যদি ,

9

: নিম্নলিখিত সেট আপ ধরে
আসুন $Z_i = \min\{k_i, X_i\}, i=1,...,n$ । এছাড়াও $X_i \sim U[a_i, b_i], \; a_i, b_i >0$ । তাছাড়া $k_i = ca_i + (1-c)b_i,\;\; 0<c<1$ অর্থাত্ $k_i$ হ'ল সংশ্লিষ্ট সমর্থনের সীমানার উত্তল সংমিশ্রণ। $c$ সবার জন্য সাধারণ $i$ ।

আমি মনে করি আমার কাছে এর বিতরণ আছে $Z_i$ : এটি একটি মিশ্র বিতরণ ।
এটা একটা ক্রমাগত অংশ রয়েছে

X_{i} \in [a_{i}, k_{i}), Z_{i} = X_{i} \Rightarrow Pr (Z_{i} \leq z_{i}) = \frac{z_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}

$X_i \in [a_i, k_i), Z_i=X_i \Rightarrow \Pr(Z_i \le z_i) = \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}$ এবং তারপর বিচ্ছিন্নভাবে এবং একটি বিযুক্ত অংশ যেখানে সম্ভাব্য ভর কেন্দ্রীভূত:

Pr (Z_{i} = k_{i}) = Pr (X_{i} > k_{i}) = 1 - Pr (X_{i} \leq k_{i})

$\Pr(Z_i=k_i) = \Pr(X_i > k_i) = 1- \Pr(X_i \le k_i)$

= 1 - \frac{k_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}} = 1 - \frac{(1 - c) (b_{i} - a_{i})}{b_{i} - a_{i}} = c

$= 1- \frac {k_i - a_i}{b_i-a_i} = 1-\frac {(1-c)(b_i-a_i)}{b_i-a_i} =c$

সুতরাং সমস্ত

F_{Z_{i}} (z_{i}) = {\begin{cases} 0 z_{i} < a_{i} \\ \frac{z_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}} a_{i} \leq z_{i} < k_{i} \\ 1 k_{i} \leq z_{i} \end{cases}

$F_{Z_i}(z_i) = \begin{cases} 0\qquad z_i<a_i\\ \\ \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}\qquad a_i\le z_i<k_i \\ \\1\qquad k_i\le z_i\end{cases}$

যখন মিশ্র "বিযুক্ত / ক্রমাগত" ভর / ঘনত্ব ফাংশন জন্য, এটা $0$ ব্যবধান বাহিরে $[a_i, k_i]$ , এটি একটি ধারাবাহিক অংশ একটি অভিন্ন ঘনত্ব থাকে $U(a_i, b_i)$ , $\frac {1}{b_i-a_i}$ তবে $a_i\le z_i<k_i$ এবং এটি তে ইতিবাচক সম্ভাবনা ভর $c >0$ কে $z_i = k_i$ ।

সব মিলিয়ে এটি বাস্তবের উপর unityক্যের যোগফল।

আমি এলোমেলো ভেরিয়েবল $S_n \equiv \sum_{i=1}^n Z_i$ হিসাবে, বিতরণ এবং / বা মুহুর্তগুলি সম্পর্কে কিছু অর্জন করতে বা বলতে চাই । $n\rightarrow \infty$

বলুন, যদি গুলি স্বতন্ত্র থাকে তবে এটি দেখতে হিসাবে । আমি কি সেই অংশটিকে "উপেক্ষা" করতে পারি, এমনকি আনুমানিক হিসাবেও? তারপরে আমার কাছে এলোমেলো মধ্যে বিস্তৃত র্যান্ডম ভেরিয়েবল , সেন্সর করা ইউনিফর্মগুলির যোগফলের মতো দেখতে, "অন-সেন্সরড" হওয়ার পথে এবং সম্ভবত কিছু কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য ... তবে আমি সম্ভবত এখানে রূপান্তরিত হওয়ার পরিবর্তে ডাইভারিং করছি, সুতরাং, কোন পরামর্শ? $X_i$ $\Pr(S_n = \sum_i^nk_i) = c^n \rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $[\sum_{i=1}^na_i,\; \sum_{i=1}^nk_i)$

পিএস: এই প্রশ্নটি প্রাসঙ্গিক, সেন্সরড ভেরিয়েবলের যোগফলের বিতরণ করা , তবে @ গ্লেন_বি'র উত্তরটি আমার যা প্রয়োজন তা নয় -আমার এই জিনিসটিকে বিশ্লেষণাত্মকভাবে কাজ করতে হবে, এমনকি আনুমানিকতা ব্যবহার করেও। এটি গবেষণা, সুতরাং দয়া করে এটি হোমওয়ার্কের মতো আচরণ করুন-জেনারেল পরামর্শ বা সাহিত্যের উল্লেখগুলি যথেষ্ট ভাল।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

আপনি যে প্রয়োজন হয়, তাহলে বিতরণের লিখতে যেমন , উপযুক্ত সঙ্গে , যা একটি বোরেল সেট।

Z_{i}

$Z_i$

μ_{Z_{i}} (B) = P (Z_{i} \in B) = \int_{B} g (t) d t + c I_{B} (k_{i})

$\mu_{Z_i}(B)=P(Z_i\in B)=\int_B g(t)\,dt +c\,I_B(k_i)$

g

$g$

B

$B$

— জেন

@ জেন আমি ইতিমধ্যে প্রশ্নে লিখেছিলাম যে বিতরণটি বন্ধ। এছাড়াও RHS এটা সুস্পষ্ট যে, এই তোলে একটি ঘনত্ব ঘোরা কিন্তু একটি সম্ভাব্যতা জন্য -এবং আমি কম্প্যাক্ট স্বরলিপি পছন্দ করেন।

f

$f$

f

$f$

[a_{i}, k_{i})

$[a_i,k_i)$

k_{i}

$k_i$

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

যতদূর আমি জানি, সাথে এই স্বরলিপিটি পিডিএফ এবং পিএমএফের উপস্থিতি নেই; মিশ্র বিতরণগুলি সুনির্দিষ্টভাবে বর্ণনা করার জন্য আমাদের কাছে সঠিক গাণিতিক ভাষা আছে। আমি সন্দেহ করি আপনি যখন আপনার গবেষণা প্রকাশ করবেন তখন এই স্বরলিপিটি গৃহীত হবে। অবশ্যই আমার মতামত. আপনার পছন্দ মতো এটি সর্বদা করা উচিত।

f

$f$

— জেন

@ জেন পাবলিশিং একটি দীর্ঘ পথ এগিয়ে - এবং প্রকৃতপক্ষে, পর্যালোচকরা যখন অ-প্রতিষ্ঠিত স্বীকৃতি দেখেন তখন ভীতু হন। এটি যখন কেবল বহু লাইনে একটি ধাপে ধাপে বিতরণ বর্ণনা করতে চায় তখন এটি কেবল একটি সংক্ষিপ্ত hand এর পক্ষে এবং প্রতিষ্ঠিত নোটেশনের বিরুদ্ধে কোনও "যুক্তি নেই" যেমন উদাহরণস্বরূপ আপনি আগের মন্তব্যে যেটি ব্যবহার করেছেন।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

5

আমি হেনরির টিপ অনুসরণ করতাম এবং লায়াপুনভকে দিয়ে পরীক্ষা করতাম । সত্য যে ডিস্ট্রিবিউশন মিশ্র যতদিন একটা সমস্যা হয় না হওয়া উচিত, 's এবং এর আচরণ সঠিকভাবে। নির্দিষ্ট , , প্রতিটি এর জন্য নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে সিমুলেশন দেখায় যে স্বাভাবিকতা ঠিক আছে। $\delta=1$ $a_i$ $b_i$ $a_i=0$ $b_i=1$ $k_i=2/3$ $i\geq 1$

xbar <- replicate(10^4, mean(pmin(runif(10^4), 2/3)))
hist((xbar - mean(xbar)) / sd(xbar), breaks = "FD", freq = FALSE)
curve(dnorm, col = "blue", lwd = 2, add = TRUE)

CLT

— জেন
সূত্র

সত্যিই বেশ স্বাভাবিক। জানা ভাল. সিএলটি-র জন্য সাধারণ পরিস্থিতি এখানে কখনও সমস্যা ছিল না, আমার প্রশ্নটি ছিল যে অ্যাসিপটোটিক ফলাফলকে মুছে ফেলা এবং পরিবর্তিত সিএলটি প্রয়োজন এমন আরও কিছু সূক্ষ্ম সমস্যা রয়েছে কিনা। আপনার সিমুলেশনটি দেখায় যে প্রকৃতপক্ষে বিচ্ছিন্নতা বিচ্ছিন্নতা সম্ভাবনায় নগণ্য হয়ে যায় কারণ আরও ভেরিয়েবলগুলি যোগফলে প্রবেশ করে।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

সুনির্দিষ্ট কিছু নয়, তবে তারা কোনও সমস্যা পোষণ করে না। সূচকের চেয়ে আলাদা, সীমাবদ্ধ সংখ্যাগুলিও তাদের সম্পর্কে ভাবেন । বেড়ে ওঠার সাথে সাথে এগুলি বাড়তে বা হ্রাস করতে পারে (নির্দিষ্ট কোনও নিয়ম নেই) এবং তাদের মধ্যে কোনওটিই অপরের চেয়ে তুলনামূলকভাবে বেশি নয় ... তবুও তারা "তুলনীয়" সত্তার আকারের পার্থক্যকে উপস্থাপন করে। সুতরাং লিন্ডবার্গের অবস্থা অবশ্যই অবশ্যই ধরে রেখেছে

i

$i$

i

$i$

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

খুশী হলাম। পরবর্তী পদক্ষেপের জন্য শুভকামনা। দেখতে আকর্ষণীয় সমস্যা মনে হচ্ছে।

— জেন

3

সংকেতগুলি:

ধরে নেওয়া যায় যে স্থির হয়ে গেছে এবং স্বতন্ত্র তবে আপনি প্রতিটি এর গড় এবং বৈকল্পিক গণনা করতে পারেন : উদাহরণস্বরূপ এবং আপনি জানেন । $c$ $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2$ $Z_i$ $\mu_i=E[ Z_i] = c\frac{a_i+k_i}{2} + (1-c)k_i$ $k_i = ca_i + (1-c)b_i$

তারপরে, এবং সরবরাহ করা খুব দ্রুত বাড়বে না, আপনি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্যটি এই সিদ্ধান্তের সাথে প্রয়োগ করতে লিয়াপুনভ বা লিন্ডবার্গ শর্তাদি ব্যবহার করতে পারেন যে বন্টনকে একটি সাধারণ রূপান্তরিত করে, বা একটি হাত- অর্থে প্রায়শই গড় mean যোগ দিয়ে বিতরণ করা হয় এবং বৈকল্পিক । $a_i$ $b_i$ $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\sum_1^n \sigma_i^2}}\left(\sum_1^n Z_i - \sum_1^n \mu_i\right)$ $\sum_1^n Z_i$ $\sum_1^n \mu_i$ $\sum_1^n \sigma_i^2$

— হেনরি
সূত্র

ধন্যবাদ। সঙ্গে কোনো সমস্যা নেই 's এবং এর, তারা সূচকের সাথে হত্তয়া না, তারা শুধু ওঠানামা প্রায়। সুতরাং আপনি মূলত বলছেন যে সিএলটি মিশ্র বিতরণের সাথে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলিও কভার করতে পারে?

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

উদাহরণস্বরূপ যদি এবং স্থির করা থাকে, তবে আপনার স্বতন্ত্রভাবে একটি সীমাবদ্ধ বৈকল্পিকের সাথে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি বিতরণ করা হত, সুতরাং কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি প্রয়োগ হবে। এটি মিশ্রণ বিতরণ কিনা তা এই ফলাফলকে প্রভাবিত করে না। আমি যা বলছি তা হ'ল আপনি এগুলিকে এমন ক্ষেত্রে প্রসারিত করতে পারবেন যেখানে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি স্বতন্ত্র তবে অভিন্নরূপে বিতরণ করা হয়নি, তবে শর্ত থাকে যে উপায় এবং প্রকরণটি যুক্তিসঙ্গত থাকে।

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

— হেনরি

2

এই প্রশ্নে আমার প্রধান উদ্বেগ ছিল যে আমি যা পরীক্ষা করছি তাতে কেউ "যথারীতি" সিএলটি প্রয়োগ করতে পারে কিনা। ব্যবহারকারী @ হেনরি দৃserted়ভাবে জানিয়েছিলেন যে একজন, ব্যবহারকারী @ জেন এটি একটি সিমুলেশন মাধ্যমে দেখিয়েছেন। এইভাবে উত্সাহিত হয়েছে, আমি এখন এটি বিশ্লেষণ করে প্রমাণ করব।

আমি প্রথমে যা করতে যাচ্ছি তা হ'ল মিশ্র বিতরণের সাথে এই পরিবর্তনশীলটির একটি "স্বাভাবিক" মুহূর্ত উত্পন্নকরণের কার্য রয়েছে তা যাচাই করা। বোঝাতে প্রত্যাশিত মান , তার স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন, এবং কেন্দ্রিক এবং স্কেল করা সংস্করণ দ্বারা । পরিবর্তনশীল সূত্র প্রয়োগ করে আমরা দেখতে যে অবিচ্ছিন্ন অংশটি এর মুহুর্তটি তৈরির ফাংশন হওয়া উচিত $\mu_i$ $Z_i$ $\sigma_i$ $Z_i$ $\tilde Z_i = \frac {Z_i-\mu_i}{\sigma_i}$

f_{\tilde{Z}} ({\tilde{z}}_{i}) = σ_{i} f_{Z} (z_{i}) = \frac{σ_{i}}{b_{i} - a_{i}}

$f_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \sigma_if_Z(z_i) = \frac {\sigma_i}{b_i-a_i}$

{\tilde{Z}}_{i}

$\tilde Z_i$

{\tilde{M}}_{i} (t) = E (e^{{\tilde{z}}_{i} t}) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{{\tilde{z}}_{i} t} d F_{\tilde{Z}} ({\tilde{z}}_{i}) = \int_{{\tilde{a}}_{i}}^{{\tilde{k}}_{i}} \frac{σ_{i} e^{{\tilde{z}}_{i} t}}{b_{i} - a_{i}} d z_{i} + c e^{{\tilde{k}}_{i} t}

$\tilde M_i(t) = E(e^{\tilde z_it}) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{\tilde z_it}dF_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \int_{\tilde a_i}^{\tilde k_i}\frac{\sigma_ie^{\tilde z_it}}{b_i-a_i}dz_i + ce^{\tilde k_it}$

\Rightarrow {\tilde{M}}_{i} (t) = \frac{σ_{i}}{b_{i} - a_{i}} \frac{e^{{\tilde{k}}_{i} t} - e^{{\tilde{a}}_{i} t}}{t} + c e^{{\tilde{k}}_{i} t}

$\Rightarrow \tilde M_i(t)=\frac {\sigma_i}{b_i-a_i}\frac{e^{\tilde k_it}-e^{\tilde a_it}}{t} +ce^{\tilde k_it}$ সঙ্গে

{\tilde{k}}_{i} = \frac{k_{i} - μ_{i}}{σ_{i}}, {\tilde{a}}_{i} = \frac{a_{i} - μ_{i}}{σ_{i}}

$\tilde k_i = \frac {k_i-\mu_i}{\sigma_i},\;\; \tilde a_i = \frac {a_i-\mu_i}{\sigma_i}$

ডেরিভেটিভগুলি বোঝাতে প্রাইমগুলি ব্যবহার করে, আমরা যদি মুহূর্তটি উত্পন্ন করার ফাংশনটি সঠিকভাবে নির্দিষ্ট করে তবে আমাদের উচিত যেহেতু এই একটি কেন্দ্রিক এবং স্কেলড এলোমেলো পরিবর্তনশীল। এবং প্রকৃতপক্ষে, ডেরাইভেটিভস গণক মধ্যে L'Hopital এর নিয়ম প্রয়োগের দ্বারা অনেক , সময়, (যেহেতু শূন্য এ MGF মান সীমা মাধ্যমে গণনা করা আবশ্যক) এবং বীজগাণিতিক হেরফেরের করছেন, আমি প্রথম দুই equalities, যাচাই করেছেন। তৃতীয় সাম্যতা অত্যন্ত ক্লান্তিকর প্রমাণিত, তবে আমি বিশ্বাস করি যে এটি ধারণ করে।

{\tilde{M}}_{i} (0) = 1, {\tilde{M}}_{i}^{'} (0) = E (\tilde{Z}) = 0 \Rightarrow {\tilde{M}}_{i}^{″} (0) = E ({\tilde{Z}}_{i}^{2}) = Var ({\tilde{Z}}_{i}) = 1

$\tilde M_i(0) = 1, \;\; \tilde M_i'(0) = E(\tilde Z) = 0 \Rightarrow \tilde M_i''(0) = E(\tilde Z_i^2) = \operatorname {Var}(\tilde Z_i)=1$

সুতরাং আমরা একটি সঠিক এমজিএফ আছে। যদি আমরা এর ২ য়-অর্ডার টেলর সম্প্রসারণ শূন্যের কাছাকাছি নিই, আমাদের আছে

\tilde{M} (t) = \tilde{M} (0) + {\tilde{M}}^{'} (0) t + \frac{1}{2} {\tilde{M}}^{″} (0) t^{2} + o (t^{2})

$\tilde M(t) = \tilde M(0) + \tilde M'(0)t +\frac 12\tilde M''(0)t^2 + o(t^2)$

\Rightarrow \tilde{M} (t) = 1 + \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

$\Rightarrow \tilde M(t) = 1 + \frac 12t^2+ o(t^2)$

এর থেকে বোঝা যায় যে বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি (এখানে কাল্পনিক ইউনিটকে বোঝায়) । $i$

\tilde{ϕ} (t) = 1 + \frac{1}{2} (i t)^{2} + o (t^{2}) = 1 - \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

$\tilde \phi(t) = 1 + \frac 12 (it)^2 + o(t^2)= 1 - \frac 12 t^2 + o(t^2)$

দ্বারা চরিত্রগত ফাংশন বৈশিষ্ট্য , আমরা যে চারিত্রিক কার্যকারিতা থাকতে সমান $\tilde Z/\sqrt n$

{\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z} / \sqrt{n}} (t) = {\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z}} (t / \sqrt{n}) = 1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (t^{2} / n)

$\tilde \phi_{\tilde Z/\sqrt n}(t)=\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n) = 1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)$

এবং যেহেতু আমরা স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল আছে, চারিত্রিক ফাংশন হয় $\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i$

{\tilde{ϕ}}_{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i}} (t) = \prod_{i = 1}^{n} {\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z}} (t / \sqrt{n}) = \prod_{i = 1}^{n} (1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (t^{2} / n))

$\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t)= \prod_{i=1}^n\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n)=\prod_{i=1}^n\left(1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)\right)$

তারপর

lim_{n \to \infty} {\tilde{ϕ}}_{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i}} (t) = lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{t^{2}}{2 n})}^{n} = e^{- t^{2} / 2}

$\lim_{n\rightarrow \infty}\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t) = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1 - \frac {t^2}{2n}\right)^n = e^{-t^2/2}$

দ্বারা কিভাবে সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করা হয় $e$ । এটি ঘটে যায় যে শেষ শব্দটি হ'ল স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন এবং লেভির ধারাবাহিকতা উপপাদ্য অনুসারে আমাদের কাছে

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i \xrightarrow{d} N(0,1)$

যা সিএলটি। লক্ষ্য করুন যে - ভেরিয়েবল না অভিন্নরুপে বিতরণ করা হয়, "অদৃশ্য" ভিউ থেকে একবার আমরা তাদের কেন্দ্রিক এবং স্কেল করা সংস্করণ বিবেচিত এবং তাদের MGF / সিএইচএফ এর 2nd-অর্ডার টেলর সম্প্রসারণ বিবেচিত: পড়তা যে পর্যায়ে, এই ফাংশন অভিন্ন, এবং সমস্ত পার্থক্যগুলি বাকী শর্তগুলিতে সংক্ষিপ্ত হয় যা সংক্ষিপ্তভাবে অদৃশ্য হয়ে যায়। $Z$

স্বতন্ত্র স্তরে আইডিজিঙ্ক্র্যাটিক আচরণ, সমস্ত স্বতন্ত্র উপাদান থেকে তবুও, যখন আমরা গড় আচরণ বিবেচনা করি তখন অদৃশ্য হয়ে যায়, আমি বিশ্বাস করি এটি খুব ভালভাবে একটি মিশ্র বিতরণযুক্ত এলোমেলো ভেরিয়েবলের মতো কোনও বাজে প্রাণী ব্যবহার করে প্রদর্শিত হয়েছে।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

সত্যিই দুর্দান্ত, আলেকোস আমার অনুভূতি যে যুক্তি আরও নির্দিষ্ট অবস্থার উপর নির্ভর উচিত 's এবং এর। উদাহরণস্বরূপ: দ্রুত হলে কী প্রমাণটি ভেঙে যায় ? (আমি জানি আপনার আবেদনে এটি ঘটে না)) আপনি কী ভাবেন?

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

(b_{i} - a_{i}) ↓ 0

$(b_i-a_i)\downarrow 0$

— জেন

@ জেন স্বতন্ত্র কিন্তু অ-পরিচয়যুক্ত বিতরণ করা আরভি'র রূপগুলি সম্পর্কিত বিষয়টি খুব সূক্ষ্ম একটি, আমি এখনও মনে করি না যে আমি এখনও এটি স্পষ্টভাবে বুঝতে পেরেছি। পরিচিত লায়াপুনভ বা লিন্ডবার্গের শর্তগুলি কেবল সিএলটি রাখার জন্য যথেষ্ট । এমন কিছু ঘটনা রয়েছে যেখানে এই শর্তগুলি না করলেও সিএলটি হোল্ড করে। সুতরাং আমি মনে করি যে আমরা যদি বৈকল্পিকগুলি আবদ্ধ না করি, তবে কোনও উত্তর নেই, এবং সমস্যাটি সম্পূর্ণ কেস-নির্দিষ্ট হয়ে যায়। এমনকি বিলিংসলের বইও এ বিষয়ে পরিষ্কার নয়। বাকীটি কেমন হবে এবং আমরা এটি সম্পর্কে কী বলতে পারি তা প্রশ্ন।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস