কেন বারবার পদক্ষেপগুলি আনোভা গোলকত্ব গ্রহণ করে?

গোলাকৃতির দ্বারা আমি এই ধারণাটি বোঝাতে চাইছি যে গ্রুপগুলির মধ্যে সমস্ত জুটিযুক্ত পার্থক্যের বৈচিত্র একই হওয়া উচিত।

বিশেষত, আমি কেন বুঝতে পারি না কেন এটি অনুমান করা উচিত এবং না যে পর্যবেক্ষণ করা গোষ্ঠীর স্কোরগুলির ভেরিয়েন্সগুলি সেগুলি একই হয়।

— user1205901 - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন
সূত্র

আমি এখানে যেমন মন্তব্য করেছি , কারণ আরএম স্তরের মধ্যে পার্থক্য ভেরিয়েবলগুলি বেঁধে দেওয়া হয়েছে, তাদের উত্স অনুসারে গোলকত্বটি বোঝায় যে তাদের একই বৈকল্পিকতা রয়েছে।

— ttnphns

উত্তর দেওয়ার আগে এটি কার্যকর হবে যদি আপনি বুঝতে পারেন যে কেন স্বাধীন পদক্ষেপগুলি আনোভাতে ভিন্নতার এককত্বের ধারণা রয়েছে।

— জন

@ জন আমার বোধগম্যতা হ'ল stats.stackexchange.com/questions/81914/… এ দেওয়া উত্তরটি সঠিকভাবে সেই প্রশ্নের উত্তর দেয়।

— ব্যবহারকারী1205901 - মনিকা

@ttnphns দুর্ভাগ্যক্রমে আমি আপনার উত্তরটি বেশ বুঝতে পারি না। আপনি বা অন্য কোনও পোস্টার আরও বিশদ প্রতিক্রিয়া হিসাবে এটি স্পিন করতে আগ্রহী?

— ব্যবহারকারী1205901 - মনিকা

উত্তর:

গোলাকৃতির অনুমানের পিছনে অন্তর্দৃষ্টি

সাধারণ, পুনরাবৃত্তি না হওয়া ব্যবস্থার একটি অনুমান, আনোভা সমস্ত গ্রুপে সমান বৈচিত্র্য।

(আমরা এটি বুঝতে পারি কারণ সমান বৈকল্পিক, সমকামিতা হিসাবেও পরিচিত , লিনিয়ার প্রতিরোধের ক্ষেত্রে ওএলএসের অনুমানকারীকে নীল হতে হয় এবং সংশ্লিষ্ট টি-পরীক্ষাগুলি বৈধ হওয়ার জন্য দেখুন, গাউস the মার্কভ উপপাদ্যটি দেখুন এবং আনোভা লিনিয়ার হিসাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে রিগ্রেশন।)

সুতরাং আসুন আরএম-আনোভা কেসকে নন-আরএম ক্ষেত্রে হ্রাস করার চেষ্টা করি। সরলতার জন্য, আমি এক-ফ্যাক্টর আরএম-আনোভা (কোনও বিষয়ে-বিষয় প্রভাব ছাড়াই) আরএম অবস্থায় রেকর্ড করা বিষয় নিয়ে কাজ করব dealing $n$ $k$

প্রতিটি বিষয়ের নিজস্ব বিষয়-নির্দিষ্ট অফসেট বা ইন্টারসেপ্ট থাকতে পারে। যদি আমরা অন্য সমস্ত গ্রুপের মান থেকে একটি গোষ্ঠীতে মানগুলি বিয়োগ করি তবে আমরা এই বাধাগুলি বাতিল করব এবং এই গোষ্ঠীর পার্থক্যগুলি সমস্ত শূন্য কিনা তা পরীক্ষা করতে আমরা যখন আর-আরএম-আনোভা ব্যবহার করতে পারি তখন সেই পরিস্থিতিতে পৌঁছে যাব । এই পরীক্ষাটি বৈধ হওয়ার জন্য, আমাদের এই পার্থক্যের সমান বৈকল্পিকগুলির একটি অনুমানের প্রয়োজন । $k-1$ $k-1$

এখন আমরা অন্যান্য সমস্ত গ্রুপ থেকে গোষ্ঠী 2 টি বিয়োগ করতে পারি, আবার পার্থক্যে পৌঁছে যাগুলির সমান বৈকল্পিক হওয়া উচিত। থেকে বাইরে থাকা প্রতিটি গ্রুপের জন্য, সংশ্লিষ্ট পার্থক্যগুলির সমান হওয়া উচিত। এটি দ্রুত অনুসরণ করে যে সব সম্ভব পার্থক্য সমান হতে হবে। $k-1$ $k$ $k-1$ $k(k-1)/2$

যা স্পষ্টতই গোলকের ধারনা।

গ্রুপ বৈকল্পগুলি কেন তাদের সমান হওয়া উচিত নয়?

আমরা যখন আরএম-ANOVA চিন্তা আমরা সাধারণত ফর্মের একটি সহজ যুত মিশ্র মডেল-শৈলী মডেল মনে যেখানে বিষয় প্রভাব, হয় শর্ত প্রভাব এবং ।

y_{i j} = μ + α_{i} + β_{j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}=\mu+\alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij},$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{j}

$\beta_j$

ϵ \sim N (0, σ^{2})

$\epsilon\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$

এই মডেল জন্য, গ্রুপ পার্থক্য অনুসরণ করবে , অর্থাত্ সব একই ভ্যারিয়েন্স থাকবে , তাই sphericity ঝুলিতে। তবে প্রতিটি গোষ্ঠী এবং রূপগুলি সাথে গাউসিয়ানদের মিশ্রণ অনুসরণ করবে যা বিভিন্ন গ্রুপের মধ্যে ধ্রুবক বৈকল্পিক সাথে কিছু জটিল বিতরণ । $\mathcal N(\beta_{j_1} - \beta_{j_2}, 2\sigma^2)$ $2\sigma^2$ $n$ $\alpha_i$ $\sigma^2$ $V(\vec \alpha, \sigma^2)$

সুতরাং এই মডেলটিতে, প্রকৃতপক্ষে, গ্রুপ বৈকল্পিকগুলিও একই। গ্রুপের সমবায়িকাগুলিও একই, এর অর্থ এই মডেলটি যৌগিক প্রতিসাম্যকে বোঝায় । গোলকের তুলনায় এটি আরও কঠোর শর্ত। উপরোক্ত আমার স্বজ্ঞাত যুক্তিটি দেখায়, আরএম-আনোভা আরও সাধারণ পরিস্থিতিতে ঠিকঠাক কাজ করতে পারে, যখন উপরে লেখা অ্যাডিটিভ মডেলটি ধরে না রাখে ।

সঠিক গাণিতিক বক্তব্য

আমি থেকে এখানে কিছু যোগ করতে যাচ্ছি Huynh & Feldt, 1970, বার বার মাপ নকশার অবস্থার অধীনে যেটার অর্থ স্কয়ার অনুপাত সঠিক আছে -Distributions $F$ ।

গোলকত্ব ভাঙলে কী ঘটে?

যখন গোলকত্বটি ধরে না রাখে, আমরা সম্ভবত আরএম-আনোভা (i) স্ফীত আকারের (আরও ধরণের আই ত্রুটি) প্রত্যাশা করতে পারি, (ii) শক্তি হ্রাস পেয়েছে (আরও ধরণের II ত্রুটি রয়েছে)। কেউ সিমুলেশন দ্বারা এটি অন্বেষণ করতে পারে, তবে আমি এখানে এটি করতে যাচ্ছি না।

— জীবাণুবিশেষ
সূত্র

দেখা যাচ্ছে যে গোলকের লঙ্ঘন করার প্রভাবটি ক্ষয় হ্রাস (অর্থাত্ দ্বিতীয় ধরণের ত্রুটির বৃদ্ধি সম্ভাবনা) এবং একটি পরীক্ষা পরিসংখ্যান (এফ-অনুপাত) যা কেবল এফ-বিতরণের ট্যাবুলেটেড মানগুলির সাথে তুলনা করা যায় না। এফ-পরীক্ষা খুব উদার হয়ে যায় (যেমন নাল অনুমানটি সত্য হয় যখন নাল হাইপোথিসিসের প্রত্যাখ্যানের অনুপাত আলফা স্তরের চেয়ে বড় হয়।

এই বিষয়ে যথাযথ তদন্ত জড়িত, তবে ভাগ্যক্রমে বাক্স এট আল একটি প্রবন্ধ লিখেছেন: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177728786

সংক্ষেপে, পরিস্থিতি নিম্নরূপ। প্রথমত, আসুন আমরা এস বিষয়গুলির সাথে পুনরায় পরিমাপের নকশার একটি ফ্যাক্টর রয়েছে এবং একটি পরীক্ষামূলক চিকিত্সা এই ক্ষেত্রে স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের প্রভাব পরীক্ষা করে পরিসংখ্যান F পরিসংখ্যান দ্বারা পরীক্ষা করা হয়, যা গড় বর্গ দ্বারা প্রভাবের গড় বর্গের অনুপাত হিসাবে গণনা করা হয় বিষয় ফ্যাক্টর এবং স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া। যখন গোলাকৃতিটি ধারণ করে, তখন এই পরিসংখ্যানগুলিতে এবং ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে ফিশার বিতরণ থাকে । $\upsilon_{1}=A-1$ $\upsilon_{2}=(A-1)(S-1)$

উপরে নিবন্ধে বক্স প্রকাশ, যখন sphericity ব্যর্থ হয়, স্বাধীন ডিগ্রীগুলির সঠিক সংখ্যা উঠবে যে, ফাঃ অনুপাত একটি sphericity উপর নির্ভর করে তাই ভালো: $\upsilon_{1}$ $\epsilon$

υ_{1} = ε (একজন - 1)

$\upsilon_{1} = \epsilon(A-1)$

υ_{2} = ε (একজন - 1) (এস - 1)

$\upsilon_{2} = \epsilon(A-1)(S-1)$

এছাড়াও বক্স গোলকত্ব সূচক প্রবর্তন করে, যা জনসংখ্যার কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য । আমরা যদি এই এই এই এক্সএ টেবিলের এন্ট্রি কল করি , তবে সূচক হয় $\xi_{a,a}$

ε = \frac{{(Σ_{একটি}^{} ξ_{একটি, একটি})}^{2}}{(একজন - 1) Σ_{একটি, {একটি}^{'}}^{} ξ_{একটি, {একটি}^{'}}^{2}}

$\epsilon = \frac{\left ( \sum_{a}^{ }\xi_{a,a} \right )^{2}}{\left ( A-1 \right )\sum_{a,a'}^{ }\xi_{a,a'}^{2}}$

গোলাকৃতির বাক্স সূচকটি কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের ইগেনভ্যালুগুলির সাথে ভালভাবে বোঝা যায়। স্মরণ করুন যে কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিকগুলি ধনাত্মক আধা-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিকগুলির শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত এবং তাই সর্বদা নাল ইগেনভ্যালুতে ইতিবাচক থাকে। সুতরাং, গোলাকৃতির শর্তটি সমস্ত ইগেনালুগুলি একটি ধ্রুবকের সমান হিসাবে সমান।

সুতরাং, যখন গোলকত্ব লঙ্ঘিত হয় তখন আমাদের এফ পরিসংখ্যানগুলির জন্য কিছু সংশোধন প্রয়োগ করা উচিত, এবং এই সংশোধনগুলির সর্বাধিক উল্লেখযোগ্য উদাহরণ হ'ল গ্রিনহাউস-গিজার এবং হুইন-ফিল্ড্ট, উদাহরণস্বরূপ

কোনও সংশোধন ছাড়াই আপনার ফলাফল পক্ষপাতদুষ্ট এবং তাই বিশ্বাসযোগ্য হবে না। আশাকরি এটা সাহায্য করবে!

— বিশাল শিক্ষাবিদ
সূত্র

+1 টি। আমি আরও পরে মন্তব্য করব, তবে আপাতত আপনার প্রথম অনুচ্ছেদে শক্তি এবং পরীক্ষার আকার একসাথে মিশে গেছে। গোলকত্ব লঙ্ঘিত হলে প্রতিবন্ধকতা কী? শূন্যের নীচে টাইপ আই ত্রুটির হার? নাকি শক্তি? অথবা উভয়? আপনার সম্ভবত উভয়টি বোঝানো হয়েছে তবে গঠন খুব পরিষ্কার নয় (আমার মনে হয়)। এছাড়াও, এটি "বক্স এট আল" নয়, এটি একা বক্স :)

— অ্যামিবা

আমি মনে করি শক্তিটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই প্রতিবন্ধী হবে, কারণ বাক্স যেমন দেখিয়েছে, গোলকত্ব লঙ্ঘন করা হয় তখন আমাদের সম্পূর্ণ ভিন্ন পরিসংখ্যানের উপর নির্ভর করতে হয় (স্বাধীনতার অন্য এক ডিগ্রি সহ)। আমরা যদি এর উপর নির্ভর না করি, তবে আমাদের লঙ্ঘন কতটা শক্তিশালী তার উপর নির্ভর করে আমাদের নাল অনুমানের প্রত্যাখ্যানের বৃহত অনুপাত থাকবে।

— বিশাল শিক্ষাবিদ

দুঃখিত, এখনও বিভ্রান্ত, এখন আপনার মন্তব্যে: "নাল প্রত্যাখ্যানের বৃহত অনুপাত" - আপনার অর্থ নালটি আসলে কী সত্য? তবে পাওয়ারের সাথে এর কোনও সম্পর্ক নেই, এটি টাইপ আই ত্রুটির হার rate

— অ্যামিবা

+10। আমি এই উত্তরে আমার অনুগ্রহকে পুরষ্কার দিচ্ছি: এটি ভাল এবং এটিও একমাত্র উত্তর যা অনুগ্রহের সময়কালে উপস্থিত হয়েছিল। আমি আপনার উত্তর (এখনও?) দিয়ে পুরোপুরি সন্তুষ্ট নই এবং আমি নিজের উত্তর লিখতে শুরু করি (বর্তমানে অসম্পূর্ণ, তবে ইতিমধ্যে পোস্ট করা হয়েছে), তবে অন্তর্নিহিত গণিত সম্পর্কে আমার কেবল একটি আংশিক বোঝাপড়া রয়েছে। আপনার উত্তর অবশ্যই স্পষ্টভাবে সাহায্য করেছিল এবং 1954 বাক্সের রেফারেন্সটিও খুব সহায়ক।

— অ্যামিবা

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ξ

$\xi$

A \times A

$A\times A$

$y_{ijk}$ $i=1, ..., I; j = 1, ..., J; k = 1, ..., K.$

আই-তম গ্রুপটির নমুনা গড়টি

{\bar{Y}}_{আমি । ।} = \frac{1}{জে কে} Σ_{ঞ = 1}^{জে} Σ_{ট = 1}^{কে} Y_{আমি ঞ ট}

$\bar{y}_{i..} = \frac{1}{JK}\sum_{j=1}^{J}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

এবং আইজ-তম বিষয় এটি

{\bar{Y}}_{আমি ঞ ।} = \frac{1}{কে} Σ_{ট = 1}^{কে} Y_{আমি ঞ ট}

$\bar{y}_{ij.} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

বিষয়গুলির মধ্যে স্বতন্ত্রতা ধরে নিয়ে, দুটি গ্রুপের মধ্যে পার্থক্যের ভিন্নতা

ভী একটি R ({\bar{Y}}_{আমি । ।} - {\bar{Y}}_{{আমি}^{'} । ।}) = \frac{1}{{জে}^{2}} Σ_{ঞ = 1}^{জে} ভী একটি R ({\bar{Y}}_{আমি ঞ ।}) + + \frac{1}{{জে}^{2}} Σ_{ঞ^{'} = 1}^{জে} ভী একটি R ({\bar{Y}}_{{আমি}^{'} ঞ^{'} ।})

$Var(\bar{y}_{i..} - \bar{y}_{i'..}) = \frac{1}{J^2}\sum_{j=1}^JVar(\bar{y}_{ij.}) + \frac{1}{J^2}\sum_{j'=1}^JVar(\bar{y}_{i'j'.})$

$Var(\bar{y}_{ij.})$ $\sigma^{2}/K$ $\sigma^{2}$ $Var(\bar{y}_{ij.})$

এখন, উত্থাপিত প্রশ্নটির উত্থাপন।

$\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}$

{\bar{Y}}_{। । ট} = \frac{1}{আমি জে} Σ_{আমি = 1}^{আমি} Σ_{ঞ = 1}^{জে} Y_{আমি ঞ ট} ।

$\bar{y}_{..k} = \frac{1}{IJ}\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}{y_{ijk}}.$

y_{i j k}

$y_{ijk}$

y_{i j k^{'}}

$y_{ijk'}$

ভী একটি R ({\bar{Y}}_{। । ট} - {\bar{Y}}_{। । ট^{'}}) = \frac{1}{(আমি জে)^{2}} Σ_{আমি = 1}^{আমি} Σ_{ঞ = 1}^{জে} ভী একটি R (Y_{আমি ঞ ট} - Y_{আমি ঞ ট^{'}})

$Var(\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}) = \frac{1}{(IJ)^2}\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^JVar(y_{ijk} - y_{ijk'})$

অতএব, সমস্ত জুটিওয়ালা পার্থক্যগুলির একটি ধ্রুবক বৈকল্পিকতা ধরে নেওয়া সাধারণ ভেরিয়েন্সটি অনুমান করার পরে একটি টি-পরীক্ষা করা বৈধ করে তোলে। এই ধারণাটি, প্রতিটি পর্যবেক্ষণের ধ্রুবক পরিবর্তনের সাথে বোঝা যায় যে পরিমাপের যে কোনও জোড়ের মধ্যে স্বৈরশাসকটি সমস্ত জোড়া জুড়ে স্থির - সার্জিওএই বিষয়ে একটি দুর্দান্ত পোস্ট আছে। অনুমানগুলি তাই প্রতিটি বিষয়কে ধ্রুবক তির্যকভাবে এবং অন্য একটি ধ্রুবক-ত্রিভুজের সাথে ম্যাট্রিক্স হিসাবে বারবার পরিমাপের জন্য একটি বৈকল্পিক-সমবায় কাঠামো রেন্ডার করে। অফ-ডায়াগোনাল এন্ট্রিগুলি সমস্ত শূন্য হলে, এটি সর্ব-স্বতন্ত্র মডেলকে হ্রাস করে (যা অনেকগুলি পুনরাবৃত্তি পরিমাপের অধ্যয়নের জন্য অনুপযুক্ত হতে পারে)। অফ তির্যক এন্ট্রিগুলি যখন তির্যক একের সমান হয়, বারবার পরিমাপ একটি বিষয়ের জন্য পুরোপুরি সংযুক্ত থাকে, যার অর্থ কোনও একক পরিমাপ প্রতিটি বিষয়ের জন্য সমস্ত পরিমাপের মতোই ভাল। চূড়ান্ত দ্রষ্টব্য - যখন আমাদের সাধারণ বিভক্ত প্লটের নকশায় কে = 2 হয় তখন গোলকের শর্তটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে পূরণ হয়।

— টি লিন
সূত্র