সীমাবদ্ধ এবং অসীম প্রকরণের মধ্যে পার্থক্য কী

Question

সীমাবদ্ধ এবং অসীম প্রকরণের মধ্যে পার্থক্য কী? আমার পরিসংখ্যান জ্ঞান বরং মৌলিক; উইকিপিডিয়া / গুগল এখানে খুব একটা সাহায্য করেনি।

Comments

অসীম বৈকল্পিক সহ বিতরণগুলি ভারী-লেজযুক্ত ; প্রচুর বিদেশী রয়েছে এবং এমন বৈশিষ্ট্য থাকতে পারে যা দেখার জন্য ব্যবহৃত হয় তার থেকে আলাদা। উদাহরণস্বরূপ, একটি কাচ্চি বিতরণ থেকে আঁকা নমুনাগুলির গড়ের পৃথক নমুনাগুলির সমান (কৌচি) বন্টন রয়েছে। এটি স্বাভাবিক বিশ্বাসের থেকে একেবারেই আলাদা যে কোনও স্বতন্ত্র নমুনার চেয়ে নমুনাটির অর্থ একটি ভাল "অনুমানক"।

— দিলীপ সরোতে

না, ভারী লেজযুক্ত অসীম বৈকল্পিকতা বা কমপক্ষে, আমার দৃষ্টিতে নয় as তবে আমি কোনও পরিসংখ্যানবিদ নই এবং সুতরাং আপনাকে এই ফোরামে উচ্চ-পদমর্যাদার ব্যবহারকারীদের থেকে আরও অনুমোদনের উত্তরের জন্য অপেক্ষা করা উচিত।

— দিলীপ সরওয়াতে

সীমাকে গ্রহণ করার সাথে সাথে জনসংখ্যার বৈকল্পিক সংজ্ঞা প্রদানকারী অখণ্ড (যোগফল) হ'ল any উদাহরণগুলির কিছু আলোচনা এখানে

— গ্লেন_ বি -রাইনস্টেট মনিকা

আমি মনে করি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, বেশিরভাগ কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বগুলি এ জাতীয় জনসংখ্যার জন্য ব্যর্থ হয় এবং এইভাবে কিছু সাধারণ ফলাফল ধসে যায়।

— হেনরি.এল

গুরুত্বপূর্ণ বিষয়: যদি জনসংখ্যার বৈকল্পিকতা অসীম হয় তবে কোনও নমুনার বৈকল্পিকতা সীমাবদ্ধ হয় তবে , বা মতো একটি নমুনা পরিসংখ্যান ব্যবহার করে জনসংখ্যার তারতম্য বা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির কোনও অনুমান , তারপরে rather বরং খারাপভাবে পক্ষপাতদুষ্ট হবে। যেহেতু অনেকগুলি পরীক্ষার পরিসংখ্যানগুলি প্রভাবের একটি আনুমানিক স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির তুলনায় সাধারণ আকারের প্রভাবের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয় এবং যেহেতু অনেকগুলি সিআই আনুমানিক স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির দ্বারা একটি স্কেলিংয়ের উপর ভিত্তি করে, এর অর্থ হ'ল অসীম বৈকল্পিকের সাথে ভেরিয়েবলগুলি সম্পর্কে পরিসংখ্যানগত অনুক্রম সম্ভবত বরং খারাপভাবে পক্ষপাতদুষ্ট হতে হবে । $s^{2}$$s$$\frac{s}{\sqrt{n}}$

— অ্যালেক্সিস

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\E}{E} \DeclareMathOperator{\var}{var}$ এলোমেলো ভেরিয়েবলটির "অসীম বৈকল্পিক" থাকার অর্থ কী? এলোমেলোভাবে প্রত্যাশা থাকা এলোমেলো পরিবর্তনশীলটির অর্থ কী? উভয় ক্ষেত্রেই ব্যাখ্যাটি একইরকম, সুতরাং আসুন আমরা প্রত্যাশার ক্ষেত্রে শুরু করি, এবং তারপরে তারতম্য।

যাক হতে একটি ক্রমাগত দৈব চলক (আরভি) (আমাদের সিদ্ধান্তে আরো সাধারণভাবে কার্যকর থাকবে, বিযুক্ত মামলা, সমষ্টি দ্বারা অবিচ্ছেদ্য প্রতিস্থাপন)। এক্সপোশন সহজ করার জন্য, ধরে নেওয়া যাক ।এক্স ≥ $X$$X \ge 0$

এর প্রত্যাশাটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় যখন অবিচ্ছেদ্য উপস্থিত থাকে, অর্থাৎ সীমাবদ্ধ থাকে। অন্যথায় আমরা বলি প্রত্যাশা নেই। এটি একটি অনুচিত অবিচ্ছেদ্য, এবং সংজ্ঞা অনুসারে সেই সীমা সীমাবদ্ধ হওয়ার জন্য, লেজ থেকে অবদান অবশ্যই মুছে যাবে, তা হ'ল আমাদের অবশ্যই কেস হওয়ার জন্য একটি প্রয়োজনীয় (তবে পর্যাপ্ত নয়) শর্ত থাকতে হবে হ'ল । উপরের প্রদর্শিত শর্তটি যা বলে, তা (ডান) লেজ থেকে প্রত্যাশার অবদানটি অবশ্যই বিলুপ্ত হবে∫ ∞ 0 x f ( x

$$\E X = \int_0^\infty x f(x) \, d x$$ $$\int_0^\infty x f(x) \, d x = \lim_{a \rightarrow \infty} \int_0^a x f(x) \, d x$$ $$\lim_{a \rightarrow \infty} \int_a^\infty x f(x) \, d x =0$$ $\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x) =0$। যদি এটি না হয় তবে প্রত্যাশাটি নির্বিচারে বৃহত্তর উপলব্ধিযোগ্য মানগুলির অবদানের দ্বারা প্রাধান্য পাবে । অনুশীলনে, এর অর্থ হবে যে অভিজ্ঞতাবাদী উপায়গুলি খুব অস্থির হবে, কারণ এগুলি খুব বড় আকারের উপলব্ধিমান মূল্যবোধের দ্বারা প্রাধান্য পাবে । এবং নোট করুন যে নমুনা মাধ্যমের এই অস্থিরতা বড় নমুনাগুলির সাথে অদৃশ্য হবে না --- এটি মডেলের অন্তর্নির্মিত অংশ!

অনেক পরিস্থিতিতে এটাকে অবাস্তব মনে হয়। একটি (জীবন) বীমা মডেল বলতে দেয়, তাই মডেলগুলি কিছু (মানব) জীবনকাল। আমরা এটি জানি, বলুন না, তবে বাস্তবে আমরা উচ্চতর সীমা ছাড়াই মডেলগুলি ব্যবহার করি। কারণটি পরিষ্কার: কোনও হার্ড উপরের সীমাটি জানা যায় না, যদি কোনও ব্যক্তি 110 বছর বয়সী হন (তবে) তিনি আরও এক বছর বাঁচতে পারবেন না এমন কোনও কারণ নেই! সুতরাং শক্ত উপরের সীমা সহ একটি মডেল কৃত্রিম বলে মনে হচ্ছে। তবুও আমরা চূড়ান্ত উপরের লেজের খুব বেশি প্রভাব ফেলতে চাই না।$X$$X > 1000$

যদি সীমাবদ্ধ প্রত্যাশা থাকে, তবে আমরা মডেলটির অনন্য প্রভাব ছাড়াই শক্ত উচ্চতর সীমাতে মডেলটি পরিবর্তন করতে পারি। অস্পষ্ট ওপরের সীমাটি এমন পরিস্থিতিতে রয়েছে যা ভাল বলে মনে হচ্ছে। যদি মডেলটির সীমাহীন প্রত্যাশা থাকে, তবে, আমরা মডেলের সাথে যে কোনও হার্ড উপরের সীমাটি পরিচয় করিয়ে দেব নাটকীয় পরিণতি হবে! এটাই অসীম প্রত্যাশার আসল গুরুত্ব।$X$

সীমাবদ্ধ প্রত্যাশা সহ, আমরা উচ্চ সীমা সম্পর্কে অস্পষ্ট হতে পারি। অসীম প্রত্যাশা নিয়ে আমরা পারি না ।

এখন, অসীম বৈকল্পিকতা সম্পর্কে অনেক একই কথা বলা যেতে পারে, মুত্তাটি মুন্ডাদি।

আরও পরিষ্কার করার জন্য, আসুন একটি উদাহরণ দেখুন। উদাহরণস্বরূপ আমরা পেরেটো বন্টনটি ব্যবহার করি, আর প্যাকেজে (সিআরএএন-তে) পেরেটো 1 হিসাবে বাস্তব হিসাবে প্রয়োগ করা হয়েছে - একক-পরামিতি পেরিটো বিতরণও পেরিটো টাইপ 1 বিতরণ হিসাবে পরিচিত। এতে দ্বারা প্রদত্ত সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ফাংশন রয়েছে কিছু পরামিতিগুলির জন্য । যখন প্রত্যাশা উপস্থিত থাকে এবং । যখন প্রত্যাশার অস্তিত্ব থাকে না বা আমরা যেমন বলে থাকি তেমনি অসীম, কারণ এটি সংহতকারী সংজ্ঞা দিয়ে অনন্তকে ডাইভারেজ করে। আমরা প্রথম মুহুর্তের বিতরণটি সংজ্ঞায়িত করতে পারি

$$f(x) = \begin{cases} \frac{\alpha m^\alpha}{x^{\alpha+1}} &, x\ge m \\ 0 &, x<m \end{cases}$$ $m>0, \alpha>0$$\alpha > 1$$\frac{\alpha}{\alpha-1}\cdot m$$\alpha \le 1$(পোস্টটি দেখুন যখন আমরা কোয়ান্টাইল এবং মিডিয়ানের পরিবর্তে ট্যান্টাইল এবং মিডিয়ালটি ব্যবহার করব? কিছু তথ্য এবং রেফারেন্সের জন্য) (প্রত্যাশা নিজেই বিদ্যমান কিনা তা বিবেচনা ছাড়াই বিদ্যমান)। (পরে সম্পাদনা করুন: আমি "প্রথম মুহুর্তের বিতরণ নামটি আবিষ্কার করেছি, পরে আমি শিখেছি এটি আংশিক মুহুর্তের " আনুষ্ঠানিকভাবে "নামগুলির সাথে সম্পর্কিত )। $$E(M) = \int_m^M x f(x) \, d x = \frac{\alpha}{\alpha-1} \left( m - \frac{m^\alpha}{M^{\alpha-1}} \right)$$

যখন প্রত্যাশাটি বিদ্যমান থাকে ( ) এর দ্বারা প্রস্তুত প্রথম মুহুর্তের বন্টন পেতে আমরা এর দ্বারা ভাগ করতে পারি, এর দ্বারা যখন একের চেয়ে সামান্য কিছুটা বড় হয়, সুতরাং প্রত্যাশাটি "সবেমাত্র সবেমাত্র বিদ্যমান", প্রত্যাশাকে সংজ্ঞায়িত করে অবিচ্ছেদ্য আস্তে আস্তে রূপান্তরিত হয়। আসুন সাথে উদাহরণটি দেখুন । আসুন তাহলে আর এর সাহায্যে পরিকল্পনা করুন :$\alpha> 1$

$$Er(M) = E(m)/E(\infty) = 1-\left(\frac{m}{M}\right)^{\alpha-1}$$ $\alpha$$m=1, \alpha=1.2$$Er(M)$

### Function for opening new plot file:
open_png  <-  function(filename) png(filename=filename,
                                     type="cairo-png")

library(actuar) # from CRAN
### Code for Pareto type I distribution:
# First plotting density and "graphical moments" using ideas from http://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm   and used some times at cross validated

m  <-  1.0
alpha <- 1.2
# Expectation:
E   <-  m * (alpha/(alpha-1))
# upper limit for plots:
upper  <- qpareto1(0.99, alpha, m)   
#
open_png("first_moment_dist1.png")
Er  <- function(M, m, alpha) 1.0 - (m/M)^(alpha-1.0)
### Inverse relative first moment distribution function,  giving
#   what we may call "expectation quantiles":
Er_inv  <-   function(eq, m, alpha) m*exp(log(1.0-eq)/(1-alpha))     

plot(function(M) Er(M, m, alpha), from=1.0,  to=upper)
plot(function(M) ppareto1(M, alpha, m), from=1.0,  to=upper, add=TRUE,  col="red")
dev.off()

যা এই প্লট উত্পাদন করে:

উদাহরণস্বরূপ, এই প্লটটি থেকে আপনি পড়তে পারেন যে প্রত্যাশায় অবদানের প্রায় 50% অবদান প্রায় 40 টির উপরে পর্যবেক্ষণ থেকে আসে এই বন্টনের প্রত্যাশা 6 হ'ল তা অবাক করে দেওয়ার মতো! (এই বিতরণের বিদ্যমান বৈকল্পিকতা নেই that তার জন্য আমাদের )।$\mu$$\alpha > 2$

উপরের সংজ্ঞায়িত Er_inv ফাংশনটি বিপরীত আপেক্ষিক প্রথম মুহুর্তের বিতরণ, কোয়ান্টাইল ফাংশনের একটি অ্যানালগ। আমাদের আছে:

> ### What this plot shows very clearly is that most of the contribution to the expectation come from the very extreme right tail!
# Example   
eq  <-  Er_inv(0.5, m, alpha)
ppareto1(eq, alpha, m)
eq

> > > [1] 0.984375
> [1] 32
> 

এটি দেখায় যে প্রত্যাশায় অবদানের 50% অবদানের উপরের 1.5% লেজ থেকে আসে! সুতরাং, বিশেষত ছোট নমুনাগুলিতে যেখানে উচ্চ সম্ভাবনা রয়েছে যে চরম লেজকে প্রতিনিধিত্ব করা হয় না, গাণিতিক মানে, যদিও প্রত্যাশা- নিরপেক্ষ অনুমানক হওয়ার পরেও অবশ্যই খুব স্কিউ বিতরণ থাকতে হবে। আমরা সিমুলেশন দ্বারা এটি তদন্ত করব: প্রথমে আমরা একটি নমুনা আকার ব্যবহার করি ।$\mu$$n=5$

set.seed(1234)
n  <-  5
N  <-  10000000  # Number of simulation replicas
means  <-  replicate(N,  mean(rpareto1(n, alpha, m) ))


> mean(means)
[1] 5.846645
> median(means)
[1] 2.658925
> min(means)
[1] 1.014836
> max(means)
[1] 633004.5
length(means[means <=100])
[1] 9970136

পঠনযোগ্য প্লট পেতে আমরা কেবলমাত্র 100 এর নীচে মান সহ নমুনার অংশের জন্য হিস্টোগ্রামটি দেখি যা এটি নমুনার একটি খুব বড় অংশ।

open_png("mean_sim_hist1.png")
hist(means[means<=100],  breaks=100, probability=TRUE)
dev.off()

পাটিগণিত উপায়ে বিতরণ খুব skew,

> sum(means <= 6)/N
[1] 0.8596413
> 

তাত্ত্বিক গড়ের চেয়ে প্রত্যাশার তুলনায় প্রায় 86% অভিজ্ঞতামূলক উপায় কম বা সমান। এটিই আমাদের প্রত্যাশা করা উচিত, যেহেতু গড়ের অবদানের বেশিরভাগ অংশ চূড়ান্ত উপরের লেজ থেকে আসে, যা বেশিরভাগ নমুনায় প্রকাশিত হয় না ।

আমাদের আগের উপসংহারটি পুনরায় মূল্যায়ন করতে আমাদের ফিরে যেতে হবে। গড় তোলে অস্তিত্ব এটা সম্ভব উপরের সীমা সম্পর্কে ঝাপসা হতে যদিও, আমরা দেখতে যে যখন "মানে শুধু সবে বিদ্যমান", যার অর্থ অবিচ্ছেদ্য ধীরে ধীরে কেন্দ্রমুখী, আমরা না সত্যিই যে উপরের সীমা সম্পর্কে ঝাপসা হতে পারে । আস্তে আস্তে কনভারজেন্ট ইন্টিগ্রালের পরিণতি রয়েছে যে এমন পদ্ধতি ব্যবহার করা ভাল যা প্রত্যাশাটি বিদ্যমান বলে ধরে নেয় না । যখন অবিচ্ছেদ্য খুব ধীরে ধীরে রূপান্তরিত হয়, তখন এটি অনুশীলনে এমন হয় যেন এটি কোনও রূপান্তরিত হয় নি। একটি কনভার্জেন্ট ইন্টিগ্রাল থেকে ব্যবহারিক সুবিধাগুলি হ'ল ধীরে ধীরে কনভার্জেন্ট ক্ষেত্রে চিমেরা! Http://fooledbyrandomness.com/complexityAugust-06.pdf এ এনএন তালেবের উপসংহারটি বোঝার এটি একটি উপায়

Comments

চমত্কার উত্তর।

— কার্ল

Answer 2

বৈচিত্র্য একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মান বিতরণের ছড়িয়ে দেওয়ার পরিমাপ। এটি কেবল এই জাতীয় পরিমাপ নয়, উদাহরণস্বরূপ পরম বিচ্যুতি বিকল্পগুলির মধ্যে একটি of

অসীম বৈকল্পিকতার অর্থ এলোমেলো মানগুলি খুব বেশি ঘন ঘন ঘন কেন্দ্রীভূত হয় না । এটা তোলে মানে হতে পারে যে আছে বৃহৎ যথেষ্ট সম্ভাবনা আগামী র্যান্ডম সংখ্যা হতে হবে খুব পর্যন্ত গড় থেকে দূরে।

নরমাল (গাউসিয়ান) এর মতো বিতরণগুলি গড় থেকে খুব দূরে এলোমেলো সংখ্যা তৈরি করতে পারে তবে এই জাতীয় ঘটনার সম্ভাবনা হ্রাসের মাত্রার সাথে খুব দ্রুত হ্রাস পায় ।

সে ক্ষেত্রে আপনি যখন কাউচি বিতরণের প্লট বা কোনও গাউসিয়ান (সাধারণ) বিতরণের দিকে তাকান, তখন এগুলি দৃষ্টিভঙ্গিতে খুব আলাদা লাগে না। তবে, আপনি যদি কাউচির বিতরণের বিভিন্নতা গণনা করার চেষ্টা করেন তবে তা অসীম হবে, অন্যদিকে গাউসিয়ান সীমাবদ্ধ। সুতরাং, কচির তুলনায় সাধারণ বিতরণ এর গড় প্রায় আরও শক্ত।

বিটিডব্লু, আপনি যদি গণিতবিদদের সাথে কথা বলেন তবে তারা জোর দেবেন যে কচির বিতরণের কোনও সুস্পষ্ট সংজ্ঞা নেই, এটি অসীম। এটি পদার্থবিজ্ঞানীদের কাছে হাস্যকর মনে হয় যারা কচির প্রতিসাম্যহীন এই বিষয়টিটির দিকে ইঙ্গিত করতেন, অতএব, এর কোনও অর্থ হতে বাধ্য। এক্ষেত্রে তারা তর্ক করতে চাইবেন সমস্যাটি আপনার বোঝার সংজ্ঞা দিয়ে, কচির বিতরণের সাথে নয়।

Comments

আপনি কি গণিতবিদ এবং পদার্থবিদ সম্পর্কে নিশ্চিত? আমার ধারণা যে পদার্থবিজ্ঞানী এই জাতীয় জিনিসগুলি সম্পর্কে খুব কঠোর হতে পারে! আমার উত্তরটি দেখুন, ধীরে ধীরে রূপান্তরটি অল্প মূল্যকে মূল্য দেয়! এছাড়াও, কোনও গণিতবিদ বলতে পারবেন না যে কচির সীমাহীন গড় রয়েছে, সঠিকভাবে অবিচ্ছেদ্যকে বোঝানো সঠিক সীমাটির অস্তিত্ব নেই, কারণ এটি উভয় লেজের মধ্যেই বিভক্ত হয়। প্রত্যাশাটি বা হওয়ার বিষয়ে কথা বলা তখনই বোধগম্য হয় যখন ডাইভারজেন্সটি কেবল একটি লেজের মধ্যে থাকে। $\infty$$-\infty$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন 20

@ কেজেটিলভালভর্সেন, "কোনও গণিতবিদই বলবেন না যে কচির অসীম অর্থ রয়েছে" - এর অর্থ সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত হয়নি যা আমার স্ট্যাটাস অধ্যাপক আমাকে বলেছিলেন ঠিক সেটাই, যখন আমার থিওর ফিজিস পরামর্শদাতাকে অবাক করে দিয়েছিলেন যে এই উপায়টি সম্পর্কে একটি প্রশ্নও রয়েছে, "অবশ্যই এটি শূন্য, এবং যদি আপনি একমত না হন তবে আপনার সংজ্ঞাটির সংজ্ঞাতে কিছু ভুল আছে"

— আকসাকাল

আপনি কি তাকে তার গড় সংজ্ঞা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিলেন?

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

@ কেজেটিভালভর্সেন, রিমন অবিচ্ছেদ্য আপনি যদি গণিতের প্রোফের কথা বলছেন। তার যুক্তিটি হ'ল রিমন রাশিতে আপনি যোগফলের যোগফল বা বিভাজনের কোনও নির্দিষ্ট ক্রম সংজ্ঞায়িত করেন না, সুতরাং আপনার যোগফল অসীম হবে। পদার্থবিজ্ঞানী পয়েন্টটি একটি প্রতিসাম্য, স্পষ্টতই, এটি "শূন্য হতে হবে"

— আকসকল

তারপরে আপনি তাকে বলতে পারেন তিনি মধ্যমা সংজ্ঞায়িত করেছেন, গড় নয়।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

Answer 3

কোয়ান্টাইল ফাংশনটি দেখার বিকল্প উপায়।

$$Q(F(x)) = x$$

তারপরে আমরা একটি মুহুর্ত বা প্রত্যাশা গণনা করতে পারি

$$E(T(x)) = \int_{-\infty}^\infty T(x) f(x) dx\\$$

বিকল্প হিসাবে ( প্রতিস্থাপন ):$f(x)dx = dF$

$$E(T(x)) = \int_{0}^1 T(Q(F)) dF \\$$

বলুন আমরা প্রথমে গণনা করতে চাই । চিত্রের নীচে এটি F এবং উল্লম্ব রেখার মাঝের অংশের সাথে (যেখানে বাম পাশের অঞ্চলটি ) হিসাবে নেতিবাচক হিসাবে গণনা করতে পারে correspond দ্বিতীয় মুহুর্তটি (একটি ফ্যাক্টর পার্থক্য সহ) রেখার সাথে ঘোরানো হলে একই অঞ্চলটি যে পরিমাণ ভূপৃষ্ঠে ভেসে যায় তার সাথে মিলবে ।$T(x) = x$$x=0$$T(x)<0$$x=0$$\pi$

চিত্রের বক্ররেখাগুলি দেখায় যে প্রতিটি কোয়ান্টাইল গণনায় কতটুকু অবদান রাখে।

সাধারণ বক্ররেখার জন্য বিশাল অবদানের সাথে খুব কম পরিমাণ কোয়ান্টাইল থাকে। তবে কচির বক্ররেখার জন্য রয়েছে আরও অনেক বড় অবদান সহ কোয়ান্টাইল। যদি কার্ভ এফ শূন্য বা একের কাছে পৌঁছায় তখন অনন্তের পক্ষে পর্যাপ্ত পরিমাণে চলে যায়, তবে অঞ্চলটি অসীম হতে পারে।$T(Q(F))$

এই অনন্তটি এত অদ্ভুত হতে পারে না যেহেতু সংহতকরণের দূরত্ব (গড়) বা স্কোয়ার দূরত্ব (বৈকল্পিক) অসীম হয়ে উঠতে পারে। এই অসীম লেজগুলির পরিমাণ কত ওজন , কত শতাংশ এফ, তা কেবলমাত্র একটি প্রশ্ন ।

শূন্য (গড়) থেকে দূরত্বের সংমিশ্রণে বা গড় থেকে বর্গক্ষেত্রের দূরত্ব (বৈকল্পিকতা) খুব দূরের একক পয়েন্টের কাছাকাছি অবস্থিত অনেকগুলি পয়েন্টের তুলনায় গড় দূরত্বের (বা স্কোয়ার দূরত্ব) বেশি প্রভাব ফেলবে।

সুতরাং আমরা যখন অনন্তের দিকে এগিয়ে যাই তখন ঘনত্ব কমে যেতে পারে তবে কিছু পরিমাণ (বর্ধমান) পরিমাণের প্রভাব যেমন দুরত্ব বা স্কোয়ার দূরত্বের পরিবর্তন হয় না।

যদি কিছু পরিমাণে এর জন্য পরিমাণের পরিমাণের জন্য যদি দূরত্বে অর্ধেক বা আরও বেশি ভর থাকে then তবে আপনি পেয়ে যাবেন যে মোট ভর because একত্রিত হবে কারণ জনগণের অবদান হ্রাস পায়, তবে বৈষম্য অসীম হয়ে যায় যেহেতু সেই অবদান হ্রাস পায় না$x$$\sqrt{2}x$$\sum \frac{1}{2^n}$$\sum ((\sqrt{2}x)^n)^2 \frac{1}{2^n} \to \infty$

Answer 4

আপনার মুখোমুখি বেশিরভাগ বিতরণে সীমাবদ্ধ বৈকল্পিকতা থাকে। এখানে একটি পৃথক উদাহরণ রয়েছে যার সীমাহীন বৈচিত্র রয়েছে তবে সীমাবদ্ধ অর্থ:$X$

এর সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন , , , যেখানে । সবার আগে কারণ এর সীমাবদ্ধ গড় রয়েছে। এছাড়াও এর অসীম বৈকল্পিকতা রয়েছে কারণ ।$p(k) = c/|k|^3$$k \in \mathbb{Z} \setminus\{0\}$$p(0) = 0$$c = (2\zeta(3))^{-1} := (2\sum_{k=1}^\infty 1/k^3)^{-1} < \infty$$\mathbb{E} \mid X\mid < \infty$$2 \sum_{k=1}^\infty k^2 / |k|^3 = 2\sum_{k=1}^\infty k^{-1} = \infty$

দ্রষ্টব্য: হ'ল রিমন জেটা ফাংশন। আরও অনেক উদাহরণ রয়েছে, কেবল এতটা লিখে আনন্দদায়ক নয়।$\zeta(x) :=\sum_{k=1}^\infty k^{-x}$

Comments

কেবল বিতরণটি প্রতিসম (যেমন একটি সমান কার্য) হ'ল, প্রয়োজনীয়ভাবে গড় তৈরি করে না ; গড়টি অস্তিত্ব থাকতে পারে কারণ যোগফল / অখণ্ড রূপটি রূপান্তরিত হয়$0$$\infty - \infty$

— দিলীপ সরোতে