ইন্ডিপেন্ডেন্ট র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কাজ

Question

দাবিটি কি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফাংশনগুলি নিজেরাই স্বাধীন, সত্য?

আমি দেখেছি যে ফলাফলটি প্রায়শই কিছু প্রমাণগুলিতে অন্তর্নিহিতভাবে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ, নমুনা গড়ের এবং একটি সাধারণ বন্টনের নমুনার পরিবর্তনের মধ্যে স্বতন্ত্রতার প্রমাণ হিসাবে, তবে আমি এর পক্ষে ন্যায়সঙ্গততা খুঁজে পাইনি। দেখে মনে হচ্ছে কিছু লেখক এটিকে প্রদত্ত হিসাবে গ্রহণ করেছেন তবে আমি নিশ্চিত নই যে এটি সর্বদা হয়।

Answer 1

স্বাধীনতার সবচেয়ে সাধারণ ও বিমূর্ত সংজ্ঞা এই কথন তুচ্ছ করার সময় একটি গুরুত্বপূর্ণ কোয়ালিফাইং শর্ত সরবরাহ করে তোলে: দুই র্যান্ডম ভেরিয়েবল সিগমা-algebras তারা উৎপন্ন স্বাধীন স্বাধীন মাধ্যম। কারণ সিগমা-বীজগণিত একটি দ্বারা উত্পন্ন পরিমাপযোগ্য একটি সিগমা-বীজগণিত এর ফাংশন একটি উপ-বীজগণিত হল কঠিনতর যুক্তিসহকারে ঐ র্যান্ডম ভেরিয়েবল কোনো পরিমাপযোগ্য ফাংশন স্বাধীন algebras আছে, কোথা যারা ফাংশন স্বাধীন।

(যখন কোনও ফাংশন পরিমাপযোগ্য না হয়, এটি সাধারণত একটি নতুন এলোমেলো পরিবর্তনশীল তৈরি করে না, তাই স্বতন্ত্রের ধারণাটি এমনকি প্রয়োগ হয় না))

---

এটি কতটা সহজ তা দেখতে সংজ্ঞাগুলি মোড়ক করা যাক। স্মরণ করুন যে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হল "স্যাম্পল স্পেস" (সম্ভাবনার মাধ্যমে অধ্যয়নের ফলাফলগুলির সেট) এর উপর সংজ্ঞায়িত করা একটি আসল মূল্যবান ফাংশন ।$X$$\Omega$

1. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সম্ভাবনার মাধ্যমে অধ্যয়ন করা হয় যে এর মান বাস্তব সংখ্যার বিভিন্ন ব্যবধানের মধ্যে থাকে (বা আরও সাধারণভাবে অন্তরগুলির বাইরে সহজ উপায়ে সেটগুলি সেট করে: এগুলি বাস্তব সংখ্যার বোরেল পরিমাপযোগ্য সেট)।$X$

2. কোনো Borel পরিমাপযোগ্য সেট সংশ্লিষ্ট হয় ঘটনা এর মধ্যে রয়েছে সব ফলাফল , যার জন্য মধ্যে মিথ্যা ।এক্স ∗ ( আই ) ω এক্স ( ω ) $I$ $X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. দ্বারা উত্পাদিত সিগমা-বীজগণিত এই জাতীয় সমস্ত ইভেন্টের সংগ্রহ দ্বারা নির্ধারিত হয়।$X$

4. সাদাসিধা সংজ্ঞা বলছেন দুই র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং হয় স্বাধীন "যখন তাদের সম্ভাব্যতা সংখ্যাবৃদ্ধি।" তা হল, যখন একজন বোরেল পরিমাপযোগ্য সেট এবং তখন অন্যটি হয়ওয়াই আই $X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. তবে ইভেন্টগুলির ভাষায় (এবং সিগমা বীজগণিতগুলি) এর মতোই

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

এখন দুটি ফাংশন বিবেচনা করুন এবং ধরুন যে এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল। (চেনাশোনাটি কার্যকরী রচনা: । অর্থ "এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফাংশন" হতে পারে।) বিজ্ঞপ্তি - এটি এটি কেবলমাত্র প্রাথমিক সেট তত্ত্ব - এটি f ∘ X g ∘ Y ( f ∘ X ) ( ω ) = f ( X ( ω ) ) $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

$$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$$

অন্য কথায়, দ্বারা উত্পন্ন প্রতিটি ইভেন্ট (যা বাম দিকে থাকে) স্বয়ংক্রিয়ভাবে দ্বারা উত্পন্ন একটি ইভেন্ট$f\circ X$$X$ f ∘ X g ∘ Y (ডান হাতের আকারের দ্বারা প্রদর্শিত হিসাবে)। অতএব (5) স্বয়ংক্রিয়ভাবে এবং জন্য ধারণ করে : যাচাই করার মতো কিছুই নেই!$f\circ X$$g\circ Y$

---

এনবি আপনি যে কোনও উপাদান উপায়ে অন্য কোনও পরিবর্তন করার প্রয়োজন ছাড়াই " " এর মান সহ "যেকোন জায়গায়" সত্যিকারের মূল্যবান "প্রতিস্থাপন করতে পারেন । এটি ভেক্টর-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কেসটি কভার করে।$\mathbb{R}^d$

Comments

সিগমা বীজগণিতগুলি উন্নত (স্নাতক স্তরের) স্টাফ।

— আকসকল

@ আকসাকাল এটি নির্ভর করে আপনি কোন স্কুলে যান বা কোন বই পড়েন। (আমি দ্বিতীয় বছরের স্নাতক স্তরে সফলভাবে এই উপাদানটি শিখিয়েছি। স্নাতক স্তরে এই তত্ত্বের আশ্চর্যরূপে অ্যাক্সেসযোগ্য অ্যাকাউন্ট রয়েছে যেমন স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাসের স্টিভেন শ্রেভের পাঠ্যগুলি, যা কেবলমাত্র একটি ক্যালকুলাসের পটভূমি সহ শিক্ষার্থীদের উদ্দেশ্যে সম্বোধন করা হয়।) তবে কীভাবে এটি প্রাসঙ্গিক? যে কোনও ন্যায়সঙ্গততা - এমনকি একটি পরিশীলিত - একটি যুক্তিসঙ্গত দাবিতে অগ্রাধিকার দেওয়া উচিত।

— হোয়বার

যে কেউ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছেন তাকে সহায়তা করার জন্য আপনি এই সমস্ত সমস্যায় গিয়ে অত্যন্ত সদয় হন। আবার ধন্যবাদ. এবং আপনি ঠিক বলেছেন, সংজ্ঞাগুলি সব পরে খুব বেশি ভয়ঙ্কর নয়।

— JohnK

Answer 2

এই "কম উন্নত" প্রমাণ বিবেচনা করুন:

যাক , যেখানে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং পরিমাপযোগ্য ফাংশন। তারপরে: এবং স্বাধীনতা ব্যবহার করে , X , Y f , g P { f ( X ) ≤ x  এবং  g ( Y ) ≤ y $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$$X,Y$$f,g$এক্স ওয়াই পি ( { এক্স ∈ { ডাব্লু ∈ আর এন : ফ ( ডাব্লু ) ≤ এক্স }

$$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$$ $X$$Y$ $$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$$

ধারণাটি লক্ষ্য করা যায় যে সুতরাং জন্য বৈধ যে বৈশিষ্ট্যগুলি পর্যন্ত প্রসারিত হয় এবং ক্ষেত্রেও এটি ঘটে ।

$$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$$ $X$$f(X)$$Y$

Comments

+1 টি। এই অবদানের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, যা স্পষ্টতই প্রয়োজনীয় ধারণাটির উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। আমাদের সাইটে আপনাকে স্বাগতম!

— হোবার

Answer 3

$g(X)$$h(Y)$$g$$h$$X$$Y$

Comments

ধন্যবাদ, আমি বর্তমানে হগ এবং ক্রেগ এবং এমজিবি অধ্যয়ন করছি। বিলিংসলে হ'ল পরবর্তী যৌক্তিক পদক্ষেপ।

— JohnK

আপনি যদি গণিতবিদ না হন এবং ইতিমধ্যে পদক্ষেপগুলি অধ্যয়ন না করেন তবে বিলিংসই নির্যাতন। পার্থারথির পরিচিতি 2-ইন-1 বইটি আরও সহজ , অ্যালান কররের সম্ভাব্য পাঠ্যও সহজ পাঠযোগ্য।

— আকসাকাল

: চেয়ে Billingsley এর আরেকটি সহজ টেক্সট probability.ca/jeff/grprobbook.html

— আদ্রিয়ান

Answer 4

বিকল্প হিসাবে নয়, তবে পূর্ববর্তী উজ্জ্বল উত্তরগুলির সংযোজন হিসাবে, নোট করুন যে এই ফলাফলটি আসলে খুব স্বজ্ঞাত।

$X$$Y$$X$$Y$