আইজিং মডেলের জন্য গিবস নমুনা

Question

হোমওয়ার্ক প্রশ্ন:

1-ডি ইসিং মডেলটি বিবেচনা করুন।

যাক । হয় -1 বা +1 হয়এক্স $x = (x_1,...x_d)$$x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

লক্ষ্য বন্টন থেকে প্রায় নমুনা তৈরি করতে একটি গিবস স্যাম্পলিং অ্যালগরিদম ডিজাইন করুন ।$\pi(x)$

আমার প্রচেষ্টা:

ভেক্টর পূরণ করার জন্য এলোমেলোভাবে মান (এক -1 বা 1 । তাই হয়তো । সুতরাং এটি ।এক্স = ( - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1 , - 1 , 1 , 1 , । । । , 1 ) x $x = (x_1,...x_{40})$$x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$$x^0$

সুতরাং এখন আমাদের এগিয়ে যাওয়া এবং প্রথম পুনরাবৃত্তি করা প্রয়োজন। এর জন্য আমাদের আলাদাভাবে 40 টি বিভিন্ন এক্স আঁকতে হবে । তাই ...$x^1$

থেকে আঁকুন π ( এক্স 1 | x 0 2 , । । । , x 0 40$x_1^1$$\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

থেকে আঁকুন π ( এক্স 2 | x 1 1 , x 0 3 , । । । , x 0 40$x_2^1$$\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

থেকে আঁকুন π ( এক্স 3 | x 1 1 , x 1 2 , x 0 4 , । । । , x 0 40$x_3^1$$\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

ইত্যাদি ..

সুতরাং যে অংশটি আমাকে ট্রিপ করছে তা হ'ল কীভাবে আমরা আসলে শর্তসাপেক্ষ বিতরণ থেকে আঁকব। কীভাবে $\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$ play খেলতে আসে? হতে পারে একটি অঙ্কনের উদাহরণ দিয়ে বিষয়গুলি পরিষ্কার হয়ে যাবে।

Answer 1

প্রথমে এই ক্ষেত্রে দেখুন। উপর নির্ভর করে না এমন পদগুলি ফেলে দেওয়া , আমাদের কাছে। π ( x 1 ∣ x 2 , … , এক্স ডি ) = π ( এক্স 1 , এক্স 2 , … , এক্স ডি$x_1$পি(এক্স1=-1∣এক্স2=এক্স2,…,এক্সএন=এক্সএন)=ই - এক্স

$$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$$ $$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$$ $$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$$ $$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

এটিকে (পার্থক্যের বিষয়টি লক্ষ্য করুন; দেখুন)।$x_2,\dots,x_{40}$

আপনার সিমুলেশন পরীক্ষা করতে আপনি কি ইসিংয়ের বিশ্লেষণমূলক ফলাফলগুলি ব্যবহার করতে পারেন ?

Comments

সুতরাং, শেষ পর্যন্ত শুধুমাত্র ভেক্টর অর্থাৎ এটা আগে মূল্যের ওপর নির্ভরশীল হচ্ছে অবিলম্বে শুধুমাত্র শব্দটি উপর নির্ভর করে হয় , শুধুমাত্র শব্দটি উপর নির্ভর করে হয় , ইত্যাদি কি মামলা এর ? আমরা কীভাবে এটি আঁকব যেহেতু শর্তসাপেক্ষ বিতরণ কেবলমাত্র 39 এর জন্য প্রযোজ্য ? $x_1$$x_2$$x_{23}$$x_{24}$$x_{40}$$i=1$

— কলিন

@ user2079802: না, এর জন্য মাধ্যমে আপনি এক্সপোনেন্ট মধ্যে দুটি পদ পাবেন: । তবে জন্য এটি মূল্যায়ন করা এখনও সহজ । $x_2$$x_{39}$$\pi(x_i\mid x_1,\dotsc,x_{i-1}; x_{i+1},\dotsc,x_d)$ $\propto$ $\exp(x_{i-1} x_i+x_i x_{i+1})$$x_i=\pm1$

— ইলমারি করোনেন