যদি ".632 বিধি" তে সম্ভাবনাগুলি সমান না হয় তবে কী হবে?

এই প্রশ্নটি ".632 বিধি" সম্পর্কে এটি থেকে নেওয়া হয়েছে । আমি ব্যবহারকারীর 3৩৩ এর উত্তর / স্বরলিপিটি নির্দিষ্ট করে রেখার সাথে লিখছি যা বিষয়গুলি সহজ করে reference

এই উত্তরটি এর আকারের নমুনা দিয়ে শুরু হয় প্রতিস্থাপনের সাথে, সংগ্রহের পৃথক আইটেমগুলি থেকে (কল করুন) এটি এন নমুনা একটি নির্দিষ্ট উপাদান থেকে পৃথক হওয়ার সম্ভাবনা তখন $n,$ $n$ $i^{th}$ $s_i$ $m$ $(1 - 1/n).$

এই উত্তরে এন এর সমস্ত উপাদানগুলির এলোমেলোভাবে আঁকানোর সমান সুযোগ রয়েছে।

আমার প্রশ্নটি এটি: অনুমান করুন যে পরিবর্তে উপরের প্রশ্নে আঁকানো আইটেমগুলি এমন যে তারা সাধারণত বিতরণ করা হয়। এটি হ'ল, আমরা স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক বক্ররেখকে থেকে (বলি) 100 সমান দৈর্ঘ্যের সাবিনটারভালগুলিতে ভাগ করি। এন এর 100 টি আইটেমের প্রত্যেকটির আঁকার সম্ভাবনা থাকে যা তার নিজ বিরতিতে বক্ররেখার দ্বারা বর্ধিত ক্ষেত্রের সমান। $Z = -4$ $Z = 4$

আমার চিন্তাভাবনাটি নিম্নরূপ:

যুক্তি আমার মনে হয় যে লিঙ্কিত উত্তরে এটির সাথে মিল রয়েছে। সম্ভাব্যতা যে , সঙ্গে এন এর একটি উপাদান হল, যা অঙ্কনের সম্ভাবনা নেই $s_i \ne m$ $m$ $P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$ $F_i$ $s_i.$

একটি নির্দিষ্ট উপাদান m এর আকার n এর নমুনা S এর সম্ভাবনাটি

P (m \in S) = 1 - P (m \notin S) = 1 - \prod_{1}^{n} P (s_{i} \neq m)

$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$

= 1 - \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) .

$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$

একটি গণনা দেখায় বলে মনে হচ্ছে যে সাবিনটার্ভালগুলির দৈর্ঘ্য ছোট হওয়ায় উত্তর প্রথম ক্ষেত্রে যেমন একই সংখ্যায় রূপান্তরিত হয় ( সম্ভাব্যতা সমস্ত সমান)। $s_i$

এটি (আমার কাছে) বিপরীতমুখী বলে মনে হচ্ছে কারণ নির্মাণটি এন এর উপাদানগুলিকে বিরল বলে মনে হচ্ছে, তাই আমি .632 এর চেয়ে কম সংখ্যক আশা করব।

এছাড়াও, যদি এটি সঠিক হয় তবে আমার ধারণা we

lim_{n \to \infty} \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) = lim (1 - 1 / n)^{n} = 1 / e,

$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$

যা আমি এখনও সত্য বা মিথ্যা হতে জানি না।

সম্পাদনা: এটি সত্য হলে এটি সম্ভবত কিছু সাধারণ হবে general

কোন অন্তর্দৃষ্টি জন্য ধন্যবাদ।

probability sampling

— ড্যানিয়েল
সূত্র

আমি কেবল গণিত এসই (প্রশ্ন 791114) এর শেষ সমীকরণ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছি কারণ এটি আদৌ কীভাবে জেনারেলাইজ করে তাতে আমিও আগ্রহী।

— ড্যানিয়েল

... এবং সংক্ষিপ্ত উত্তরটি হ'ল শেষ সমতাটি ভাল আচরণিত পিডিএফগুলির জন্য সঠিক, সুতরাং প্রশ্নের উত্তর হ'ল। .৩২ বিধি বিস্তৃত বিভিন্ন অন্তর্নিহিত বিতরণকে ধারণ করে।

— ড্যানিয়েল

আমি কি অন্য কারও উত্তর অন্য সাইট থেকে তুলতে এবং এটি আমার হিসাবে পোস্ট করতে পারি? এজন্য আমি সংক্ষিপ্ত মন্তব্য পোস্ট করেছি। এটি করার একটি গ্রহণযোগ্য উপায় থাকতে পারে, যদি তাই হয় তবে আমি আধ্যাত্মিক।

— ড্যানিয়েল

অবশ্যই আপনি কিছু সময় উত্সটি উল্লেখ করতে পারেন :)

— ফায়ারব্যাগ

@ ফায়ারব্যাগ: আপনি কি এমন কোনও উদাহরণের দিকে ইঙ্গিত করতে পারেন যেখানে এটি করা হয়েছে যাতে আমি কী বলতে চাইছি তা দেখতে পারি? ধন্যবাদ।

— ডানিয়েল

প্রশ্ন সীমাবদ্ধ আচরণ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে

\begin{matrix} (1) & = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) \end{matrix}

$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$

যেহেতু বৃদ্ধি পায় এবং অভিন্নভাবে সংকুচিত হয় যাতে (ক) সমস্ত অ-নেতিবাচক এবং (খ) তারা unityক্যের যোগফল। (এগুলি নির্মাণ এবং সম্ভাবনার অনুসরণ করে )) $n$ $F_i$ $F_i$

সংজ্ঞা অনুসারে, এই পণ্যটি এটির লগারিদমের ক্ষতিকারক:

\prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) = \exp (\sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i})) .

$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$

টেলরের উপপাদ্য (অবশিষ্টের ল্যাঞ্জরেজ ফর্মের সাথে) , প্রয়োগ হয়েছিল , এটি প্রতিষ্ঠিত করে $\log$

\log (1 - F_{i}) = - F_{i} - \frac{1}{2} ϕ_{i}^{2} \geq - F_{i} - \frac{1}{2} F_{i}^{2}

$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$

ব্যবধানে কিছু এর জন্য । অন্য কথায়, এই লগারিদমের সমান পদ যে কিছু হয় পর্যন্ত সর্বাধিক বার । কিন্তু যখন বৃহৎ যথেষ্ট আশ্বাস যে সব চেয়ে ছোট কিছু দেওয়া (ক অবস্থার অভিন্ন সংকোচন দ্বারা আশ্বস্ত ), তারপর (খ) বোঝা এবং সেইজন্য $\phi_i$ $[0, F_i]$ $-F_i$ $1/2$ $F_i^2$ $n$ $F_i$ $\epsilon\gt 0$ $F_i$ $n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

\sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} ϵ^{2} < \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{1}{n})}^{2} = \frac{1}{n} .

$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$

অতএব

- 1 = - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i}) \geq - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} - \frac{1}{2} \frac{1}{n} = - 1 - \frac{1}{2 n}

$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$

দুটি সিকোয়েন্স রূপান্তর করার মধ্যে লোগারিদমকে স্ক্রু করে । যেহেতু অবিচ্ছিন্ন থাকে তাই পণ্য এই সীমাটির রূপান্তর করে । অতএব $-1$ $\exp$ $\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$ $\exp(-1)$

lim_{n \to \infty} (1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i})) = 1 - \exp (- 1) \approx 0.632,

$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$

Qed ।

এই বিশ্লেষণকে ঘনিষ্ঠভাবে পর্যালোচনা করে প্রমাণিত হয় যে এই অনুমানের ত্রুটিটি (যা সর্বদা নীচে আবদ্ধ হবে) আকারে উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণকে টুকরা এবং মধ্যে মোড নিকটে সর্বাধিক উত্পাদন করে , যেখানে এটি প্রায় একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান, । পূর্বের আবদ্ধ সূত্রের মান স্থাপন করে এর সীমিত মানের এর মধ্যে হবে be আসল ত্রুটি কম মাত্রার অর্ডার,

(\exp ((n / 2) max (F_{i}^{2})) - 1) \exp (- 1) .

$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$

n = 400

$n=400$

- 4

$-4$

4

$4$

F_{i}

$F_i$

0

$0$

\exp (- 1 / 2) / 50 \approx 0.012

$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$

(1)

$(1)$

0.011

$0.011$

0.001041

$0.001041$ । এখানে হিসাবটি এখানে রয়েছে R(যা আমরা বিশ্বাস করতে পারি কারণ এর তুলনায় সত্যই ছোট নয় ):

f_{i}

$f_i$

1

$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

নিশ্চয় 1 - prod(1-f)নয় যেহেতু হল । $0.6331615\ldots$ $1-\exp(-1)$ $0.6321206\ldots$

— whuber
সূত্র

ত্রুটি বিশ্লেষণ এই উত্তরের একটি খুব সহায়ক দিক।

— ড্যানিয়েল