নিম্নলিখিত রূপান্তরটি প্রসঙ্গ-নির্দ্বিধায় সংরক্ষণ করে?

Question

প্রসঙ্গ-মুক্ত ভাষা নিয়ে জড়িত এই সমস্যাটির মুখোমুখি হয়েছি। দিন$L$একটি প্রসঙ্গমুক্ত ভাষা হতে। নির্ধারণ করা$L^{\#} = \{ x : x^i \in L$ প্রত্যেকের জন্য $i=0,1,2,...\}$। কি$L^{\#}$সর্বদা প্রসঙ্গমুক্ত?
আমার ধারণা এটি প্রাসঙ্গিক-নিখরচায়তা রক্ষা করবে। কেউ কি এর প্রাথমিক প্রমাণ সরবরাহ করতে পারে?

Comments

আপনি যখন দুটি সাইটে একটি প্রশ্ন পোস্ট করেন, লোকেরা অন্য সাইটটিতে প্রশ্নের সাথে লিঙ্ক করে ক্রস পোস্টিং সম্পর্কে কোনও মন্তব্য ছেড়ে দিলে লোকেরা এটির প্রশংসা করে।

— তারা বি

মন্তব্য: নিয়মিত ভাষার জন্য এটি সঠিক। দিন$L\in REG$তাই $L$ সঙ্গে একটি ডিএফএ আছে $n$ তারপর প্রতিটি শব্দের জন্য $x$, যদি $x,x^2,...,x^{n+1}$ সব আছে $L$তাহলে $x\in L^\#$, সুতরাং আমরা একটি ডিএফএ তৈরি করতে পারি যা স্বীকৃতি দেয় $L^\#$। ডিএফএ-এর সসীম-নেসের ব্যবহার এখানে পরামর্শ দেয় যে সিএফএলগুলির জন্য দাবিটি সত্য নাও হতে পারে।

— শাল

student.cs.uwaterloo.ca/~cs462 সমস্যা সেট 7.. আমি হোমওয়ার্ক ট্যাগ যুক্ত করতে চেয়েছিলাম, কিন্তু এটি কার্যকর হয়নি (?)

— হেন্ড্রিক জানুয়ারী

@ হেনড্রিকজান দেখে মনে হচ্ছে তাদের এখানে হোমওয়ার্কের ট্যাগ নেই

— Олегович

@ ভিটালিজযাদনেপ্রভস্কিজ তাই দেখে মনে হচ্ছে! সমাধানটি মার্চ 5 2013 এর মধ্যে। দুর্দান্ত সমস্যা যদিও।

— হেনড্রিক জানুয়ারী

Answer 1

Counter-example:

$L_1 = \{a^n b^n c^m \mid m,n \ge 1 \}$

$L_2 = \{a^m b^n c^n \mid m,n \ge 1 \}$

$L = (L_1 \cdot L_2^*) \cup \epsilon$ is context-free.

Any nonempty word $x \in L^\#$ has a prefix $p = a^n b^n c^m \in L_1$. It must be $n = m$, because due to $L_2$, any pair of a $b^+$ and a directly succeeding $c^+$ in $x$ (after $p$) must share the same exponent. Therefore:

$L^\# = (\{a^n b^n c^n \mid n \ge 1 \} \cdot L_2^*) \cup \epsilon$, which is not context-free.

Comments

I'm not sure if I understand what you want to say. A string like $x = a^n b^n c^n a^k b^k c^k$ is in $L^\#$ because $a^n b^n c^n \in L_1,L_2$ and $a^k b^k c^k \in L_2$, so you can produce all powers of $x$ with $x^2 \in L_1 L_2 L_2 L_2 \subset L$ and so forth.

— Simon S

However I realized I put $L^\#$ wrong in some way.

— Simon S

Indeed, I was missing some strings, but my arguments were not clear, I agree, and probably wrong as written. Now it looks fine to me. Thanks. I delete that comment now.

— Hendrik Jan