কোনও বুকমেকার সকার গেমগুলিতে প্রতিকূলতাকে ভুলভাবে চাপিয়ে দেওয়ার সম্ভাবনা কী?

Question

একটি ইংলিশ ফুটবল দল বিভিন্ন ক্ষমতার বিভিন্ন বিরোধীদের বিরুদ্ধে একাধিক ম্যাচ খেলে। এটি কোনও হোম জিত, দূরের জয় বা ড্র হবে কিনা তা নিয়ে কোনও বইকার নির্ধারিত প্রতিটি ম্যাচের পক্ষে প্রতিকূলতার প্রস্তাব দেয়। মৌসুমের পার্ট-ওয়ে, দলটি ম্যাচ খেলেছে এবং এর মধ্যে করেছে, যা চেয়ে প্রত্যাশার চেয়ে বেশি।$n$$k$

বইটি নির্মাতা কেবল দুর্ভাগ্য হওয়ার চেয়ে এই ম্যাচগুলির প্রতিকূলতাকে ভুল-মূল্য নির্ধারণ করছেন এমন সম্ভাবনা কী? যদি বুকমেকার একইভাবে দলের বাকী ম্যাচগুলিকে মূল্য দিতে থাকে, এবং আমি বাজি দিয়েছি যে প্রতি এককটি ড্র হবে, আমার প্রত্যাশিত প্রত্যাবর্তনটি কী?$\$1$

Comments

এর আগে math.stackexchange.com/q/31871/18398-

— জোয়েল রেয়েস

Answer 1

আপনার প্রশ্নের উত্তর আপনি কী তথ্য এবং অনুমানগুলি ব্যবহার করতে যাচ্ছেন তার উপর নিবিড়ভাবে নির্ভর করে। এটি কারণ একটি গেমের ফলাফল একটি অসাধারণ জটিল প্রক্রিয়া। আপনার কাছে যা তথ্য রয়েছে তার উপর নির্ভর করে এটি নির্বিচারে জটিল হয়ে উঠতে পারে:

1. নির্দিষ্ট দলে প্লেয়ারগুলি - সম্ভবত খেলোয়াড়দের নির্দিষ্ট সংমিশ্রণ প্রাসঙ্গিক হতে পারে।
2. অন্যান্য দলে খেলোয়াড়রা
3. লীগের অতীত ইতিহাস
4. দলের খেলোয়াড়রা কতটা স্থিতিশীল - খেলোয়াড়রা কীভাবে নির্বাচিত হয়ে বাদ পড়তে থাকে, বা এটি একই 11?
5. আপনি নিজের বাজিটি যে সময়টি খেলেন (খেলার সময়? আগে? কত আগে? দিনের উপর বাজি ধরার আগে বাজি থেকে কোন তথ্য হারিয়ে যায়?)
6. আমি বাদ দেওয়া সকারের অন্যান্য কিছু সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য।

কোনও বই-নির্মাতা প্রদত্ত প্রতিক্রিয়াগুলি বই-নির্মাতাদের প্রতিকূলতার প্রতিচ্ছবি নয়। যদি তারা সম্ভাব্য হয় তবে এটি অসম্ভব। কোনও বইয়ের নির্মাতা যখন কোনও ড্রতে বাজি ধরে তখন প্রতিকূলতা সামঞ্জস্য করবে এবং যখন কেউ নন-ড্রতে বাজি ধরবে তখন সেগুলি সামঞ্জস্য করবে। সুতরাং, প্রতিকূলতা সামগ্রিকভাবে জুয়াড়িদের (যারা সেই বই-নির্মাতাকে ব্যবহার করে) প্রতিক্রিয়া। সুতরাং এটি বুককার যাঁরা প্রতি সেফ মিস-প্রাইসিং করছেন তা নয়, এটি জুয়ার সমষ্টিগত - বা "গড় জুয়াড়ি"।

এখন আপনি যদি ধরে নিতে ইচ্ছুক হন যে যে কোনও "কার্যকারণ প্রক্রিয়া" ড্রয়ের ফলে যা ঘটছে তা পুরো মরসুমে স্থির থাকে (যুক্তিসঙ্গত? সম্ভবত নয় ...), তবে একটি সাধারণ গাণিতিক সমস্যা পাওয়া যায় (তবে দ্রষ্টব্য এটির কোনও কারণ নেই) অন্য কিছু সরলকরণ অনুমানের চেয়ে "আরও সঠিক" হন)। আমাদের মনে করিয়ে দিতে যে এটি অনুমানটি ব্যবহৃত হচ্ছে, সম্ভাব্যতার কন্ডিশনিংয়ের পাশে একটি হবে। এই অনুমানের অধীনে দ্বিপদী বিতরণ প্রযোজ্য:$A$

$$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$$

এবং আমরা নিম্নলিখিত গণনা করতে চান

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$$ $$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$$

যেখানে

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$$

জন্য । এখন এক্ষেত্রে এটি মোটামুটি সুস্পষ্ট যে এটি ড্র হওয়া সম্ভব এবং এটি না হওয়াও সম্ভব, সুতরাং একটি অভিন্ন পূর্বে যথাযথ (যদি অতিরিক্ত isতুর তথ্য না থাকে তবে আমরা seasonতুর ফলাফলের বাইরেও অন্তর্ভুক্ত করতে পারি ) এবং আমরা । অবর তারপর একটি বিটা বন্টন (যেখানে দেওয়া হয় হয় বিটা ফাংশন )$\theta$$P(\theta|A)=1$$B(\alpha,\beta)$

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$$

প্রদত্ত এবং সম্ভাবনাটি যে পরের ম্যাচটি একটি ড্র just তাই অবিচ্ছেদ্য হয়ে ওঠে:$\theta$$A$$\theta$

$$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$$

এবং তাই সম্ভবত সম্ভাবনা:

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$$

তবে লক্ষ্য করুন যে এটি উপর নির্ভর করে - যে অনুমানগুলি করা হয়েছিল। কিছু অন্যান্য অজানা জটিল তথ্যের উপর "সম্ভাব্য প্রতিকূলতাকে" সম্ভাব্যতা শর্তযুক্ত বলুন, বলুন । তাই আপনি যদি প্রকাশিত মতভেদ উপরে ভগ্নাংশ থেকে ভিন্ন, তাহলে এই বলছেন যে এবং বিভিন্ন সিদ্ধান্তে নেতৃত্ব, তাই উভয় না করার অধিকার "সত্যিকারের ফলাফল" সম্পর্কে হতে পারে (কিন্তু উভয় করতে ডান শর্তসাপেক্ষ প্রতিটি প্রণীত অনুমানের উপর হতে )।$A$$B$$A$$B$

খুনি নীচে

এই উদাহরণটিতে দেখিয়েছেন যে আপনার প্রশ্নের উত্তর সিদ্ধান্ত যদি নিচে সেদ্ধ ছিল "আরো সঠিক" চেয়ে ফুটবল খেলা বলবিজ্ঞান বর্ণনা করেন। এই প্রতিজ্ঞা নির্বিশেষে ঘটবে হতে হবে । আমরা জিজ্ঞাসা করার প্রশ্নে সর্বদা সেদ্ধ হয়ে যাব "কার অনুমান সঠিক, জুয়ার সমষ্টিগত বা আমার?" এই শেষ প্রশ্নটি মূলত অযোগ্য প্রশ্নাতীত প্রশ্ন না হওয়া পর্যন্ত আপনি প্রস্তাবনা এর (বা এর অন্তত কয়েকটি মূল বৈশিষ্ট্য) অন্তর্ভুক্ত কী তা সঠিকভাবে জানেন না। কীভাবে আপনি এমন কোনও জিনিসের তুলনা করতে পারেন যা জ্ঞানের সাথে পরিচিত নয়?$A$$B$ $A$ $B$

আপডেট: একটি আসল উত্তর :)

যেহেতু @ হুবুহু কৌতুকপূর্ণভাবে উল্লেখ করেছেন, আমি এখানে আসলে একটি প্রত্যাশিত মান দেইনি - সুতরাং এই অংশটি আমার উত্তরের সেই অংশটি কেবল সম্পূর্ণ করে। এক অনুমান করা ছিল এমন সত্য এর মূল্য নির্ধারণ করা মতভেদ সঙ্গে , তাহলে আপনি, আশা পরবর্তী খেলা গ্রহণ করতে $A$ $Q$

$$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$$ $$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

এখন যদি আপনি অনুমান মান পুলিশের হিসাবে একই মডেলের উপর ভিত্তি করে তৈরি তারপর আমরা তার পূর্বাভাস দিতে পারি কিভাবে ভবিষ্যতে মধ্যে পরিবর্তন করতে হবে। ধরুন, ইউনিফর্মের আগে আলাদা আলাদা ভিত্তিতে ছিল, , তবে সম্পর্কিত সম্ভাবনাটি হ'ল$Q$$Q$$Q$$Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

expected এর প্রত্যাশিত প্রত্যাবর্তনের সাথে

$$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

এখন যদি আমরা "পূর্বে ওজন" করে যেখানে সিজনের দৈর্ঘ্য হল (এই "মিস-মূল্যের" ঋতু বাকি মধ্যে অব্যাহত রাখার জন্য অনুমতি দেবে) এবং আমরা পাই শূন্য প্রত্যাশিত প্রত্যাবর্তন সেট করুন:$\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$$N$

$$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$$

(দ্রষ্টব্য: এটি প্রকৃত মডেল না হলে কখন এই গণনাটি করা হয়েছিল তার উপর নির্ভর করবে, কারণ এটি নির্ভর করে যা সময়ের সাথে সাথে পৃথক হবে)। এখন আমরা ভবিষ্যদ্বাণীতে কীভাবে সামঞ্জস্য হবে তা অনুমান করতে সক্ষম , এটি প্রতিটি ম্যাচের জন্য ডিনোমিনেটরে যোগ করবে এবং ম্যাচটি যদি ড্র হয় তবে সংখ্যাটিতে যোগ হবে । সুতরাং প্রথম ম্যাচের পরে প্রত্যাশিত প্রতিক্রিয়াগুলি হ'ল:$\alpha_Q$$n,k,Q$$Q$$1$$1$

$$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$ $$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$$

সেই মতভেদগুলি মরসুমে খুব বেশি পরিবর্তন হবে না। এই সান্নিধ্য ব্যবহার করে আমরা মরসুমের বাকী অংশগুলিতে প্রত্যাশিত প্রত্যাশাটি পাই:

$$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

তবে মনে রাখবেন যে এটি একটি অঙ্কনের অত্যধিক সরল মডেলের উপর ভিত্তি করে (নোট: এটি অগত্যা এর অর্থ এই নয় যে এটি একটি "বোকা" ভবিষ্যদ্বাণী হবে)। আপনার প্রশ্নের কোনও অনন্য উত্তর থাকতে পারে না, কারণ এখানে কোনও নির্দিষ্ট মডেল নেই এবং নির্দিষ্ট কোনও পূর্বনির্ধারিত তথ্য নেই (যেমন, কতজন লোক এই বুকি ব্যবহার করেন? বুকির টার্নওভার কী? আমার দামের প্রতিক্রিয়া কীভাবে তাদের দামের প্রতিকূলতাকে প্রভাবিত করবে?)। একমাত্র জিনিস যা নির্দিষ্ট করা হয়েছে তা হ'ল এক মরসুমের ডেটা এবং "কিছু অনির্দিষ্ট মডেল" এর জন্য সম্ভাব্যতাগুলি বৈষম্য মূল্যের দ্বারা নির্ধারিতগুলির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়।

Answer 2

বুকমেকাররা একটি অতিরিক্ত ব্যবহার করে তাই ফলাফল কী হয় তা তারা আসলেই চিন্তা করে না কারণ তারা যা কিছু জিততে পারে। এজন্য আপনি কখনও দরিদ্র বুকির সাথে দেখা করতে পারেন না। কোনও বুকমেকার যদি ভুলভাবে ভুল করে আপনার লাভের দক্ষতা আঁকেন তা নির্ভর করে বইয়ের নির্মাতারা যে বৈষম্য দিচ্ছেন তার উপর এবং উত্পন্ন লাভটি আপনার হারের সময়টি কাটাবে কিনা।

Comments

এটি সত্য হতে পারে তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে অপ্রাসঙ্গিক, কারণ প্রশ্নটি জুয়াড়ির প্রত্যাশিত প্রত্যাবর্তনের জন্য, বুকের প্রত্যাশিত প্রত্যাবর্তনের জন্য নয়

— সম্ভাব্যতা ব্লগ

@probability তাই কি হয় জুয়াড়ি এর প্রত্যাশিত রিটার্ন? আমি আপনার উত্তর :-) এ এটি খুঁজে পাইনি।

— হোয়বার