সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের ইগেনভ্যালুগুলির পিছনে অন্তর্দৃষ্টি

Question

আমি বর্তমানে চিগার বাউন্ডের ব্যবহার এবং চেজারের বৈষম্য এবং বর্ণালী বিভাজন, কন্ডাক্টেন্স, সম্প্রসারণ ইত্যাদির জন্য তাদের ব্যবহার বোঝার জন্য কাজ করছি , তবে আমি এখনও সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় ইগ্যালভ্যালু সম্পর্কে একটি অন্তর্দৃষ্টি শুরু করার জন্য সংগ্রাম করছি।
সাধারণত, গ্রাফ তত্ত্বে, আমরা যে ধারণাগুলি নিয়ে এসেছি সেগুলির মধ্যে বেশিরভাগ ধারণাগুলি নিখুঁতভাবে সহজ, তবে এই ক্ষেত্রে, আমি এমনকি কোন ধরণের গ্রাফের দ্বিতীয় ইগেনুয়ালু খুব কম বা খুব উচ্চতর হতে পারে তা নিয়েও আসতে পারি না।
আমি এসই নেটওয়ার্কে এবং সেখানে অনুরূপ প্রশ্নগুলি পড়ছি, তবে তারা সাধারণত বিভিন্ন ক্ষেত্রে ( বহুবিধ বিশ্লেষণ , ইউক্যালিডিয়ান দূরত্বের ম্যাট্রিক্স , পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স ...) ইগেনভ্যালুগুলি উল্লেখ করে ।
বর্ণালী পার্টিশন এবং গ্রাফ তত্ত্ব সম্পর্কে কিছুই নয়।

গ্রাফ এবং সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে কেউ এই দ্বিতীয় স্থানীয় মূল্য সম্পর্কে তার অন্তর্দৃষ্টি / অভিজ্ঞতা ভাগ করে নিতে এবং ভাগ করতে পারেন?

Comments

আপনি কি সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের বর্ণালী এবং গ্রাফে এলোমেলো পদবিন্যাসের সংযোগের সাথে পরিচিত?

— যুবাল ফিল্মাস

@ ইউভালফিল্মাস মোটেও তা নয়, এলোমেলো পদক্ষেপের সাথে সত্যই পরিচিত হওয়া সত্ত্বেও এবং কোনওভাবেই একটি সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের বর্ণালী সম্পর্কে পরিচিত। সুতরাং আমি সত্যিই আপনার দর্শনে আগ্রহী :)

— m.raynal

Answer 1

দ্বিতীয় (প্রস্থে) ইগেনুয়ালুউ গ্রাফটিতে এলোমেলো পদক্ষেপের সংযোগের হারকে নিয়ন্ত্রণ করে। উদাহরণস্বরূপ, অনেক বক্তৃতা নোটে এটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে লুকা ট্রেভিসনের লেকচার নোটগুলি । মোটামুটিভাবে বলতে গেলে L2 দূরত্বের পরে অভিন্নতা$t$ পদক্ষেপ দ্বারা আবদ্ধ করা যেতে পারে $\lambda_2^t$।

দ্বিতীয় স্থানটি যেখানে প্রদর্শিত দ্বিতীয় স্থান হ'ল রোপিত চক্রের সমস্যা । প্রারম্ভিক বিন্দু হল পর্যবেক্ষণ যা এলোমেলোভাবে$G(n,1/2)$ গ্রাফে আকারের একটি চক্র রয়েছে $2\log_2 n$, কিন্তু লোভী অ্যালগরিদম কেবল আকারের একটি চক্র খুঁজে পায় $\log_2 n$, এবং আরও কার্যকর দক্ষ অ্যালগরিদম জানা যায় না। (লোভী অ্যালগরিদম কেবল একটি এলোমেলো নোড বাছাই করে, সমস্ত অ-প্রতিবেশীকে ফেলে দেয় এবং পুনরাবৃত্তি করে))

এটি উপরে একটি বৃহত চক্র লাগানোর পরামর্শ দেয়$G(n,1/2)$। প্রশ্নটি হল: চক্রটি কতটা বড় হওয়া উচিত, যাতে আমরা এটি দক্ষতার সাথে খুঁজে পাই। আমরা যদি আকারের একটি চক্র রোপণ করি$C\sqrt{n\log n}$, তারপরে আমরা কেবল তাদের ডিগ্রি দ্বারা চক্রের শীর্ষে চিহ্নিত করতে পারি; তবে এই পদ্ধতিটি কেবল আকারের চক্রগুলির জন্য কাজ করে$\Omega(\sqrt{n\log n})$। বর্ণালী কৌশলগুলি ব্যবহার করে আমরা এটি উন্নত করতে পারি: যদি আমরা আকারের একটি চক্র রোপণ করি$C\sqrt{n}$এরপরে, দ্বিতীয় ইগেনভেেক্টর চক্রটিকে এনকোড করে, যেমন অ্যালন, ক্রেভলিভিচ এবং সুদাকভ একটি ক্লাসিক কাগজে দেখিয়েছিল।

আরও সাধারণভাবে, প্রথম কয়েকটি ইগেনভেেক্টর গ্রাফকে অল্প সংখ্যক ক্লাস্টারে বিভক্ত করার জন্য দরকারী। উদাহরণস্বরূপ লুকা ট্রেভিসনের বক্তৃতা নোটগুলির 3 য় অধ্যায়টি দেখুন , যা উচ্চ-অর্ডার চিজার বৈষম্যগুলি বর্ণনা করে।

Answer 2

(অস্বীকৃতি: এই উত্তরটি সাধারণভাবে গ্রাফের ইগনালিয়্যুলগুলি সম্পর্কে, বিশেষত দ্বিতীয় ইগ্যালভ্যালু নয় I আমি আশা করি এটি তবুও এটি সহায়ক)

গ্রাফের ইগেনালুগুলি সম্পর্কে চিন্তা করার একটি আকর্ষণীয় উপায় $G = (V, E)$ ভেক্টর স্থান গ্রহণ দ্বারা হয় $\mathbb{R}^n$ কোথায় $n = |V|$ এবং প্রতিটি ভেক্টরকে একটি ফাংশন দিয়ে সনাক্ত করা $f\colon V \to \mathbb{R}$(অর্থাত্, একটি ভার্টেক্স লেবেলিং)। সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের একটি ইগেনভেક્ટર, তারপরে, এর একটি উপাদান$f \in \mathbb{R}^n$ যেমন আছে $\lambda \in \mathbb{R}$ (অর্থাত্, একটি eigenvalue) সহ $A f = \lambda f$, $A$ সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স হচ্ছে $G$। মনে রাখবেন যে$A f$ মানচিত্রের সাথে সম্পর্কিত ভেক্টর যা প্রতিটি প্রান্তকে প্রেরণ করে $v \in V$ প্রতি $\sum_{u \in N(v)} f(u)$, $N(v)$ প্রতিবেশীদের সেট হওয়া (অর্থাত্, সংলগ্ন প্রান্তগুলি) $u$। অতএব, এই সেটিংয়ে, ইগেনভেક્ટર সম্পত্তি$f$বৈশিষ্ট্যটির সাথে সম্পর্কিত যা ফাংশন মানগুলির ( ওপরে) এর উপরে যোগ করে$f$) একটি শীর্ষবর্ণের প্রতিবেশীদের মধ্যে ধীরে ধীরে ভার্টেক্সের ক্রিয়াকলাপের গুণকে একই ফলাফল দেয়$\lambda$।

Comments

অনেক অনেক ধন্যবাদ, আমি কখনও দেখিনি যে igen ল্যাম্বডায় গুণিত ইগেনভেেক্টরটির প্রতিবেশীদের ফাংশন মানের সমষ্টি (এমনকি এটি সংজ্ঞা থেকে সরাসরি আসে) had

— m.raynal

আমি উভয়ই :) এটি গ্রাফের ইজেনভ্যালুগুলির একটি সিলেবাসে সুযোগ পেয়েছি ।

— dkaeae

Answer 3

আমি মনে করি বেশিরভাগ জিনিসের জন্য গ্রাফের ল্যাপ্লাসিয়ান তাকানো আরও উত্পাদনশীল $G$, যা সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। এখানে আপনি এটি গ্রাফের "স্থানীয় বনাম গ্লোবাল" সম্পত্তির সাথে দ্বিতীয় স্থানীয় মূল্য সম্পর্কিত করতে ব্যবহার করতে পারেন।

সরলতার জন্য, ধরা যাক $G$ হয় $d$-regular। তারপরে নরমালাইজড ল্যাপ্লাসিয়ান$G$ হয় $L= I - \frac1d A$, কোথায় $I$ হয় $n\times n$ পরিচয়, এবং $A$সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স। Laplacian সম্পর্কে দুর্দান্ত জিনিস হ'ল, ভেক্টরকে ফাংশন হিসাবে লিখতে$f: V\to \mathbb{R}$ @ Dkaeae, এবং ব্যবহারের মতো $\langle \cdot, \cdot \rangle$ স্বাভাবিক অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলির জন্য, প্রদত্ত চতুষ্কোণ ফর্মটির জন্য আমাদের খুব সুন্দর এই অভিব্যক্তিটি রয়েছে $L$:

$$\langle f, Lf\rangle = \frac{1}{d} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}.$$

এর বৃহত্তম ইগন্যালিউ $A$ হয় $d$, এবং এর ক্ষুদ্রতম ইগন্যালুয়ের সাথে সম্পর্কিত $L$, যা হলো $0$; দ্বিতীয় বৃহত্তম ইগেনভ্যালু$\lambda_2$ এর $A$ এর দ্বিতীয় ক্ষুদ্রতম ইগন্যালুয়ের সাথে সম্পর্কিত $L$, যা হলো $1 - \frac{\lambda_2}{d}$। দ্বারা MIN-MAX নীতি , আমরা

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f, f\rangle}:\sum_{v \in V}{f(v)} = 0, f \neq 0\right\}.$$

লক্ষ্য করুন $\langle f, Lf\rangle$ আমরা স্থানান্তরিত হলে পরিবর্তন হয় না $f$প্রতিটি শিখর জন্য একই ধ্রুবক দ্বারা। সুতরাং, সমতুল্যভাবে, আপনি যে কোনওটির জন্য নির্ধারণ করতে পারেন can$f:V \to \mathbb{R}$, "কেন্দ্রিক" ফাংশন $f_0$ দ্বারা $f_0(u) = f(u) - \frac{1}{n}\sum_{v \in V}{f(v)}$, এবং লিখ

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f_0, f_0\rangle}: f \text{ not constant}\right\}.$$

এখন হিসাবের একটি বিট দেখায় যে $\langle f_0, f_0\rangle = \frac{1}{n}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}$, এবং উপরের প্রতিস্থাপন এবং দ্বারা অংক এবং ডিনোমিনেটরকে ভাগ করে $\frac{n}{2}$, আমাদের আছে

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\frac{2}{nd} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}}{\frac{2}{n^2}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}}: f \text{ not constant}\right\}.$$

এর অর্থ কী তা হ'ল, যদি আমরা প্রতিটি শীর্ষবিন্দু রাখি $u$ এর $G$ পয়েন্ট এ আসল লাইনে $f(u)$, তারপরে গ্রাফের দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো কোণের গড় দূরত্ব (ডিনোমিনেটর) সর্বাধিক হয় $\frac{d}{d - \lambda_2}$গ্রাফের একটি এলোমেলো প্রান্তের শেষ বিন্দুগুলির মাঝে গড় দূরত্বের (অঙ্ক) times সুতরাং এই অর্থে, একটি বৃহত বর্ণালী ফাঁক মানে যা একটি এলোমেলো প্রান্ত জুড়ে ঘটে$G$ (স্থানীয় আচরণ) একটি এলোমেলো আনর্ক্রিলেটেড জুড়ো কোণ (বিশ্বব্যাপী আচরণ) জুড়ে যা ঘটে তার জন্য একটি ভাল ভবিষ্যদ্বাণী।