বার্ন করার পরে MCMC পুনরুক্তিগুলি কি ঘনত্বের অনুমানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে?

Question

বার্ন-ইন করার পরে, আমরা কি সরাসরি হিস্টোগ্রামের পরিকল্পনা বা কার্নেলের ঘনত্বের প্রাক্কলন দ্বারা ঘনত্বের অনুমানের জন্য এমসিসিএম পুনরাবৃত্তিগুলি ব্যবহার করতে পারি? আমার উদ্বেগটি হ'ল এমসিএমসি পুনরাবৃত্তিগুলি অগত্যা স্বতন্ত্র নয়, যদিও সেগুলি সর্বাধিক অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়।

যদি আমরা আরও এমসিমিসি পুনরাবৃত্তিতে পাতলা প্রয়োগ করি? আমার উদ্বেগটি হ'ল এমসিএমসি পুনরাবৃত্তিগুলি সর্বাধিক অসংরক্ষিত, এবং এখনও স্বতন্ত্র নয়।

সত্য বিতরণ ফাংশনটির অনুমান হিসাবে আমি অভিজ্ঞতাগত বিতরণ ফাংশনটি ব্যবহার করার জন্য যে ভিত্তিটি শিখেছি তা গ্লিভেনকো – ক্যান্তেল্লি উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে যেখানে ইমিরিকাল বিতরণ ফাংশন একটি আইড নমুনার ভিত্তিতে গণনা করা হয়। আমি হিস্টোগ্রামগুলি ব্যবহার করার জন্য কিছু ক্ষেত্রগুলি (অ্যাসিপটোটিক ফলাফল?) দেখতে পেয়েছি বা কার্নেলের ঘনত্বের অনুমানকে ঘনত্বের অনুমান হিসাবে দেখেছি, তবে আমি সেগুলি মনে করতে পারি না।

Answer 1

আপনি - এবং লোকেরা করতে পারেন - MCMC স্যাম্পলিং থেকে ঘনত্বের প্রাক্কলন করতে পারেন।

একটি বিষয় মনে রাখবেন যে হিস্টোগ্রাম এবং কে-ডি-ই সুবিধাজনক হলেও কমপক্ষে সহজ ক্ষেত্রে (যেমন গিবস স্যাম্পলিং), ঘনত্বের আরও কার্যকর দক্ষতা থাকতে পারে।

আমরা যদি গিবসকে বিশেষত নমুনা হিসাবে বিবেচনা করি, আপনি যে শর্তসাপেক্ষ ঘনত্বটি নমুনা দিচ্ছেন তা ঘনত্বের গড় আনুমানিক উত্পাদন করতে নমুনা মানের জায়গায় ব্যবহার করা যেতে পারে। ফলাফলটি বেশ মসৃণ হতে থাকে।

পদ্ধতির মধ্যে আলোচনা করা হয়

গেলফ্যান্ড এবং স্মিথ (১৯৯০),
আমেরিকান স্ট্যাটিস্টিকাল অ্যাসোসিয়েশনের জার্নাল, "প্রান্তিক ঘনত্ব গণনা করার জন্য স্যাম্পলিং-ভিত্তিক পদ্ধতি" , খণ্ড Vol 85, নং 410, পৃষ্ঠা 398-409

(যদিও জিয়র সতর্ক করেছেন যে নমুনা নির্ভরতা যদি যথেষ্ট পরিমাণে বেশি হয় তবে এটি সর্বদা বৈকল্পিকতা হ্রাস করে না এবং এটি করার জন্য শর্ত দেয়)

এই পদ্ধতির উপরও আলোচনা করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, রবার্ট, সিপি এবং কেসেলা, জি। (1999) মন্টে কার্লো স্ট্যাটিস্টিকাল পদ্ধতিগুলি ।

আপনার স্বাধীনতার দরকার নেই, আপনি প্রকৃতপক্ষে গড় গণনা করছেন। আপনি যদি ঘনত্বের প্রাক্কলনের (বা একটি সিডিএফ) মানক ত্রুটি গণনা করতে চান তবে আপনাকে নির্ভরতার জন্য অ্যাকাউন্ট করতে হবে।

একই ধারণাটি অবশ্যই অন্যান্য প্রত্যাশার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, এবং তাই এটি অন্যান্য অনেক ধরণের গড়ের অনুমানকে উন্নত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

Comments

ধন্যবাদ! আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন যে প্রান্তিক বিতরণগুলি যৌথ বন্টনকে প্রত্যাশা করে তাই প্রান্তিক বিতরণ অনুমান করার জন্য পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত এমসিসিএম পুনরাবৃত্তিগুলি ব্যবহার করা কোনও ব্যাপার নয়? যৌথ বন্টন অনুমান করার জন্য যদি সম্পর্কযুক্ত পুনরাবৃত্তিগুলি ব্যবহার করে তবে কী হবে? এখনও ঠিক আছে?

— টিম

না আমি এটাই বলতে চাইছি। আমি বোঝাতে চাইছি যে অনুমানকারীদের সাথে আমরা কাজ করছি তারা গড়পড়তা জিনিস, এবং জনসংখ্যার পরিমাণ নির্ধারণ করার জন্য ব্যবহার করা হচ্ছে যা সেই বিষয়গুলির প্রত্যাশা হিসাবে ঘুরে দেখা যায়। হ্যাঁ, আপনি একই অর্থে যৌথ বন্টন অনুমান করতে নির্ভরশীল অঙ্কনগুলি ব্যবহার করতে পারেন।

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা

আমরা যৌথ বন্টন অনুমান করতে পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত পুনরাবৃত্তিগুলি কেন ব্যবহার করতে পারি? আমি মনে করি না, কারণ যৌথ বিতরণ কোনও কিছুর প্রত্যাশা নয়। নোট করুন যে গ্লাইভেনকো – ক্যান্তেল্লি উপপাদ্যে, ইমিরিকাল সিডিএফ আইডি নমুনায় গণনা করা হয়।

— টিম

ঘনত্বের জন্য, আপনি উদাহরণস্বরূপ এখানে বর্ণিত নমুনা অনুমানের মতো কিছু বিবেচনা করতে পারেন (এবং ক্রমবর্ধমান সংকীর্ণ বিন্যাস সহ একটি হিস্টগ্রামের সীমা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে); এটি গড়, এবং আমি বিশ্বাস করি যে এটির প্রত্যাশাটি ঘনত্ব। সিডিএফের ক্ষেত্রে আপনি বিবেচনা করতে পছন্দ করতে পারেন যে আপনি এম্পিরিকাল সিডিএফকে গড় আকারে তৈরি করতে কিছু করতে পারেন কিনা। উভয় ধারণা যৌথ বন্টন থেকে নমুনাগুলি নিয়ে কাজ করবে বলে মনে হচ্ছে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 2

জীবনবৃত্তান্ত

আপনি যে কোনও কিছুর জন্য সরাসরি এমসিসিএম পুনরাবৃত্তিগুলি ব্যবহার করতে পারেন কারণ আপনার পর্যবেক্ষণের গড় মান হ'ল সংক্ষিপ্তভাবে সত্য মানের কাছে পৌঁছাবে (কারণ আপনি বার্ন-ইন হওয়ার পরে)।

তবে, মনে রাখবেন যে এই গড়ের বৈচিত্রটি নমুনার মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক দ্বারা প্রভাবিত হয়। এর অর্থ হ'ল যদি নমুনাগুলি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত হয়, যেমনটি এমসিসিএম-তে প্রচলিত, প্রতিটি পরিমাপ সংরক্ষণ করা কোনও আসল সুবিধা আনবে না।

তত্ত্ব অনুসারে, আপনার N পদক্ষেপের পরে পরিমাপ করা উচিত, যেখানে এন পরিমাপযোগ্য পর্যবেক্ষণের স্বতঃসংশোধনের সময়ের ক্রম।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা

আসুন আপনার প্রশ্নের আনুষ্ঠানিক উত্তর দেওয়ার জন্য কিছু স্বীকৃতি সংজ্ঞায়িত করি। যাক সময়ে আপনার এমসিএমসি সিমুলেশন রাজ্যের হতে , অনেক বেশী পুড়ে-ইন সময় চেয়ে বাঁধলাম। যাক পর্যবেক্ষণযোগ্য আপনি পরিমাপ করতে চান হও।$x_t$$t$$f$

উদাহরণস্বরূপ, , এবং : "1 যদি , 0 অন্য"। স্বাভাবিকভাবে একটি ডিস্ট্রিবিউশন থেকে অঙ্কিত হচ্ছে যা আপনি ব্যবহার করে করেন।$x_t \in \mathbb{R}$$f=f_a(x)$$x\in[a,a+\Delta]$$x_t$$P(x)$

যে কোনও স্যাম্পলিংয়ে আপনাকে সর্বদা একটি পর্যবেক্ষণযোগ্য গড় গণনা করতে হবে যা আপনি একটি অনুমানক ব্যবহার করে করেন:$f$

$$F = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N f(x_i)$$

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এই অনুমানকারী গড় মান ( এর প্রতি শ্রদ্ধায় )$\langle F\rangle$$P(x)$

$$\langle F \rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \langle f(x_i)\rangle = \langle f(x)\rangle$$

যা আপনি পেতে চান

মূল উদ্বেগটি হ'ল আপনি যখন এই অনুমানকারকের বৈচিত্রটি গণনা করেন, , আপনি ফর্মটির শর্তাদি পাবেন$\langle F^2 \rangle - \langle F \rangle^2$

$$\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N \langle f(x_i)f(x_j)\rangle$$

যা এর সাথে সম্পর্কযুক্ত নমুনাগুলি বাতিল হয় না । তবুও , যেহেতু আপনি লিখতে পারেন, আপনি , এর স্বতঃসংশোধন ফাংশনের যোগফল হিসাবে উপরের দ্বিগুণ যোগফলটি লিখতে পারেন j = i + Δ f R ( Δ $x_t$$j=i+\Delta$$f$$R(\Delta)$

সুতরাং, পুনরুদ্ধার করতে:

• যদি গণনামূলকভাবে প্রতিটি পরিমাপ সংরক্ষণের জন্য কোনও ব্যয় না হয় তবে আপনি এটি করতে পারেন তবে মনে রাখবেন যে সাধারণ সূত্রটি ব্যবহার করে বৈকল্পিকটি গণনা করা যায় না।

• যদি আপনার এমসিসিএমসির প্রতিটি পদক্ষেপে পরিমাপ করা গণনা ব্যয়বহুল হয় তবে আপনাকে স্বতঃসংশ্লিষ্ট সময় পরিমাণ অনুমান করার জন্য একটি উপায় খুঁজে বের করতে হবে এবং কেবলমাত্র প্রতি- পরিমাপ করতে হবে । এই ক্ষেত্রে, পরিমাপগুলি স্বতন্ত্র এবং সুতরাং আপনি বৈকল্পের স্বাভাবিক সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন।$\tau$$\tau$

Comments

এটি নির্দিষ্ট প্রশ্নের উত্তর দেয় না, যা উত্তরবর্তীটির একটি বৈধ ঘনত্ব অনুমানকারী তৈরির জন্য মার্কভ চেইন থেকে নমুনাগুলি ব্যবহার করে সম্পর্কিত concerned একটি লিনিয়ার ক্রিয়াকলাপের আমাদের অনুমানের স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিটি স্বাধীনতার উপর ভিত্তি করে একটি নির্দোষ অনুমানের চেয়ে বেশি যে বিন্দুটি প্রশংসা করা হয়েছে তবে ও.পি. এখনও এই উত্তরটির ভিত্তিতে জানতে পারত না যদি ঘনত্বের অনুমানকারী তৈরি করা ভাল ধারণা হয় তবে (বলুন) কার্নেল-স্মুথিং (যা আইড স্যাম্পলিংয়ের অধীনে একটি হারে রূপান্তরিত হবে না ) ব্যবহার করে। $\sqrt n$

— ছেলে

পাতলা হওয়া কেবল দরকারী ডেটার অপচয়। এটি অনুমানের বৈকল্পিকতা হ্রাস করে না। এই প্রশ্নের মন্তব্যগুলি দেখুন: stats.stackexchange.com/a/258529/58675

— ডেল্টাআইভি

@ দেলতাভ, হ্যাঁ আমার বক্তব্যটি এখানে ছিল যে পাতলা হয়ে গেছে বা না, প্রাসঙ্গিক টাইম-স্কেলটি এখনও স্বতঃসংশ্লিষ্ট সময়।

— জর্জি লিটাও