জটিলতা তত্ত্বের "সিদ্ধান্ত" এবং "যাচাইকরণ" এর মধ্যে পার্থক্য কী?

Question

মাইকেল সিপসারের থিওরি অফ গণনার ২ In০ পৃষ্ঠায় তিনি লিখেছেন:

পি = ভাষার যে শ্রেণীর জন্য সদস্যতার জন্য দ্রুত সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে class
এনপি = ভাষাগুলির শ্রেণি যার জন্য সদস্যতার দ্রুত যাচাই করা যেতে পারে।

"সিদ্ধান্ত নেওয়া" এবং "যাচাই করা" এর মধ্যে পার্থক্য কী?

Comments

যাইহোক, আমি নিশ্চিত যে উদ্ধৃতি পাইসগুলি পি এবং এনপি সিপ্সার ব্যবহারের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা নয়। সংজ্ঞা (বা প্রথম ফলাফলগুলির কয়েকটি) এ প্রশ্নের সমাধান করা উচিত।

— রাফায়েল

Answer 1

সদস্যতা নির্ধারণের কাজটি হ'ল: কোনও ইনপুট দেওয়া হলে , ওয়েটার এক্স ∈ এল স্থির করুন , অর্থাৎ নিম্নলিখিত ফাংশনটি গণনা করুন:$x$$x \in L$

$\qquad \displaystyle \chi_L(x) = \begin{cases}1 &x \in L \\ 0 & x\notin L\end{cases}$

অন্যদিকে, কাজটি যাচাই সদস্যপদ হয়: প্রদত্ত কোনো ইনপুট এবং (প্রস্তাবিত) প্রমাণ (অথবা সাক্ষী সদস্যতা), দ্রুত খাসি পরীক্ষা এক্স ∈ এল যে প্রমাণ দ্বারা ¹।$x$$x\in L$

উদাহরণস্বরূপ, প্রধান ফ্যাক্টরীকরণ বিবেচনা করুন। প্রদত্ত , এর প্রতিটি মৌলিক উত্পাদকই আপনাকে গনা এন । অন্যদিকে, প্রদত্ত ( n , { i 1 , … , i k } ) , যাচাই করুন যে ∏ k j = 1 i j = n । কোনটি সহজ?$n \in \mathbb{N}$$n$$(n, \{i_1, \dots, i_k\})$$\prod_{j=1}^k i_j = n$

আরেকটি উদাহরণ: একটি ভরযুক্ত গ্রাফ দেওয়া , সিদ্ধান্ত নেন একটি হ্যামিলটন বৃত্ত আছে খাসি (যে ভিজিট সব নোড) সর্বাধিক ওজনের ট । অন্যদিকে দেওয়া উপর ( জি , ( বনাম 1 , ... , বনাম এন ) ) পথ খাসি যাচাই বনাম 1 → ⋯ → বনাম এন ভিজিট সব নোড ঠিক একবার এবং সর্বাধিক ওজন ট । কোনটি শক্ত?$G = (V,E)$$k$$(G, (v_1, \dots, v_n))$$v_1 \to \dots \to v_n$$k$

---

1. সুতরাং আপনি যদি তবে "না" বলবেন তবে প্রমাণটি ভুল। এটি ঠিক আছে, যদিও আমরা এই প্রসঙ্গে ননডেটরিস্টিক মেশিনগুলি বিবেচনা করি; এটি শুধুমাত্র গুরুত্বপূর্ণ যে আমরা সঠিক প্রমাণ অনুমান করতে পারি এবং এটি (দ্রুত) যাচাই করতে পারি।$x \in L$

Comments

আসলে, আপনি করতে পারেন যাচাই একটি নির্ণায়ক টুরিং মেশিন এম সঙ্গে বহুপদী সময় সদস্যপদ, এটা বেশ সহজ একটি অ-নির্ণায়ক টি এম এম 'যা গড়ে তুলতে এর সিদ্ধান্ত নেয় সদস্যতা: শুধু গনা অ deterministically সব সম্ভব ইনপুট এবং তারপর এম সঙ্গে রচনা

— Romuald

Answer 2

যদি আমরা দক্ষতার সমস্যাগুলি উপেক্ষা করি, তবে আরও একটি উদাহরণ রয়েছে যা উপমা অনুসারে পার্থক্যকে চিত্রিত করে। আমরা জানি যে থামার সমস্যাটি সিদ্ধান্ত নেওয়ার যোগ্য নয়: টুরিং মেশিনের জন্য একটি কোড দেওয়া হলে কোনও ইনপুট না দিয়ে চালিত হলে মেশিনটি থামবে কিনা তা নির্ধারণের কার্যকর কার্যকর উপায় নেই।$e$

কিন্তু যদি একটি মেশিন আছে মাত্র তাদের বলুন কতগুলি পদক্ষেপ মেশিন রান আগেই বন্ধ হয়ে যায়: স্থগিত, তাই না হার্ড অন্য কেউ প্রমাণ হয়। তারা সেই বহু পদক্ষেপের জন্য মেশিনটি চালাতে পারে এবং জানতে পারে আপনি সত্য বলেছেন কিনা (অবশ্যই দক্ষতা উপেক্ষা করে)।

সুতরাং ট্যুরিং মেশিনগুলি থামিয়ে দেওয়ার সেটটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য নয়, তবে এটি যাচাইযোগ্য। মনে রাখবেন যে মেশিনগুলি থামবে না তার জন্য কোনও প্রমাণ দিতে হবে না । যাচাইকরণ অর্থে যে শুধুমাত্র সদস্যপদ মধ্যে সামঁজস্যহীন হয় মধ্যে সেট যাচাইযোগ্য হতে হয়েছে, সদস্যপদ আউট সেট না।

পি এবং এনপি-র পরিস্থিতি সাদৃশ্যপূর্ণ। একটি ল্যাঙ্গুয়েজ দ্বারা NP হয় যদি প্রমাণই একটি সিস্টেম প্রতিটি বস্তুর হয় যে এই ধরনের যে মধ্যে ভাষা অল্প প্রমাণ (বস্তুর আকার একটি বহুপদী দ্বারা বেষ্টিত) যে দক্ষতার যাচাই করা যেতে পারে (দ্বারা বেষ্টিত একাধিক পদক্ষেপ সঙ্গে হয়েছে ইনপুট আকারে একটি বহুপদী)।

অন্যদিকে, কোনও ভাষা পিতে থাকে যদি সেখানে কোনও উপায় বলা যায় যে কোনও বস্তু আকারে বহুভুজের দ্বারা আবদ্ধ কয়েকটি পদক্ষেপ ব্যবহার করে একটি স্বেচ্ছাচারিত বস্তু ভাষাতে নেই কি না। এখন আমাদের ভাষাতে কেবলমাত্র বস্তুগুলি নয়, স্বেচ্ছাসেবী ইনপুটগুলি নিয়ে চিন্তা করতে হবে। তবে এই সমস্যাটি প্রতিসাম্যপূর্ণ: কোনও ভাষা যদি পি হয় তবে এর পরিপূরকও। প্রতিটি এনপি ভাষার পরিপূরকও একটি এনপি ভাষা কিনা এই প্রশ্নটি নিষ্পত্তিযোগ্য নয়।

(এই সাদৃশ্যটি বোঝায় যে এনপি সমস্যাগুলি পি সমস্যাগুলির মতো পুনরায় সেটগুলি যেমন গণনাযোগ্য সেটগুলির মতো। এটি কিছুটা সত্য, তবে এটি বিভ্রান্তিকর হতে পারে It এটি একটি মৌলিক সত্য যে একটি সেট পুনরায় এবং সহ-পুনরায় গণনাযোগ্য, যখন এটি এনপি এবং কো-এনপি প্রতিটি সেট পি-তে রয়েছে কিনা তা জানা যায়নি।