কীভাবে কোনও বিতরণের সীমাহীন গড় এবং বৈচিত্র থাকতে পারে?

Question

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি দেওয়া যেতে পারলে এটি প্রশংসা হবে:

1. অসীম গড় এবং অসীম বৈকল্পিক সহ একটি বিতরণ।
2. অসীম গড় এবং সসীম বৈকল্পিক সহ একটি বিতরণ।
3. সীমাবদ্ধ গড় এবং অসীম বৈকল্পিক সহ একটি বিতরণ।
4. সীমাবদ্ধ গড় এবং সসীম বৈকল্পিক সহ একটি বিতরণ।

উইলমট ফোরাম / ওয়েবসাইটে আমি যে নিবন্ধটি পড়ছি, গুগল করছি এবং একটি থ্রেড পড়ছি এবং এটিকে পর্যাপ্ত পরিষ্কার ব্যাখ্যা খুঁজে পাচ্ছি না, এই অপরিচিত পদগুলি (অসীম গড়, অসীম বৈচিত্র) দেখে আমার কাছ থেকে এটি আসে । আমি আমার নিজস্ব পাঠ্যপুস্তকেও কোনও ব্যাখ্যা খুঁজে পাইনি।

Comments

উপরে আপনার তালিকার কেস 2 অসম্ভব।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

প্রাসঙ্গিক: stats.stackexchange.com/questions/94402/…

— কেজিটিল বি হালওয়ারসেন

সসীম এবং অসীম বৈচিত্রের মধ্যে পার্থক্যটির

— কেজিটিল বি হালওয়ারসেন

এই চারটি নির্দিষ্ট উদাহরণ জিজ্ঞাসা করে, আমি মনে করি এটি একটি স্বতন্ত্র প্রশ্ন এবং নকল হিসাবে এটি বন্ধ করা উচিত নয় - যদিও অন্যান্য প্রশ্ন অবশ্যই প্রাসঙ্গিক এবং সহায়ক।

— সিলভার ফিশ

৪ টি উদাহরণের মধ্যে কেবল ১, ৩ এবং ৪ প্রকৃতই সম্ভব এবং সহজ উদাহরণগুলি ১ এবং ৪ এর জন্য দেওয়া যেতে পারে কচি ১ টির একটি উদাহরণ এবং গাউসিয়ান একটি উদাহরণ ৪ এর রূপান্তরটির পক্ষে সুসংজ্ঞা দেওয়া অসম্ভব .মানের অস্তিত্ব না থাকলে। সুতরাং 2 সম্ভব হয় না। 3 এর একটি উদাহরণ নির্মাণ করা আকর্ষণীয় হবে।

— মাইকেল আর চেরনিক

Answer 1

গড় এবং প্রকরণটি ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত হয়। এর অর্থ বা বৈকল্পিকতা অসীম হওয়ার জন্য কী বোঝায় তা হ'ল এই সংহতগুলির জন্য সীমাবদ্ধ আচরণ সম্পর্কে একটি বিবৃতি

লিম এ , বি → ∞ ∫ বি - একটি এক্স এফ ( এক্স ) ডি $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

এটি ঘটতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যদি লেজটি "যথেষ্ট ভারী" হয়। সীমাবদ্ধ / অসীম গড় এবং বৈচিত্র্যের চারটি ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি বিবেচনা করুন:

1. অসীম গড় এবং অসীম বৈকল্পিক সহ একটি বিতরণ।

   উদাহরণ: Pareto বন্টন সঙ্গে , একটি জিটা (2) বন্টন।$\alpha= 1$

2. অসীম গড় এবং সসীম বৈকল্পিক সহ একটি বিতরণ।

   সম্ভব না.

3. সীমাবদ্ধ গড় এবং অসীম বৈকল্পিক সহ একটি বিতরণ।

   উদাহরণ: বিতরণ । সঙ্গে Pareto ।$t_2$$\alpha=\frac{3}{2}$

4. সীমাবদ্ধ গড় এবং সসীম বৈকল্পিক সহ একটি বিতরণ।

   উদাহরণ: যে কোনও সাধারণ। যে কোনও ইউনিফর্ম (প্রকৃতপক্ষে, কোনও সীমিত ভেরিয়েবলের সমস্ত মুহুর্ত রয়েছে)। ।$t_3$

আপনার এমন একটি বিতরণও থাকতে পারে যেখানে অবিচ্ছেদ্য অনির্ধারিত থাকে তবে অগত্যা সীমাতে সমস্ত সীমাবদ্ধতা অতিক্রম করে না।

---

চার্লস জিয়ারের এই নোটগুলি কীভাবে সহজ পদগুলিতে প্রাসঙ্গিক সংহতগুলি গণনা করা যায় সে সম্পর্কে আলোচনা করে। দেখে মনে হচ্ছে এটি সেখানে রিমন ইন্টিগ্রালগুলির সাথে কাজ করছে, যা কেবল অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে আবৃত করে তবে অবিচ্ছেদ্যতার আরও সাধারণ সংজ্ঞাগুলি (উদাহরণস্বরূপ স্টিল্টজিস) আপনার প্রয়োজনীয় সমস্ত ক্ষেত্রে আবরণ করবে [লেবেসগু ইন্টিগ্রেশনটি পরিমাপ তত্ত্বের ক্ষেত্রে সংহতকরণের রূপ হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছে) (যা সম্ভাবনার উপর নির্ভর করে) তবে এখানে মূল বিষয়টি আরও প্রাথমিক পদ্ধতির সাথে ঠিক কাজ করে]। এটি "সেকেন্ড 2.5, p13-14)" 2 "এরও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে সম্ভব নয় (বৈচিত্রটি বিদ্যমান থাকলে গড়টি বিদ্যমান)।

Comments

+1 (2) অসম্ভব কারণ কেন তুচ্ছ: ভিন্নতার গড় হিসাবে বিবেচনা করা হয়? সামান্য গভীরটি হ'ল সত্য যে এর দ্বিতীয় মুহূর্তটি সীমাবদ্ধ হয়, তারপরে গড়টি অবশ্যই সসীম হয়। যদি গড় অসীম, তাহলে কঠিনতর যুক্তিসহকারে কারণ দ্বিতীয় মুহূর্ত মান তৌল করা হয় দ্বিতীয় মুহূর্ত অসীম হতে হবে সম্ভাব্যতা দ্বারা কিন্তু দ্বারা না শুধুমাত্র নিজেই ( )। এই ওজনগুলি আবদ্ধ না হয়ে বেড়ে যায়, দ্বিতীয় মুহুর্তে অবশেষে প্রথম মুহুর্তের পরম মানের ছাড়িয়ে যায়। এক্স এক্স এক্স 2 = এক্স × $X$$X$$X$$X^2 = X\times X$

— হোবার

@ হুবুহু তবে আপনি গড়ের উল্লেখ ছাড়াই প্রকরণটি সংজ্ঞায়িত করতে পারেন (যেমন মূল্যগুলির জোড়াতে স্কোয়ার্ড পার্থক্যের প্রত্যাশার ক্ষেত্রে), সুতরাং বিষয়টি ততটা তুচ্ছ নয়। আপনার দ্বিতীয় যুক্তির মতো আরও কিছু প্রয়োজন আসলে।

— গ্লেন_বি

এটি একটি ভাল বিষয়, তবে যদি আমরা স্বীকার করি যে বৈকল্পিকতার কোনও বিকল্প সংজ্ঞা বীজগণিতভাবে সমস্ত বিতরণের জন্য সাধারণ সংজ্ঞার সমতুল্য হয়, তবে যদি এটি একটি সংজ্ঞা অনুসারে সংজ্ঞায়িত হয় যা যৌক্তিকভাবে এটি একটি উপযুক্ত বিক্ষোভ বলে মনে হয় যে এটি নির্ধারিত তাদের সকলের কাছে আপনি যেমন উল্লেখ করেছেন তার মতো বিকল্পগুলি সামনে আসে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়ন যেখানে বিভিন্ন সংজ্ঞা সমান নয় not

— whuber

হ্যা আমি করব. একটি বৈকল্পিক, অ-নেতিবাচক এলোমেলো পরিবর্তনশীলের প্রত্যাশা হওয়া, একমাত্র পজিটিভ অংশের লেবেসগু অবিচ্ছেদ্য সমান । অতএব, এটি হয় সীমাবদ্ধ বা অনন্ত (বর্ধিত সংখ্যা লাইনে), যাই হোক না কেন। অ-নেতিবাচক হওয়ার এই সম্পত্তিটি অন্যান্য মুহুর্তগুলির থেকে এমনকি মুহুর্তগুলির বিশ্লেষণকে পৃথক করে, যা সংজ্ঞায়িত করতে ব্যর্থ হতে পারে।

— whuber

বৈকল্পিক সংজ্ঞাটি এটি সমান । $\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

Answer 2

স্থিতিশীল বিতরণগুলি আপনি যা খুঁজছেন তার দুর্দান্ত, প্যারাম্যাট্রিক উদাহরণ সরবরাহ করে:

1. অসীম গড় এবং বৈকল্পিক:$0 < \text{stability parameter} < 1$

2. এন / এ

3. সীমাবদ্ধ গড় এবং অসীম বৈকল্পিকতা:$1 \leq \text{stability parameter} < 2$

4. সীমাবদ্ধ গড় এবং বৈকল্পিক: (গাউসিয়ান)$\text{stability parameter} = 2$

Answer 3

এখানে সেন্ট পিটার্সবার্গের প্যারাডক্সের কথা কেউ উল্লেখ করেনি; অন্যথায় আমি এই পুরানো থ্রেডে পোস্ট করব না যার ইতিমধ্যে একটি "স্বীকৃত" উত্তর সহ একাধিক উত্তর রয়েছে।

যদি একটি মুদ্রা "মাথা" অবতরণ করে তবে আপনি এক শতাংশ জিতে যান।

যদি "লেজ" থাকে, জিতগুলি দ্বিগুণ হয় এবং তারপরে যদি দ্বিতীয় টসে "হেড" হয়, আপনি দুটি সেন্ট জিতবেন।

যদি দ্বিতীয়বার "লেজ" থাকে তবে জিতগুলি আবার দ্বিগুণ হয় এবং তৃতীয় টসে "হেডস" থাকলে আপনি চারটি সেন্ট জয়ী হন।

$$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$$ $\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

$\$1$$\$1$

উত্তরটি হ'ল একটি খুব বিরল ঘটনা, আপনি লেজগুলির দীর্ঘ ক্রম পাবেন, যাতে জয়ের ফলে আপনি যে প্রচুর ব্যয় করেছেন তার ক্ষতিপূরণ দেবে। আপনি প্রতিটি টসের জন্য মূল্য যে কত বেশি দাম দিয়েছেন তা নির্ধারণ করা সত্য।

Answer 4

$$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$$

Comments

$\infty - \infty=0$