যে কেউ একটি "এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল" এর ধারণাটি পরিষ্কার করতে পারে?

21

আমার সম্ভাব্যতার ক্লাসে নিয়মিত "র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগস" পদটি ব্যবহৃত হয়। যাইহোক, আমি আটকে আছি ঠিক তার মানে কি?

আমরা কি এলোমেলো ভেরিয়েবল থেকে একগুচ্ছ উপলব্ধির যোগফলের কথা বলছি? যদি তাই হয়, এটি একটি একক সংখ্যা যোগ করে না? এলোমেলো পরিবর্তনশীল উপলব্ধির একটি যোগফল কীভাবে আমাদেরকে কোনও বিতরণে বা কোনও ধরণের সিডিএফ / পিডিএফ / ফাংশনে নিয়ে যায়? এবং যদি এটি এলোমেলো পরিবর্তনীয় উপলব্ধি না হয় তবে ঠিক কী যুক্ত করা হচ্ছে?

— Gosset
সূত্র

1

'একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের উপলব্ধি' দ্বারা আমি ধরে নিয়েছি যে আপনি প্রকৃত পর্যবেক্ষিত মানগুলি বোঝায়। 'র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল' এর মধ্যে সংক্ষিপ্তসারটি কী তা পর্যবেক্ষণ হওয়ার আগে এলোমেলো ভেরিয়েবল। লিফটে উঠতে পরের 5 জনের ওজন গণনা করার কল্পনা করুন। আপনি তাদের ওজন জানেন না (এখনও) এবং তাই তারা প্রতিটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। তবে আপনি সম্ভবত তাদের ওজনের যোগফলের বিতরণ সম্পর্কে কিছু জানতে চান।

— পিটারআর

@ পিটারআর এটি আমি বুঝতে পারি না। এমনকি এমন কোনও কিছু যুক্ত করার কথা বলার কী কী অর্থ আছে যেটির এখনও কোনও মূল্য নেই? এটি একটি রূপক ধরণের সমষ্টি?

— গোসেট

1

আমি মনে করি আপনার সমস্যা হ'ল আপনি বুঝতে পারবেন না যে এলোমেলো পরিবর্তনীয় কি। আপনি যদি এই ধারণাটি পান তবে যোগফলটি খুব সহজেই আসবে।

— আকসকল

@ আকসাকাল কি সত্য নয় যে আমি ইতিমধ্যে এই প্রশ্ন প্রমাণ পোস্ট করেছি? সম্ভবত আপনি যদি এটি জানেন, আপনি ধারণাটি পরিষ্কার করতে পারে?

— গোসেট

দুর্দান্ত উত্তর দেওয়া হয়েছে। আর একটি ভাল উদাহরণ দুটি ডাইসের যোগফল,

। ফলাফলটি পরিষ্কারভাবে এলোমেলো (দুজনের মৃত্যুর যোগফল কী হবে তা আপনি আগেই জানেন না)। আমরা জানি যে

এবং স্বতন্ত্র। দেখা যাচ্ছে যে

ত্রিভুজাকার বিতরণ রয়েছে।

X + Y

$X+Y$

X, Y \sim U n i f (1, 6)

$X,Y\sim Unif(1,6)$

X + Y

$X+Y$

— bdeonovic

39

এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি শারীরিক, স্বজ্ঞাত মডেল হ'ল কাগজের এক বা একাধিক স্লিপে জনসংখ্যার প্রতিটি সদস্যের নাম - "টিকিট" - লিখে টিকিটগুলি একটি বাক্সে রেখে দেওয়া। বাক্সের বিষয়বস্তুগুলি পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে মেশানোর প্রক্রিয়া, তারপরে অন্ধভাবে একটি টিকিট বের করে - লটারির মতো - মডেলগুলি এলোমেলোভাবে। অ-ইউনিফর্ম সম্ভাব্যতাগুলি বাক্সে চলক সংখ্যক টিকিট প্রবর্তন করে মডেল করা হয়: সম্ভাব্য সদস্যদের জন্য আরও টিকিট, কম সম্ভাব্যতার জন্য কম।

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হ'ল জনসংখ্যার প্রতিটি সদস্যের সাথে যুক্ত একটি নম্বর। (অতএব, ধারাবাহিকতার জন্য, প্রদত্ত সদস্যের প্রতিটি টিকিটের উপর একই নম্বর লেখা থাকতে হবে।) একাধিক সংখ্যক টিকিটে স্থান সংরক্ষণ করে একাধিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে মডেল করা হয়। আমরা সাধারণত মত যারা শূণ্যস্থান নাম প্রদান এবং । সমষ্টি ঐ র্যান্ডম ভেরিয়েবল স্বাভাবিক সমষ্টি: SUM জন্য প্রতি টিকিট-এ একটি নতুন স্থান সংরক্ষিত আছে, মান বন্ধ পড়া ইত্যাদি প্রতিটি টিকিটে, এবং যে নতুন স্থান তাদের যোগফল লিখুন। এটি টিকিটে সংখ্যা লেখার একটি ধারাবাহিক উপায়, সুতরাং এটি অন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল। $X,$ $Y,$ $Z$ $X,$ $Y,$

ব্যক্তিত্ব

এই চিন্তা একটি বক্স জনসংখ্যা প্রতিনিধিত্বমূলক চিত্রিত এবং তিনটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল , , এবং । এটা তোলে ছয় টিকেট রয়েছে: তিন (নীল) এটি একটি সম্ভাব্যতা দিতে , দুটি (হলুদ) এটি একটি সম্ভাব্যতা দিতে , এবং এক (সবুজ) এটি একটি সম্ভাব্যতা দিতে $\Omega=\{\alpha,\beta,\gamma\}$ $X$ $Y$ $X+Y$ $\alpha$ $3/6$ $\beta$ $2/6$ $\gamma$ $1/6$ । টিকিটে যা লেখা আছে তা প্রদর্শনের জন্য সেগুলি মিশ্রিত হওয়ার আগে দেখানো হয়েছে।

এই পদ্ধতির সৌন্দর্যটি হ'ল প্রশ্নের সমস্ত প্যারাডোক্সিকাল অংশগুলি সঠিক হয়ে উঠেছে:

এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল একটি একক, নির্দিষ্ট সংখ্যা (জনসংখ্যার প্রতিটি সদস্যের জন্য),
তবুও এটি বিতরণও করে (ফ্রিকোয়েন্সিগুলি দিয়ে দেওয়া হয় যা দিয়ে বাক্সে যোগফলটি প্রদর্শিত হয়) এবং
এটি এখনও কার্যকরভাবে একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া মডেল করে (কারণ টিকিটগুলি এখনও অন্ধভাবে বাক্স থেকে আঁকা আছে)।

এই ফ্যাশনে যোগফলের একই সাথে একটি নির্দিষ্ট মান থাকতে পারে (প্রতিটি টিকিটের প্রতিটি সংখ্যার জন্য প্রয়োগের বিধি অনুসারে দেওয়া হয়) যখন উপলব্ধি হয় - যা বাক্স থেকে টিকিট হবে - যতক্ষণ না তার মূল্য নেই এটা বাহিত হয়।

একটি বাক্স থেকে টিকিট আঁকার এই শারীরিক মডেলটি তাত্ত্বিক সাহিত্যে গৃহীত হয়েছে এবং নমুনা স্থান (জনসংখ্যা), সিগমা বীজগণিত (তাদের সম্পর্কিত সম্ভাব্যতার ব্যবস্থা সহ) এবং র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের নমুনা জায়গার উপর নির্ধারিত পরিমাপযোগ্য ফাংশনগুলির সংজ্ঞা দিয়ে কঠোর করা হয়েছে ।

"এলোমেলো ভেরিয়েবল বলতে কী বোঝায়?" এ এলোমেলো উদাহরণগুলির সাথে এলোমেলোভাবে ভেরিয়েবলের এই অ্যাকাউন্টটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে ? ।

— whuber
সূত্র

3

অনুকরণীয় পোস্ট +1। আমি আশা করি আপনি আপত্তিহীন প্রশ্নটি আপত্তি করবেন না, তবে চিত্রণটি কী করা হয়েছিল?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

4

@ গ্লেন_বি পাওয়ারপয়েন্ট :-)। একটি বাক্সের চিত্রটি mymiddlec.files.wordpress.com/2013/09/empty-box.jpg থেকে । টিকিটগুলি পাওয়ার পয়েন্ট গ্রাফিক্স। (এই ধরণের প্রশ্নগুলির মধ্যে কোন অবজ্ঞাত কিছুই নেই!) আমি পুরো গোছাটিকে দলবদ্ধ করেছি, এটি পেইন্টে আটকালাম এবং এটি একটি .png ফাইল হিসাবে সংরক্ষণ করতে ব্যবহার করেছি।

— হোয়বার

আমি কিছু মিস করছি তবে মনে হচ্ছে আপনি জনসংখ্যার প্রতিটি সদস্যের উপর একাধিক সংখ্যাসূচক লেবেল লিখছেন। সমস্ত বর্ণের এক্স = 1, ওয়াই = 2 এবং তাই এক্স + ওয়াই = 3 .. এক্স, ওয়াই এবং এক্স + ওয়াই ঠিক একই বন্টন রয়েছে, এখানে একটি মান দ্বারা স্থানান্তরিত হয়েছে বিভিন্ন লেবেলের কারণে

— মিলোমিন্ডারবাইন্ডার

1

@ শুভ - লিখিত ফ্রিকোয়েন্সি থাকা উচিত। 'অন্তর্নিহিত সম্ভাব্যতা পরিমাপ' বলতে গাণিতিক জারগনে ভাল পারদর্শী নয়। যাইহোক আপনি আমার বামন পেয়ে যাচ্ছেন। আমি দেখতে পেলাম কীভাবে আমি টিকিটে সংখ্যার সাথে এটিকে পছন্দসই সম্ভাবনা বন্টন দিতে খেলতে পারি। অভিশাপের পর্যায়ে এই পদ্ধতিরটিকে কেবল 'লেবেল' সহ একটি ওয়ার্ডপ্লে হিসাবে মনে হয়েছিল এবং তাই এটি স্পষ্টভাবে দেখছে না। এটি এই সাইটে আপনি 50 বার আমাকে সাহায্য করার মতো হবে। আপনাকে ধন্যবাদ

— মিলোমিন্ডারবাইন্ডার

1

@ মিলো আপনাকে স্বাগতম আমি এখন দেখছি যে আপনি পূর্ববর্তী মন্তব্যে আমি যে উদাহরণ দিয়েছিলাম তার চেয়ে এই উত্তরে আপনি উদাহরণটিতে প্রতিক্রিয়া ব্যক্ত করেছিলেন। উত্তরের উদাহরণে আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি 1: 2: 3 সহ তিনটি আলাদা টিকিট রয়েছে এবং এই ক্ষেত্রে "সম্ভাব্যতা পরিমাপ" এর অর্থ এটিই। এটি কেবল জারগন নয়, অন্তর্নিহিত ধারণাগুলির জন্য গভীর প্রয়োজন need দেখ, ইন্টার আলিয়া, stats.stackexchange.com/questions/199280 কিছু চমৎকার অ্যাকাউন্টগুলির জন্য।

— whuber

4

এই বাক্যাংশের পিছনে কোনও গোপন রহস্য নেই, আপনি যতটা ভাবতে পারেন এটি সহজ: যদি এক্স এবং ওয়াই দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় তবে তাদের যোগফলটি এক্স + ওয়াই এবং এই যোগফলটিও এলোমেলো পরিবর্তনশীল। যদি X_1, X_2, X_3, ..., X_n এবং n এলোমেলো ভেরিয়েবল হয় তবে তাদের যোগফলটি X_1 + X_2 + X_3 + ... + X_n হয় এবং এই যোগফলটিও একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল (এবং এই যোগফলের আদায়টি একক হয় সংখ্যা, যথা n আদায়ের যোগফল)।

আপনি ক্লাসে এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিমাণ সম্পর্কে এত কথা বলেন কেন? এর এক কারণ হ'ল (আশ্চর্যজনক) কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য: আমরা যদি এই সংখ্যার (প্রায়) সার্বিকভাবে একক ভেরিয়েবলের বিতরণের স্বতন্ত্রভাবে বিতরণের "পূর্বাভাস" দিতে পারি তার চেয়ে অনেকগুলি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি যোগ করি! যোগফলটি একটি সাধারণ বিতরণে পরিণত হয় এবং আসল বিশ্বে আমরা প্রায়শই সাধারণ বন্টন লক্ষ্য করি কারণ এটিই সম্ভবত।

— jolvi
সূত্র

3

আরভি হ'ল একটি ইভেন্টের সংঘটন এবং একটি আসল সংখ্যার মধ্যে একটি সম্পর্ক। বলুন, যদি এটি X এর মান 1 হয় তবে এটি 0 হয় না। যদি আপনার ঠান্ডা থাকে তখন 10 এর সমান আরভি ওয়াই থাকতে পারে এবং গরম যখন 100 থাকে। সুতরাং, যদি বৃষ্টি এবং শীত হয় তবে এক্স = 1, ওয়াই = 10, এবং এক্স + ওয়াই = 11।

এক্স + ওয়াইয়ের মানগুলি 10 (ঠাণ্ডা বৃষ্টি না হওয়া); 11 (বৃষ্টি, শীতকালীন), 100 (বৃষ্টি হচ্ছে না, গরম) এবং 110 (বৃষ্টি, গরম) আপনি যদি ইভেন্টগুলির আমাদের সম্ভাবনাগুলি অনুভব করেন তবে আপনি এই নতুন আরভি এক্স + ওয়াইয়ের পিএমএফ পাবেন।

— Aksakal
সূত্র

1

$X,Y$ $X+Y$ $\Omega_1\times \Omega_2$ $X,Y$ $\Omega=\{Head,Tail\}$ $X(Head)=Y(Head)=1, X(Tail)=Y(Tail)=0$ $(X+Y)$ $X,Y$ $\sigma-$ $X,Y$

— ড্যানিয়েল লি
সূত্র