মনোোটোন বুলিয়ান সূত্রের সন্তোষজনকতা সিদ্ধান্ত নেওয়ার এনপি-সম্পূর্ণতা প্রমাণ করুন

Question

আমি এই সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করছি এবং আমি সত্যিই লড়াই করছি।

একজন একঘেয়েমি বুলিয়ান সূত্র propositional যুক্তিবিজ্ঞান একটি সূত্র যেখানে সব লিটারেল ইতিবাচক হয়। উদাহরণ স্বরূপ,

$\qquad (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3) \land (x_3 \lor x_4 \lor x_5)$

এটি একঘেয়ে বুলিয়ান ফাংশন। অন্যদিকে, কিছু

$\qquad (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_5)$

মোনোটোন বুলিয়ান ফাংশন নয়।

আমি কীভাবে এই সমস্যার জন্য এনপি-সম্পূর্ণতা প্রমাণ করতে পারি:

নির্ধারণ একটি একঘেয়েমি বুলিয়ান ফাংশন Satisfiable কিনা যদি ভেরিয়েবল বা তার চেয়ে কম সেট করা হয় 1 ?$k$$1$

স্পষ্টতই, সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি ইতিবাচক হিসাবে সেট করা যেতে পারে, এবং এটি তুচ্ছ, সুতরাং কেন পজেটিভ ধরণের ভেরিয়েবলগুলির সংযম রয়েছে ।$k$

আমি এসএটি থেকে মনোোটোন বুলিয়ান সূত্রে হ্রাস করার চেষ্টা করেছি। একটি জিনিস আমি চেষ্টা করেছি হ'ল প্রতিটি নেতিবাচক আক্ষরিক জন্য একটি ডামি ভেরিয়েবলের বিকল্প হিসাবে নেওয়া। উদাহরণস্বরূপ, আমি প্রতিস্থাপন চেষ্টা সঙ্গে z- র 1 , এবং তারপর আমি অত্যাচার চেষ্টা এক্স 1 এবং z- র 1 মান আলাদা হতে হবে। যদিও আমি এটি কাজ করতে যথেষ্ট সক্ষম হইনি।$\neg x_1$$z_1$$x_1$$z_1$

Comments

স্বাগত! ভাষা এবং ফর্ম্যাটিংয়ের সাথে আরও যত্ন নিন।

— রাফায়েল

Answer 1

$k$

একঘেয়ে সূত্রের সীমাবদ্ধতাটি আশ্চর্যজনকভাবে এর জন্য কঠোরতা প্রদর্শন করা সহজ, আপনি কেবলমাত্র এক মুহুর্তের জন্য সন্তুষ্টিজনিত সমস্যাগুলির বাইরে থাকা উচিত। একটি স্যাট উদাহরণটি সংশোধন করার চেষ্টা করার পরিবর্তে, আমরা পরিবর্তে ডমিনেটিং সেট (ডিএস) দিয়ে শুরু করি।

আপনি সেখান থেকে এটি পেতে পারেন কিনা দেখুন। বিটগুলিতে বিভক্ত আরও কিছু রয়েছে, তবে আপনি যদি পারেন তবে এগুলি এড়িয়ে যান। আমি এনপিতে সদস্যতা দেখাব না, আপনার এ নিয়ে কোনও সমস্যা হওয়া উচিত নয়।

$(G, k)$$k$$G$$(\phi,k)$$\phi$

প্রাথমিক নির্মাণ:

$v\in V(G)$$v' \in \text{var}(\phi)$$v \in V(G)$$c_{v} = \bigvee_{u\in N(v)} u'$

প্রমাণের স্কেচ:

$k$$k$$\phi$$k$$c_{v}$$v$

Comments

বাহ এটি আরও বেশি বোঝায়, ধন্যবাদ! আমি মনে করি আমি একচেটিয়া বুলিয়ান সূত্রে স্যাট হ্রাস করার চেষ্টা করতে গিয়ে অবশ্যই স্পষ্ট হয়েছি।

— nat

আমি আরও দেখছি যে আমরা একঘেয়ে বুলিয়ান সূত্রের নীচে মেরুটি কভারটিও হ্রাস করতে পারি।

— nat

$k$

আমি মনে করি ঠিক একই পন্থাটি উল্লম্ব কভারেজের সাথে কাজ করে।

— হাস্কেল ফান

@ হাস্কেলফুন, আমি এটি সম্পর্কেও ভেবেছিলাম ভার্টেক্স কভারটি মনোোটোন মিন-ডাব্লু 2 এসএটি সমান।

— rus9384

Answer 2

$z_i$$\neg x_i$$\phi$$\phi'$$\neg x_i$$z_i$$x_i \vee z_i$$k$$\phi'$$\phi$$k$$x_i \vee z_i$$\phi'$$k$$k$