যদি গাছের প্রতিটি নোডের জন্য, এটি থেকে একটি পাতা নোডের দীর্ঘতম পথটি সংক্ষিপ্তটির চেয়ে দ্বিগুণ বেশি নয়, তবে গাছে লাল-কালো বর্ণ রয়েছে।
যে কোনও নোডের রঙ বের করার জন্য এখানে একটি অ্যালগরিদম n
if n is root,
n.color = black
n.black-quota = height n / 2, rounded up.
else if n.parent is red,
n.color = black
n.black-quota = n.parent.black-quota.
else (n.parent is black)
if n.min-height < n.parent.black-quota, then
error "shortest path was too short"
else if n.min-height = n.parent.black-quota then
n.color = black
else (n.min-height > n.parent.black-quota)
n.color = red
either way,
n.black-quota = n.parent.black-quota - 1
এখানে n.black-quotaকালো নোড সংখ্যা আপনি একটি পাত গিয়ে নোড থেকে দেখতে আশা nএবং n.min-heightনিকটতম পাত থেকে দূরত্ব।
স্বরলিখনের বংশবৃদ্ধির জন্য, , এইচ ( এন ) = এবং এম ( এন ) = আসুন ।b(n)= n.black-quotah(n)= n.heightm(n)= n.min-height
উপপাদ্য: একটি বাইনারি গাছ । যদি প্রতিটি নোডের জন্য n ∈ T , h ( n ) ≤ 2 মি ( এন ) এবং নোড r = রুট ( টি ) , বি ( আর ) ∈ [ 1Tn∈Th(n)≤2m(n)r=root(T)এরপরেটিএরশিকড় থেকে পাতায় প্রতিটি পথেঠিকখ(আর)কালো নোডেরসাথে একটি লাল-কালো রঙথাকে।b(r)∈[12h(r),m(r)]Tb(r)
প্রুফ: আওতায় আনা ।b(n)
এক বা দুটি উচ্চতার চারটি গাছই দিয়ে উপপাদাকে সন্তুষ্ট করে তা যাচাই করুন ।b(n)=1
লাল-কালো গাছের সংজ্ঞা অনুসারে, মূলটি কালো is যাক একটি কালো পিতা বা মাতা সঙ্গে একটি নোড হতে পি যেমন যে খ ( পি ) ∈ [ 1np। তারপরখ(এন)=খ(পি)-1,এইচ(এন)=জ(পি)-1এবংH(এন)≥মি(এন)≥মি(পি)-1।b(p)∈[12h(p),m(p)]b(n)=b(p)−1h(n)=h(p)−1h(n)≥m(n)≥m(p)−1
ধরুন যে উপপাদ্যটি মূল , b ( r ) < b ( q ) সহ সমস্ত গাছের জন্য ধারণ করে ।rb(r)<b(q)
যদি , তবে এন সূচকীয় ধারণা দ্বারা লাল-কালো বর্ণযুক্ত হতে পারে।b(n)=m(n)n
যদি তারপরখ(এন)=⌈1b(p)=12h(p)। এনপ্ররোচক ধারণা অনুগ্রহ করে না এবং তাই লাল হতে হবে। আসুনcসন্তান হতেএন। h(c)=h(p)-2এবং b(c)=b(p)-1=1b(n)=⌈12h(n)⌉−1ncnh(c)=h(p)−2। তারপরেসিটিলাল-কালো রঙের হতে পারে প্ররোচক ধারণাটি দ্বারা।b(c)=b(p)−1=12h(p)−1=12h(c)c
নোট করুন, একই যুক্তি দ্বারা, যদি , তারপর উভয়এনএবং সন্তানএনপ্রস্তাবনামূলক ধৃষ্টতা সন্তুষ্ট। সুতরাংএনকোন রঙ থাকতে পারে।b(n)∈(12h(r),m(r))nnn