বিভাজন-রিকোয়েন্সি উপর নির্ভর করে যদি বিভাজন ও পুনরুদ্ধারের সমাধান করে

ফর্মটির পুনরাবৃত্তি সমাধানের জন্য কি কোনও সাধারণ পদ্ধতি রয়েছে:

$T(n) = T(n-n^c) + T(n^c) + f(n)$

$c < 1$ বা আরও সাধারণভাবে for

$T(n) = T(n-g(n)) + T(r(n)) + f(n)$

যেখানে $g(n),r(n)$ কিছু উপ-রৈখিক ফাংশন হয় $n$ ।

আপডেট : আমি নীচে প্রদত্ত লিঙ্কগুলি দিয়েছি এবং জেফ এরিকসনের নোটগুলিতে সমস্ত পুনরাবৃত্তি সম্পর্কের মধ্য দিয়েছি । পুনরাবৃত্তির এই ফর্মটি কোথাও আলোচনা করা হয়নি। আক্করা-বাজি পদ্ধতি তখনই প্রযোজ্য যখন বিভাজন ভগ্নাংশ হয়। যে কোনও মারাত্মক রেফারেন্স প্রশংসিত হবে।

proof-techniques recurrence-relation

— Plummer
সূত্র

উত্পাদিত ফাংশন চেষ্টা করুন।

— সাদাতাম

না Akra-Bazzi পদ্ধতি প্রযোজ্য? এটি কেবল

O (\cdot)

$O(\cdot)$ অনুমান দেয় তবে এটি যথেষ্ট।

— ভনব্র্যান্ড

যেহেতু আপনি আপনার নিজের থেকেই সমস্যাটি সমাধান করার প্রচেষ্টার বেশিরভাগ অংশ অন্তর্ভুক্ত করেননি, তাই আমরা কাজ করার জন্য লিটল করেছি। আমাকে আপনাকে আমাদের রেফারেন্স প্রশ্নগুলির দিকে পরিচালিত করুন যা আপনার অনুরূপ সমস্যাগুলি বিস্তারিতভাবে কভার করে। দয়া করে এখানে তালিকাবদ্ধ সম্পর্কিত প্রশ্নগুলির মধ্যে কাজ করুন, আপনার সমস্যাটি আবার সমাধান করার চেষ্টা করুন এবং আপনি যে নির্দিষ্ট সমস্যার মুখোমুখি হয়েছেন সেগুলি সহ আপনার প্রচেষ্টা অন্তর্ভুক্ত করতে সম্পাদনা করুন।

— রাফেল

"বিভাজন এবং বিজয় পুনরাবৃত্তির জন্য আরও ভাল মাস্টার উপপাদ্যগুলিতে নোটস" এ টম লেইটনের হ্যান্ডআউটগুলি দেখুন, সেগুলি 'নেট'তে উপলব্ধ। সম্ভবত আপনি সেখানে আক্রা-বাজির প্রমাণটিকে নিজের ক্ষেত্রে মানিয়ে নিতে পারেন ।

— ভোনব্র্যান্ড

@ ইঙ্গারস্টুডেন্ট জেনারেটিং ফাংশনগুলি প্রথম মন্তব্যে প্রস্তাব করা হয়েছিল। :)

— রাফেল

ধরা যাক আপনার কাছে পুনরাবৃত্তি যা ইতিবাচক বাস্তবের চেয়ে বেশি।

T (n) = {\begin{cases} T (n - n^{c}) + T (n^{c}) + f (n) & n > 2 \\ 1 & otherwise \end{cases}

$T(n) = \begin{cases} T(n - n^c) + T(n^c) + f(n) & \text{n > 2} \\ 1 & \text{otherwise} \end{cases}$

এই ফাংশনটি নিয়ে আমরা কী করতে পারি? ঠিক আছে, যতক্ষণ না আমরা এর উপর নির্দিষ্ট কাঠামোকে সুপারিপোজ করি। আমি একটি সংখ্যার বিশ্লেষণের পটভূমি থেকে এসেছি, যা সংখ্যাসূচক রেসিপি দিয়ে প্রশস্ত করা হয়েছে যা অন্তর্নিহিত সমস্যাটি পর্যাপ্ত মসৃণ না হলেও এমনকি কোনওভাবেই কাজ করে (কোনও ব্যাপার নয়, আসুন আমরা নিউটনের পদ্ধতিটিকে তার বিভক্ত পার্থক্যে নিক্ষেপ করব) বা বিশ্লেষণ করতে খুব জটিল) এর এই সমস্যাটি পছন্দ করুন)। এই সমস্যার প্রতি আমার অন্ত্রের প্রতিক্রিয়া হ'ল কিছু হাতে কল্পনা করা, আমাদের আঙ্গুলগুলি অতিক্রম করা এবং সর্বোত্তম আশা করা hope এই ক্ষেত্রে, এটি তুলনামূলকভাবে ভাল সীমানা দিতে বলে মনে হচ্ছে।

বিশেষত, আমি দুটি বড় অনুমান করতে চাই। এই অনুমানগুলির মধ্যে একটি কম-বেশি ভিত্তিহীন, তবে আমরা এগুলি ছাড়া খুব বেশি দূরে পাব না। অন্যটির কিছুটা দৃষ্টিনন্দন অন্তর্দৃষ্টি রয়েছে যা আপনি আশাবাদী কুঁচকে যেতে পারেন, তবে এটি অন্য যে কোনও কিছুর চেয়ে আরও বেশি হাততালি।

আমি ধরে নেব যে "স্মুথ-ইশ"। এটি দেখতে মোটামুটি সহজ যে সর্বত্র পৃথক নয়। আসলে, এটি এমনকি অবিচ্ছিন্ন নয়, যেহেতু এবং , এবং । অতএব, বা generated দ্বারা উত্পন্ন পুনরাবৃত্ত মানচিত্রগুলি দেওয়া , এর পুনরাবৃত্ত গাছে থাকে তবে এ একটি বিচ্ছিন্নতা থাকবে $T(n)$ $T(n)$ $f(n) = \log(n)$ $c = \frac{1}{2}$ $\lim_{n \to 2^-} T(n) = 1$ $\lim_{n \to 2^+} T(n) = 2 + \ln 2$ $n \mapsto \sqrt{n}$ $n \mapsto n - \sqrt{n}$ $T(n)$ $n$ $2$ কোথাও এর ট্রাজেক্টোরি। এটি প্রচলিত বিরতি, এটি ডেরিচলেট ফাংশনটিকে তার অর্থের জন্য একটি রান দিতে পারে। যদি আমরা এমন কোনও জায়গায় পৌঁছে যাচ্ছি যেখানে আমরা কোনও ফাংশনের আচরণগুলির সাথে কোথাও অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের প্রোটোটাইপিকাল উদাহরণের সাথে তুলনা করছি, তবে এটি "মসৃণ-ইশ" দাবি করার চেষ্টা করা কি হাস্যকর নয়? ঠিক আছে, দেখা যাচ্ছে যে বাস্তবে, এই বিচ্ছিন্নতার প্রভাবগুলি asympototically হ্রাস পেতে থাকে, যখন আপনার গ্রাফটি প্রায় মসৃণ দেখায় যখন অসীমের দিকে ঝুঁকছে! অতএব, আমি প্রস্তাব দিচ্ছি যে আমরা আমাদের পিচফোর্সগুলি নীচে রেখেছি এবং এই পরিস্থিতিতে অন্যান্য উপায়ে সন্ধান করব। বিশেষ করে, আমি অনুমান করবে কোন স্বার্থের সময়ে যে পর্যাপ্ত পর্যন্ত মূল থেকে দূরে, $n$ $n$ $T(n)$ পার্থক্যযুক্ত বা কমপক্ষে প্রায় কোনও পার্শ্ববর্তী অঞ্চলে পার্থক্যযুক্ত।
যথেষ্ট দূরে থাকাকালীন আমি মসৃণতার আরও শক্তিশালী অবস্থানও ধরে নেব । ধরুন যে এমন কিছু সাবলাইনার ফাংশন যেমন (উদাহরণস্বরূপ ), তারপরে ডেরিভেটিভ করে যথেষ্ট ধীর হয়ে গেলে উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হয় না u স্বতঃস্ফূর্তভাবে, বড় হওয়ার সাথে সাথে পাড়ার আপেক্ষিক আকার হ্রাস পায় (যেহেতু এর আকার মাত্র , যা চেয়ে অনেক ধীর গতিতে বৃদ্ধি পায় ) শেষ পর্যন্ত এই পাড়ার আকারটি তুচ্ছ হয়ে যায় ( তুলনামূলকভাবে) $n$ $\alpha(n)$ $n > \alpha(n)$ $n^c$ $T'(\xi \in (n - \alpha(n), n)$ $\alpha(n)$ $n$ $(n - \alpha(n), n)$ $\alpha(n)$ $n$ $n$ ) যে এই পাড়ার মধ্যে এর পরিবর্তনের হার আর নাটকীয়ভাবে সমস্ত পরিবর্তন করে না। $T(n)$

এখন, এই দুটি বৈশিষ্ট্যই ধরে নেওয়া হয়েছে এবং কীভাবে কোনও কঠোর উপায়ে প্রমাণ করতে হবে সে সম্পর্কে আমার শূন্য ধারণা রয়েছে। তবে আমি যেমন আগেই বলেছি, আসুন আমরা আমাদের আঙ্গুলগুলি অতিক্রম করি এবং সেরাটির জন্য আশা করি।

আসুন পুনরাবৃত্তির সম্পর্কের সাথে শুরু করুন: এখন, আমি ধরে নেব যে এবং মধ্যবর্তী ব্যবধানে যথেষ্ট মসৃণ । আমাদের ধ্রুপদী বিশ্লেষণমূলক সরঞ্জামগুলির মধ্য, গড়-মান-উপপাদ্যকে আবেদন করে আমাদেরকে তদ্ব্যতীত, যখন পর্যাপ্ত পরিমাণে বৃহত থাকে, আমরা ধরে নিই যে পুরো এই ব্যবধানে প্রায় একই, এবং তাই এই ব্যবধানের মধ্যে সীমাবদ্ধ পার্থক্যের কোনওটিরও মূল্য নেয়। এরপরে এর অর্থ

\begin{aligned} T (n) & = T (n - n^{c}) + T (n^{c}) + f (n) \\ T (n) - T (n - n^{c}) & = T (n^{c}) + f (n) \\ n^{c} \frac{T (n) - T (n - n^{c})}{n^{c}} & = T (n^{c}) + f (n) \end{aligned}

$\begin{align*} T(n) &= T(n - n^c) + T(n^c) + f(n) \\ T(n) - T(n - n^c) &= T(n^c) + f(n) \\ n^c\frac{T(n) - T(n-n^c)}{n^c} &= T(n^c) + f(n) \end{align*}$

T

$T$

n - n^{c}

$n - n^c$

n

$n$

\frac{T (n) - T (n - n^{c})}{n^{c}} = T^{'} (ξ \in (n - n^{c}, n)) .

$\frac{T(n) - T(n-n^c)}{n^c} = T'(\xi \in (n - n^c, n)).$

n

$n$

T^{'} (ξ)

$T'(\xi)$

T^{'} (ξ) \approx \frac{T (n) - T (n - ϵ)}{ϵ} ϵ < n^{c}

$T'(\xi) \approx \frac{T(n) - T(n - \epsilon)}{\epsilon} ~~~~ \epsilon < n^c$ বিশেষত, একটি পেতে নিন - ধাপে বিভক্ত পার্থক্য আনুমানিক আমরা পেতে এটি টেলিস্কোপ করতে

ϵ = 1

$\epsilon = 1$

\begin{aligned} n^{c} (T (n) - T (n - 1)) & \approx T (n^{c}) + f (n) \\ T (n) - T (n - 1) & \approx \frac{T (n^{c}) + f (n)}{n^{c}} \end{aligned}

$\begin{align*} n^c (T(n) - T(n-1)) &\approx T(n^c) + f(n) \\ T(n) - T(n-1) &\approx \frac{T(n^c) + f(n)}{n^c} \\ \end{align*}$

T (n) \approx \sum_{k}^{n} \frac{T (k^{c})}{k^{c}} + \sum_{k}^{n} \frac{f (k)}{k^{c}}

$T(n) \approx \sum_k^n \frac{T(k^c)}{k^c} + \sum_k^n \frac{f(k)}{k^c}$

পার্টবার্বিং প্রকাশ করে যে অ্যাসিম্পটোটিক প্রকৃতির উপর নির্ভর করে দুটি অ্যাসিপটোটিক পর্যায় রয়েছে । $T(n)$ $T(n)$ $f(z)$

যখন ( চেয়ে দ্রুত হয় ), তখন ডান যোগফলটি প্রাধান্য পায় এবং আমাদের যা প্রায়শই অবিচ্ছেদ্য । $f(n) = o(n^c)$ $f$ $n^c$ $T(n) = \Theta\left(\sum\limits_k^n \frac{f(k)}{k^c}\right)$ $\int\limits^n \frac{f(x)}{x^c} dx$

যখন , তখন বাম যোগটি ডানদিকে আধিপত্য করে। এখানে, আমাদের যোগফলকে যেখানে । $f(n) = \omega(n^c)$

(\sum_{k}^{n} \frac{T (k^{c})}{k^{c}}) + F_{c} (n)

$\left(\sum_k^n \frac{T(k^c)}{k^c}\right) + F_c(n)$

F_{c} (n) = \int^{n} \frac{f (x)}{x^{c}} d x

$F_c(n) = \int\limits^n \frac{f(x)}{x^c}dx$

মসৃণতা আর্গুমেন্টের ভিত্তিতে, আমরা আবার এটিকে বাম-অ্যাঙ্করড সমষ্টি হিসাবে দেখতে পারব, । অবিচ্ছেদের উপর একই ধরণের গড়-মান-উপপাদ্য প্রয়োগ করা আমরা কেবল by দ্বারা এটি এগিয়ে এবং আনুমানিক করতে পারি , যা দেয় পড়তা কিছু ধ্রুবক জন্য সিরিজে বাউন্ড। $\int_n \frac{T(x^c)}{x^c} dx$

\sum_{k} \frac{T (k^{c})}{k^{c}} \approx \int^{n} \frac{f (x^{c})}{x^{c}} d x = n \frac{T (ξ < n^{c})}{ξ^{c}}

$\sum_k \frac{T(k^c)}{k^c} \approx \int^n \frac{f(x^c)}{x^c} dx = n\frac{T(\xi < n^c)}{\xi^c}$

n \frac{T (n^{c})}{n^{c}}

$n\frac{T(n^c)}{n^c}$

T (n) \leq n M \frac{T (n^{c})}{n^{c}} + F_{c} (n)

$\begin{equation} T(n) \le n M \frac{T(n^c)}{n^c} + F_c(n) \end{equation}$

M

$M$

এখন ধরুন, আমাদের পুনরাবৃত্ত ক্রম রয়েছে যেখানে , তারপরে আমরা এই ক্রমটি উপরের অসমতার জন্য টেলিস্কোপ করতে ব্যবহার করতে পারি: আবার, আমরা আবদ্ধ করতে পারি কিছু ধ্রুবক দ্বারা শব্দটি এটি যে যেখানে । কিছুটা সরলকরণ এবং কিছু পদগুলিকে একত্রিত করা (বিশেষত, আমরা জানি যে $(n, n^c, n^{c^2}, n^{c^3}, \dots, n^{c^k})$ $n^{c^k} < 2$

\begin{matrix} (*) & T (n) \leq n (\sum_{i}^{k - 1} \frac{M^{i}}{n^{c^{i}}} F_{c} (n^{c^{i}}) + \frac{M^{k}}{n^{c^{k}}}) \end{matrix}

$\label{eqn:meh} T(n) \le n \left(\sum_i^{k-1} \frac{M^i}{n^{c^i}}F_c(n^{c^i}) + \frac{M^k}{n^{c^k}}\right) \tag{*}$

F_{c} (n^{c^{i}})

$F_c(n^{c^i})$

T (n) = O (F_{c} (n) + n F_{c} (n^{c}) (M n^{- c} + M^{2} n^{- c^{2}} + \dots + M^{k} n^{- c^{k}}))

$T(n) = O\left(F_c(n) + n F_c(n^c) \left(M n^{-c} + M^2 n^{-c^2} + \dots + M^k n^{-c^k}\right)\right)$

k = \log_{c} (\frac{\log (2)}{\log (n)})

$k = \log_c\left(\frac{\log(2)}{\log(n)}\right)$

M n^{- c}

$Mn^{-c}$

n^{- c^{k}}

$n^{-c^k}$ একটি ধ্রুবক), আমরা

T (n) = O (n k F_{c} (n) M^{k})

$T(n) = O\left(n k F_c(n) M^{k} \right)$

তবে, এই আবদ্ধটি তুলনামূলকভাবে আলগা, এবং যখনই সম্ভব আপনার উল্লেখ করা উচিত । $(\ref{eqn:meh})$

সচেতন থাকুন যে কোনওভাবেই এই কঠোর নয়। আমি কিছু আনাড়ি অনুমানের বাইরে কাজ করা উচিত যে কোন সমর্থন প্রদান করি নি। তবুও, যদি আপনার কেবল অনানুষ্ঠানিক বিশ্লেষণের জন্য দ্রুত অ্যাসিম্পোটিক অনুমানের প্রয়োজন হয়, তবে আপনি বাস্তবে দেখতে পাবেন যে এই স্কিমটি কার্যকরভাবে চলছে ( বৃহত যথেষ্ট মানগুলির জন্য , সাধারণত পর্যায়ে ) অনুশীলনে। $n$ $n > 10$

যাইহোক, এবং যে সমস্ত পছন্দ আমি চেষ্টা করেছি তার জন্য, নিম্নলিখিত গণনাটি যেখানে good ভাল অনুমান দেয় বলে মনে হচ্ছে । এই কৌশলটি ফর্মের পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রেও সাধারণীকরণ করে যা with এর সাথে সন্নিবেশিত হতে পারে যেখানে $c$ $f$

\begin{aligned} \hat{T} (n) & = n \sum_{k}^{\log_{c} \log_{n} 2} \frac{M^{k}}{n^{c^{k}}} F (n^{c^{k}}) \\ F (n) & = \sum_{k}^{n} \frac{f (k)}{k^{c}} \end{aligned}

$\begin{align*} \hat T(n) &= n \sum_k^{\log_c \log_n 2} \frac{M^k}{n^{c^k}} F(n^{c^k}) \\ F(n) &= \sum_k^n \frac{f(k)}{k^c} \end{align*}$

M \approx \frac{\sum_{k} \frac{T (k^{c})}{k^{c}}}{n \frac{T (n^{c})}{n^{c}}}

$M \approx \frac{\sum_k \frac{T(k^c)}{k^c}}{n \frac{T(n^c)}{n^c}}$

T (n) = T (n - α (n)) + T (β (n)) + f (n)

$T(n) = T(n - \alpha(n)) + T(\beta(n)) + f(n)$

\begin{aligned} \hat{T} (n) & = n \sum_{k}^{#_{β} (n)} \frac{M^{k}}{α^{k} (n)} F (β^{k} (n)) \\ F (n) & = \sum_{k}^{n} \frac{f (k)}{α (k)} \end{aligned}

$\begin{align*} \hat T(n) &= n \sum_k^{\#_\beta(n)} \frac{M^k}{\alpha^k(n)} F(\beta^k(n)) \\ F(n) &= \sum_k^n \frac{f(k)}{\alpha(k)} \end{align*}$

α^{k} (n) = α (\overset{k}{\dots} (α (n)))

$\alpha^k(n) = \alpha(\stackrel{k}{\cdots}(\alpha(n)))$ এবং অনুক্রমের এর সংখ্যার সংখ্যা বোঝায় যেমন শেষ শব্দটি এবং ।

#_{β} (n)

$\#_\beta(n)$

n, β (n), β (β (n)), \dots, β^{#_{β} (n)} (n)

$n, \beta(n), \beta(\beta(n)), \dots, \beta^{\#_\beta(n)}(n)$

1

$1$

2

$2$

— আচ্ছাদন
সূত্র