি করে না এবং মূলত চেহারা কাস্টমাইজেশনের জন্য ব্যবহৃত হয়)।

যখন এই জাতীয় পুরষ্কার দেওয়া হয়, তখন কে পুরষ্কার পায় তা নির্ধারণের সর্বাধিক সাধারণ উপায় হল এলোমেলো সংখ্যার মাধ্যমে। গেমটিতে সাধারণত একটি বিশেষ কমান্ড থাকে যা 1 থেকে 100 এর মধ্যে একটি র্যান্ডম (সম্ভবত সিউডোর্যান্ডম, ক্রিপ্টো সুরক্ষিত র্যান্ডম নয়) নম্বর দেয় (কখনও কখনও প্লেয়ার অন্য স্প্রেড বেছে নিতে পারে তবে 100 সবচেয়ে সাধারণ)। প্রতিটি প্লেয়ার এই কমান্ডটি ব্যবহার করে, সমস্ত খেলোয়াড় দেখতে পাবে কে কাকে রোল করেছে এবং আইটেমটি সেই ব্যক্তিকে দেওয়া হয় যা সর্বোচ্চ রোল করে। বেশিরভাগ গেমগুলিতে এমনকি এএএ বিল্ট-ইন সিস্টেম থাকে যেখানে প্লেয়াররা কেবল একটি বোতাম টিপায় এবং সবাই একবার তাদের বোতাম টিপলে, খেলাটি বাকিটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে করে।

কখনও কখনও, কিছু খেলোয়াড় একই উচ্চ সংখ্যা উত্পাদন করে এবং নুন তাদের মারধর করে। এটি সাধারণত সেই সমস্ত খেলোয়াড়দের দ্বারা তাদের সংখ্যাটি পুনরায় জেনারেট করে সমাধান করা হয়, যতক্ষণ না কোনও অনন্য সর্বোচ্চ সংখ্যা না থাকে।

আমার প্রশ্নটি নিম্নলিখিত: একটি র্যান্ডম সংখ্যার জেনারেটর ধরে নিন যা একই সম্ভাবনা সহ 1 এবং 100 এর মধ্যে যে কোনও সংখ্যা তৈরি করতে পারে। ধরে নিন যে আপনার 25 জন খেলোয়াড়ের একটি গ্রুপ রয়েছে যারা প্রতিটি এ জাতীয় এলোমেলো নম্বর জেনারেটর (প্রতিটি নিজস্ব বীজ সহ) দিয়ে 1 নম্বর উত্পন্ন করে। আপনার কতগুলি খেলোয়াড় নির্দিষ্ট নাম্বার রোল করবেন এবং সংখ্যার মধ্যে কোনও সম্পর্ক নেই তার কোনও সীমাবদ্ধতা ছাড়াই 1 এবং 100 এর মধ্যে 25 টি সংখ্যা থাকবে। সর্বাধিক উত্পন্ন সংখ্যাটি 1 টিরও বেশি প্লেয়ার দ্বারা উত্পন্ন হওয়ার সম্ভাবনা কী? অন্য কথায়, টাই হওয়ার সম্ভাবনা কত?

probability random-generation

— Nzall
সূত্র

ওয়ারক্রাফ্টের বিশ্ব এহ?

— বেহাকাদ

হ্যাঁ, এটি অভিন্ন এলোমেলো, যেমন প্রশ্নে বলা হয়েছে (1 থেকে 100

— সমেতের

ভাল প্রশ্ন, তবে এটি আমাকে বিজয়ী চয়ন করার খারাপ উপায় হিসাবে আঘাত করেছে। কেবল খেলোয়াড়দের কিছু উপায়ে তালিকাবদ্ধ করুন (আপনি বলতে পারেন "বর্ণানুক্রমিক নাম" বা এলোমেলো করে সবাইকে তালিকা প্রদর্শন করুন বা অন্য কোনওভাবে বাছাই করুন) এবং 1 এবং 25 এর মধ্যে একটি এলোমেলো সংখ্যা বেছে নিন the প্লেয়ারের সাথে সম্পর্কিত সংখ্যাটি জয়ী।

— টিম এস

Noobs, DKP ব্যবহার করুন!

— Davor

পরামর্শ: ক্রমহীন নমুনা দেওয়া

থেকে

, আমাদের অর্ডার পরিসংখ্যান তত্ত্ব থেকে যা জানি তা ব্যবহার করে আমাদের

গণনা করতে হবে ।

X_{1}, \dots, X_{25}

$X_1,\dots,X_{25}$

U {1, \dots, 100}

$\textrm{U}\{1,\dots,100\}$

P (X_{(24)} < X_{(25)})

$P(X_{(24)}<X_{(25)})$

— জেন

উত্তর:

দিন

আপনার সীমাটির শীর্ষ প্রান্ত হতে হবে,আপনার ক্ষেত্রে । $x$ $x=100$
আপনার ক্ষেত্রেঅঙ্কনের মোট সংখ্যা হবে, আপনার ক্ষেত্রে। $n$ $n=25$

কোন সংখ্যার জন্য , ক্রমের সংখ্যা ক্রম প্রতিটি নম্বরের সাথে সংখ্যার হল । এই ক্রম, সংখ্যা সম্বলিত কোনো গুলি হল আর এক নম্বর ধারণকারী হল । অত: পর দুই বা ততোধিক সঙ্গে ক্রম সংখ্যা গুলি হল $y\le x$ $n$ $\le y$ $y^n$ $y$ $(y-1)^n$ $y$ $n(y-1)^{n-1}$ $y$ কমপক্ষে দুটি এসসহ সর্বোচ্চ সংখ্যার সাথে সংখ্যাগুলির ক্রমগুলিরসংখ্যাটিহ'ল

Y^{এন} - (Y - 1)^{এন} - এন (Y - 1)^{এন - 1}

$y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}$

n

$n$

y

$y$

y

$y$

\begin{aligned} Σ_{Y = 1}^{এক্স} (Y^{এন} - (Y - 1)^{এন} - এন (Y - 1)^{এন - 1}) & = Σ_{Y = 1}^{এক্স} Y^{এন} - Σ_{Y = 1}^{এক্স} (Y - 1)^{এন} - Σ_{Y = 1}^{এক্স} এন (Y - 1)^{এন - 1} \\ = {এক্স}^{এন} - এন Σ_{Y = 1}^{এক্স} (Y - 1)^{এন - 1} \\ = {এক্স}^{এন} - এন Σ_{Y = 1}^{এক্স - 1} Y^{এন - 1} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{y=1}^x \left(y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}\right) &= \sum_{y=1}^x y^n - \sum_{y=1}^x(y-1)^n - \sum_{y=1}^xn(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^x(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^{x-1}y^{n-1}\\ \end{align}$

সিকোয়েন্স মোট সংখ্যা সহজভাবে হয় । সমস্ত ক্রম সমানভাবে সম্ভাব্য এবং তাই সম্ভাবনাটি $x^n$

\frac{{এক্স}^{এন} - এন Σ_{Y = 1}^{Y = এক্স - 1} Y^{এন - 1}}{{এক্স}^{এন}}

$\frac{x^n - n\sum_{y=1}^{y=x-1}y^{n-1}}{x^n}$

সঙ্গে আমি সম্ভাব্যতা 0,120004212454 ভুলবেন না। $x=100,n=25$

$x,n$

import itertools
import numpy.random as np

def countinlist(x, n):
    count = 0
    total = 0
    for perm in itertools.product(range(1, x+1), repeat=n):
        total += 1
        if perm.count(max(perm)) > 1:
            count += 1

    print "Counting: x", x, "n", n, "total", total, "count", count

def simulate(x,n,N):
    count = 0
    for i in range(N):
        perm = np.randint(x, size=n)
        m = max(perm)
        if sum(perm==m) > 1:
            count += 1
    print "Simulation: x", x, "n", n, "total", N, "count", count, "prob", count/float(N)

x=100
n=25
N = 1000000 # number of trials in simulation

#countinlist(x,n) # only call this for reasonably small x and n!!!!
simulate(x,n,N)
formula = x**n - n*sum([i**(n-1) for i in range(x)])
print "Formula count", formula, "out of", x**n, "probability", float(formula) / x**n

এই প্রোগ্রাম আউটপুট

Simulation: x 100 n 25 total 1000000 count 120071 prob 0.120071
Formula count 12000421245360277498241319178764675560017783666750 out of 100000000000000000000000000000000000000000000000000 probability 0.120004212454

— TooTone
সূত্র

200000

$200000$

0.11957

$0.11957$

x

$x$

n

$n$

আমি পার্ল ব্যবহার করে সিমুলেটেড করেছি এবং খুব সুসংগত 0.005 পেয়েছি । পেস্টবিন.

— com

x

$x$

n

$n$

x = 20, n = 5

$x=20,n=5$

15600 / 160000 = 0.0975

$15600/160000=0.0975$

x, n

$x,n$ , এবং আমি উত্পন্ন সূত্র থেকে সম্ভাবনা। আমাদের কোডের মধ্যে মতবিরোধের উত্স কী তা জানতে আমি আগ্রহী।

— টুটোনে

10^{7}

$10^7$

0.119983,

$0.119983,$ n = 10^7; Total[Boole[Equal @@ (#[[Ordering[#, -2]]])] & /@ x = RandomInteger[{1, 100}, {n, 25}]] / n

আমি প্রথমে অনন্য বিজয়ী হওয়ার সম্ভাবনাটি সন্ধান করতে বিবেচনা করব

$x$ $\frac{{25\choose1} (x-1)^{24}}{{100}^{25} }$ $y-1$

বিজয়ী তার সংখ্যা সমান 2 থেকে 100 সমান হিসাবে জিততে পারে তাই মোট সম্ভাব্যতা

\begin{aligned} Σ_{আমি = 2}^{100} \frac{25 (আমি - 1)^{24}}{100^{25}} \\ = & 25 Σ_{আমি = 1}^{99} \frac{{আমি}^{24}}{100^{25}} \\ = & - \frac{1}{4} + + 25 Σ_{আমি = 1}^{100} \frac{{আমি}^{24}}{100^{25}} \\ \approx & - \frac{1}{4} + + 25 \frac{\frac{1}{24 + + 1} 100^{24 + + 1} + + \frac{1}{2} 100^{24} + + \frac{24}{2} \frac{1}{6} 100^{23}}{100^{25}} \\ = & 0.88 \end{aligned}

$\begin{align} &\sum_{i=2}^{100} \frac {25(i-1)^{24}}{{100}^{25}}\\ =& 25\sum_{i=1}^{99} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\ =& -{1 \over 4}+25\sum_{i=1}^{100} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\\approx&-{1 \over 4}+25 {{1\over24+1}{100}^{24+1}+{{1\over2}{100}^{24}+{{{24\over2} {1\over6}}{100}^{23} }}\over{100}^{25}}\\ =&0.88 \end{align}$

$100^{23}$

$1-0.88=0.12$

— গ্যারি
সূত্র

-3

$p$ $1-p$ $p=1*(1-1/100)*(1-1/100)......*(1-1/10)=(1-1/100)^{24}$ $P=1-p=1-(1-1/100)^{24} = 0.214$

— মিশেল জি
সূত্র

এর অর্থ কি এই যে সম্ভাবনাটি 21.4%? বেশ উঁচু বলে মনে হচ্ছে, তবে আবার, জন্মদিনের প্যারাডক্সটির একই রকম অবাক করা উত্তর রয়েছে। ধন্যবাদ।

— এনজাল

-1 যেমন দাঁড়িয়েছে, এই উত্তরটি সঠিক নয়। সঠিক উত্তরটি @ টুটোনে সরবরাহ করেছিল।

— COOLSerdash