গণনা ম্যাট্রিক্স শক্তির জটিলতা

আমি গণক আগ্রহী 'একটি তম ক্ষমতা ম্যাট্রিক্স । মনে করুন আমাদের কাছে ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা সময়ে চলে। তারপর, সহজেই নিরূপণ করতে পারেন মধ্যে সময়। কম সময়ের জটিলতায় কী এই সমস্যা সমাধান করা সম্ভব? $n$ $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

ম্যাট্রিক্স এন্ট্রিগুলি, সাধারণভাবে, একটি সেমিরিং থেকে আসতে পারে তবে এটি যদি সহায়তা করে তবে আপনি অতিরিক্ত কাঠামো ধরে নিতে পারেন।

নোট: আমি বুঝতে পারি যে সাধারণ কম্পিউটিং মধ্যে মধ্যে সময় দিতে হবে exponentiation জন্য অ্যালগরিদম। তবে, বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় সমস্যাগুলি ম্যাট্রিক্স এক্সপেনসিয়েশনের বিশেষ ক্ষেত্রে হ্রাস পায় যেখানে এম = , এবং আমি এই সহজ সমস্যাটি সম্পর্কে একই প্রমাণ করতে সক্ষম হইনি। $A^m$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— Shitikanth
সূত্র

ম্যাট্রিক্স এর এন্ট্রি কি? পূর্ণসংখ্যার?

— কাভেঃ

এন্ট্রিগুলি, সাধারণভাবে, একটি সেমিরিং থেকে আসতে পারে তবে এটি যদি সহায়তা করে তবে আপনি অতিরিক্ত কাঠামো ধরে নিতে পারেন।

— শীতিকান্ত

আমি উপরের প্রস্তাবিত পদ্ধতি থেকে (যেমন

) গুণমান থেকে স্কোয়ারিংয়ে হ্রাস পেতে পারি না । তবে,

কাজ করে। যাইহোক, এটি কেবল

গণনা করার ক্ষেত্রে একটি

দেয় ।

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

A^{n}

$A^n$

— শীতিকান্ত

উত্তর:

ম্যাট্রিক্স করা হয়, তাহলে diagonalizable তারপর গ্রহণ ম ক্ষমতা সময় করা যাবে যেখানে diagonalize করার সময় $n$

O (D (n) + n \log n)

$O(D(n)+ n\log n)$

D (n)

$D(n)$

A

$A$ ।

কেবল বিশদটি সম্পূর্ণ করতে, যদি একটি তির্যক , তবে $A=P^{-1}DP$ $D$

A^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

$D^n$ $A$ $n$

— রন জি।
সূত্র

এমনকি ম্যাট্রিক্সটি তির্যক আকার ধারণ করার পরেও, আইজেন্ডেকম্পোজিশনের জন্য সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদমগুলি নেবে

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

(1) আপনি যে সময় বেঁধে দিয়েছেন তা কপারস্মিথ-উইনোগ্রাড দ্বারা নয় (যেমন আপনি সম্ভবত জানেন)। (২) এই ফর্মের সমস্ত অ্যালগোরিদম কেবল রিংয়ের জন্য কাজ করে; তারা সাধারণ সেমিরিংয়ের জন্য কাজ করে না (যেমন আপনি আপনার প্রশ্নে অনুমতি দেন)।

— রায়ান উইলিয়ামস

$n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

$O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— pkg
সূত্র

Since Coppersmith–Winograd algorithm finds the product of two matrices in

O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$ সময়, আমরা ইতিমধ্যে একটি আছে

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$ কম্পিউটিংয়ের জন্য অ্যালগরিদম

A^{m}

$A^m$ . I am interested in knowing if this can be improved upon without requiring a better matrix multiplication algorithm, especially for

m = O (n)

$m=O(n)$ .

— Shitikanth

the SVD doesn't give

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$ in general - the right hand side matrix is

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

— Suresh

It's a bit misleading to have

n

$n$ for the power as well, so I'll use

m

$m$ . If

n = 1

$n=1$ it should take

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$ time to find

A^{m}

$A^m$ , which is equivalent to multiplying integers

— PKG

@Shitikanth see ccrwest.org/gordon/jalg.pdf for a survey of fast-exponentiation algorithms. In general, it's not possible to use fewer than

\log m

$\log m$ multiplications.

— Joe

This was unclear from your question, as stated.

— PKG