একটি অবিচ্ছিন্ন অপ্টিমাইজেশান সমস্যা যা টিএসপিকে হ্রাস করে

মনে হয় আমি পয়েন্ট সসীম সেট দেওয়া করছি সমতলে, এবং একটি দুইবার-differentiable বক্ররেখা আঁকা করতে বলা মাধ্যমে 'র, তার ঘের সম্ভব ছোট হিসাবে যেমন যে। ধরে নেওয়া যাক এবং এই সমস্যা, আমি ডিক্রী করতে পারেন: $p_1,p_2,..p_n$ $C(P)$ $p_i$ $p_i=(x_i,y_i)$ $x_i<x_{i+1}$

সমস্যা 1 (সুরেশ মন্তব্যের প্রতিক্রিয়ায় সম্পাদিত) নির্ধারণ ফাংশন একটি পরামিতির যেমন যে arclength সঙ্গে, ছোট করা এবং সবার জন্য , আমরা । $C^2$ $x(t),y(t)$ $t$ $L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$ $x(0) = x_1, x(1) = x_n$ $t_i: x(t_i) = x_i$ $y(t_i)=y_i)$

কীভাবে প্রমাণ করব (বা সম্ভবত খণ্ডন করা) যে সমস্যা 1 এনপি-হার্ড?

আমি কেন এনপি-কঠোরতার সন্দেহ করি মনে করুন অনুমানটি শিথিল হয়েছে। স্পষ্টরূপে, ন্যূনতম arclength এর ফাংশন ভ্রমণ সেলসম্যান সফর হয় 'র। সম্ভবত সীমাবদ্ধতা কেবল সমস্যাটিকে আরও শক্ত করে তোলে? $C^2$ $p_i$ $C^2$

প্রসঙ্গত এই সমস্যার একটি রূপ এমএসইতে পোস্ট করা হয়েছিল । এটি সেখানে এবং এমও উভয়ই উত্তর পেয়েছে । সমস্যাটি সমাধান করার জন্য এটি অননুমোদিত, এটি কতটা কঠিন তা প্রতিষ্ঠিত করতে চাই।

— pkg
সূত্র

The যে প্রতিবন্ধকতা সমস্যাটিকে আরও সহজ করে তোলে বলে মনে হচ্ছে। বিশেষত, আপনি যদি এখন সীমাবদ্ধতা ফেলে দেন তবে আপনি কেন মাধ্যমে পয়েন্টগুলি সংযুক্ত করার কারণে এই সমস্যাটি তুচ্ছভাবে সমাধান করা যাচ্ছে না?

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

C_{2}

$C_2$

— সুরেশ

এটি কোনও ফাংশন নয়। সীমাবদ্ধতার অধীনে আপনি যদি থেকে পর্যন্ত "লুপ" করেন আপনার বক্ররেখাটি একটি উল্লম্ব রেখাকে দু'বার ছেদ করবে।

p_{3}

$p_3$

p_{2}

$p_2$

x_{1} < x_{2} < x_{3}

$x_1 < x_2 < x_3$

— সুরেশ

এটি পরিষ্কার নয়, আপনি এখানে "নির্ধারিত" দ্বারা কী বোঝাতে চাইছেন তা জানানোর দরকার। এটি কোনও আদর্শ পরিভাষা নয়। এটি কোনও সিদ্ধান্তের সমস্যাও নয় তাই এনপি-হার্ড শব্দটি ব্যবহার করা কোনও অর্থবোধ করে না।

— কাভেহ

@ সুরেশ, আপনি কি আউটপুট অংশে প্রসারিত করতে পারবেন? আমি অনুমান করছি যে আপনি একটি অভিশাপের নামটি একটি বিশাল পরিমাণের কার্ভের সেট থেকে আউটপুট করে বোঝাতে চেয়েছেন। মনে রাখবেন যে সেক্ষেত্রে, এটি পরিষ্কার নয় যে সর্বোত্তম বক্ররেখা সর্বদা সেই শ্রেণীর থেকে থাকবে। অন্যদিকে, আমরা যদি তাদের (বা সর্বোত্তম বক্ররেখায় প্রদত্ত কিছু প্যারামিটারের একটি অনুমান) এর মধ্যে সেরা বা একটি ভাল খুঁজে পেতে চাইছি তবে প্যারাম্যাট্রিক বক্ররেখা নির্দিষ্ট করা উচিত, অন্যথায় প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ এবং এটি হতে পারে না উত্তর।

— কাভেহ

ইনপুট / আউটপুট আর কোনও সীমাবদ্ধ বস্তু নয়, যেমন আপনি যদি সত্যই সংখ্যার / ফাংশনগুলি নিয়ে কাজ করে থাকেন তবে আপনার সমস্যাটি উচ্চ-প্রকারের। প্রতিটি অসীম বস্তুগুলি উদ্দেশ্য অবজেক্টের আনুমানিক সিরিজের সীমারেখা দ্বারা প্রদত্ত হয়। আপনি যদি আগ্রহী হন তবে সিসিএ নেটওয়ার্কের পৃষ্ঠাতে আরও লিঙ্ক রয়েছে।

— কাভেঃ

পার্থক্যতা প্রয়োজনীয়তা সমস্যার প্রকৃতি পরিবর্তন করে না: (ধারাবাহিকতা) বা (অসীম পার্থক্যযোগ্যতা) দৈর্ঘ্য এবং একইটির জন্য একই নিম্ন সীমা দেয় বিন্দু ক্রম, এবং ভ্রমণ বিক্রয় সমস্যা সমাধান সমতুল্য। $\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^{\infty}$

আপনার যদি সমাধান হয় তবে আপনার কাছে একটি বক্ররেখা রয়েছে যা সমস্ত পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়। বিপরীতভাবে, ধরুন আপনার কাছে সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্যের একটি বক্ররেখা রয়েছে যা সমস্ত পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায় এবং যাতে ক্রম হয় যা এটি পয়েন্টগুলি এবং সংশ্লিষ্ট প্যারামিটারগুলিতে করে (যদি বক্ররেখার বিন্দু একাধিকবার ট্র্যাভার করে তবে সম্ভাব্য মানগুলির মধ্যে বেছে নিন )। তারপরে বিভাগগুলি $\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^0$ $p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$ $t_1,\ldots,t_n$ $t$ $n$ $[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$ সংক্ষিপ্ত, কারণ প্রতিটি বিভাগের জন্য একটি সরল রেখাটি বিন্দুর সাথে সংযুক্ত যে কোনও অন্যান্য বক্ররেখার চেয়ে কম হয়। সুতরাং পয়েন্টগুলির প্রতিটি ক্রমের জন্য, সেরা বক্ররেখা টিএসপি সমাধান, এবং টিএসপি সমাধান পয়েন্টগুলির সর্বোত্তম ক্রম সরবরাহ করে।

আসুন এখন দেখান যে বক্ররেখাটি to হতে হয় (বা কোনও জন্য ) পয়েন্টগুলির সর্বোত্তম ক্রম পরিবর্তন করে না। মোট দৈর্ঘ্য এবং যে কোনও কোনও টিএসপি সমাধানের জন্য , আমরা প্রতিটি পারি, অর্থাত্ একই ক্রমে পয়েন্টগুলি ছড়িয়ে দেয় এবং একটি দৈর্ঘ্যযুক্ত একটি বক্ররেখা তৈরি করতে পারি সর্বাধিক (সুস্পষ্ট বাম্প ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করতে এবং ব as এর মতো বক্রাকার অংশগুলির মধ্যে সেই মসৃণ সংযোগগুলি থেকে বীজগণিত ফাংশনগুলির উপর নির্ভর করে এবং যা এর সাথে সংযোগ স্থাপন করে $\mathcal{C}^{\infty}$ $\mathcal{C}^k$ $k$ $\ell$ $\epsilon > 0$ $\mathcal{C}^{\infty}$ $\ell + \epsilon$ $e^{-1/t^2}$ $e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$ $y=0$ এ এবং এ সহ ; এগুলি সুস্পষ্ট করা ক্লান্তিকর, তবে তারা গণনীয়); অতএব, একটি বক্ররেখার জন্য নিম্ন সীমাটি সেগমেন্টের সংগ্রহের সমান (নোটটি নীচের দিকে সাধারণভাবে পৌঁছায় না)। $x=0$ $y=x$ $x=1$ $\mathcal{C}^{\infty}$

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র

অনেক দিন ধরে ঠিক এই যুক্তিটি আমিই খুঁজছিলাম! আপনি ক্লান্তিকর নির্মাণের জন্য একটি রেফারেন্স দিতে পারেন?

— পিকেজি

এটি পুরোপুরি কঠোর নয়, বিশেষত যেহেতু বিমানের মধ্যে আপনি টিএসপি-এর কাছে বহুবর্ষের সময় একটি নির্বিচারে ভাল সান্নিধ্য পেতে পারেন।

— সুরেশ

আমি ভেবেছিলাম আপনি পলি টাইমে কেবল 2 টি ফ্যাক্টরের মধ্যে টিএসপি আনুমানিক করতে পারবেন?

— পিকেজি

@ পিকেজি সম্ভবত এই নির্মাণের একটি নাম রয়েছে তবে আমি ভয় করি যে আমার ক্যালকুলাস ক্লাসগুলি এটি মনে রাখার জন্য আমার অনেক আগে ছিল। আমি সবেমাত্র মনে করেছি বেসিক সংযোগটিকে একটি ফেলা ফাংশন বলে।

— গিলস 'এ-ও অশুভ হওয়া বন্ধ করুন'

এটি প্রতি এক ভুল নয়। আপনার হ্রাস আনুমানিক - কিছু ত্রুটি শব্দ অবধি । এটি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ হ্রাসটি ব্যয়বহুল হতে পারে (অর্থাত্ )। সুতরাং হ্রাস সঠিক নয়। @ পি কেজি আপনি সাধারণ মেট্রিক স্পেসগুলিতে 3/2 ফ্যাক্টরটি নির্ধারণ করতে পারেন এবং বিমানে বা যে কোনও ইউক্লিডিয়ান স্পেসে নির্বিচারে ( ) বন্ধ করতে পারেন close

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— সুরেশ