HALF ক্লিকিউ - এনপি সম্পূর্ণ সমস্যা

Question

এটি একটি হোম ওয়ার্ক সমস্যা হিসাবে উল্লেখ করে আমাকে শুরু করতে দিন , দয়া করে কেবল পরামর্শ এবং সম্পর্কিত পর্যবেক্ষণ সরবরাহ করুন, দয়া করে কোনও উত্তর উত্তর দিন না । এই বলে যে, আমি যে সমস্যাটি দেখছি তা এখানে:

যাক বিরতি উপদল = { | হ'ল একটি অনায়াসিত গ্রাফ যেখানে কমপক্ষে n / 2 নোড সহ একটি সম্পূর্ণ সাবগ্রাফ থাকে , যেখানে এন G এর নোডের সংখ্যা } দেখান যে HALF-CLIQUE এনপি-সম্পূর্ণ।$\langle G \rangle$$G$$n/2$$G$

এছাড়াও, আমি নিম্নলিখিত জানি:

• এই সমস্যার শর্তে একটি চক্রকে ইনপুট গ্রাফের একটি অনির্দেশিত সাবগ্রাফার হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে প্রতিটি দুটি নোড একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত থাকে। একজন $k$ -clique একটি উপদল যে রয়েছে $k$ নোড।
• আমাদের পাঠ্যপুস্তক অনুসারে, মাইকেল সিপসারের " থিওরি অফ কমিউটিশনের পরিচিতি ", পৃষ্ঠা 268, যে সমস্যাটি CLIQUE = { \ ল্যাঙ্গেল জি, কে \ রেঞ্জল$\langle G,k\rangle$ | $G$ হ'ল একটি অনির্দেশিত গ্রাফ যা একটি $k$ with এনপিতে রয়েছে
• তদ্ব্যতীত, একই উত্স অনুসারে (পৃষ্ঠা 283 তে) নোট করে যে ক্লাইকিউ এনপি-কমপ্লেটে রয়েছে (এটি সুস্পষ্টভাবে এনপিতেও রয়েছে)।

আমি মনে করি আমার কাছে এখানে একটি উত্তরের কার্নেল রয়েছে তবে আমি এর সাথে কী ভুল তা বা তার সাথে সম্পর্কিত কোনও সম্পর্কিত পয়েন্টের কিছু ইঙ্গিত ব্যবহার করতে পারি । এটি আমার এখনও অবধি সাধারণ ধারণা,

ঠিক আছে, আমি প্রথমে নোট করব যে একটি শংসাপত্রটি কেবল \ পাঠ্য {আকারের AL q geq n / 2 এর HALF-QLIQUE হবে $\text{size} \geq n/2$। এখন দেখা যাচ্ছে যে আমার যা করার দরকার তা হ'ল সিএলকিইউ (যা আমরা জানি এনপি-কমপ্লিট) থেকে এইচএলএফ-ক্লিক্যুতে একটি বহুপদী সময় হ্রাস ver আমার ধারণাটি হ'ল এটি এমন একটি টুরিং মেশিন তৈরি করে করা হবে যা এইচএএলএফ-ক্লিকের অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতার সাথে ক্লিকুয়ের জন্য বইটিতে টুরিং মেশিন ভেরিফায়ার চালায়।

এটি আমার কাছে সঠিক বলে মনে হচ্ছে তবে আমি এখনও এই বিষয়ে নিজেকে বিশ্বাস করি না। আবারও, আমি সবাইকে এটি স্মরণ করিয়ে দিতে চাই যে এটি একটি হোমওয়াক সমস্যা তাই দয়া করে প্রশ্নের উত্তর এড়াতে চেষ্টা করুন। এর থেকে কম পড়া যে কোনও গাইডেন্স সবচেয়ে স্বাগত হবে!

Answer 1

আপনার বিবরণ এবং মন্তব্যে বিচার করে, এনপি-সম্পূর্ণতা প্রমাণ করতে কীভাবে হ্রাস ব্যবহার করা যেতে পারে তার একটি সঠিক বিবরণ দিয়ে আপনাকে সেরা সাহায্য করা যেতে পারে:

একটি সমস্যা এনপি-সম্পূর্ণ হয় যদি এটি এনপিতে থাকে এবং এটি এনপি-হার্ড। এর অর্থ হ'ল এনপি-সম্পূর্ণতার যে কোনও প্রমাণের দুটি অংশ রয়েছে: সমস্যাটি এনপি-র মধ্যে রয়েছে তার প্রমাণ এবং এটি এনপি-হার্ড a

প্রথম অংশের জন্য, আপনাকে দেখাতে হবে যে কিছু উপযুক্ত শংসাপত্র ব্যবহার করে বহু-কালীন সময়ে YES-দৃষ্টান্তগুলি যাচাই করা যেতে পারে। বিকল্পভাবে, আপনি নন-ডিসট্রিমেন্টিক টিউরিং মেশিন দ্বারা বহুবর্ষীয় সময়ে সমস্যার সমাধান হতে পারে তা দেখাতে পারেন, তবে ভুলগুলি সহজেই করা হয় বলে এটি সাধারণত করা হয় না।

আপনার ক্ষেত্রে, এটি প্রমাণিত হয়েছে যে ক্লিকের প্রতিটি গ্রাফের জন্য , আপনি কিছু প্রমাণ পেতে পারেন যে সত্যই এমন একটি চক্র রয়েছে, যেমন, এই জাতীয় প্রমাণ সহ সজ্জিত, আপনি বহুবর্ষের সময় পরীক্ষা করতে পারেন যে সত্যিই যেমন একটি চক্র আছে।$n/2$

দ্বিতীয় অংশের জন্য, আপনাকে দেখাতে হবে যে সমস্যাটি এনপি-হার্ড। এটি প্রায় সমস্ত ক্ষেত্রে প্রমাণিত হয়ে দেখানো হয়েছে যে আপনার সমস্যাটি অন্য কোনও এনপি-হার্ড সমস্যার মতোই কম কঠিন। যদি এইচএলএফ-ক্লিক্যু ক্লিক্যু'র মতো কমপক্ষে শক্ত হয় তবে এটি অবশ্যই এনপি-হার্ড হওয়া উচিত।

আপনি ক্লিচ থেকে অর্ধেক-ক্লিক থেকে হ্রাস প্রমাণ করে এটি করেন। আপনি সমস্যাটিকে 'হ্রাস' করুন, এটি 'সহজ' করে তুলেছেন। আপনি বলছেন "ক্লিক্যু সমাধান করা শক্ত, তবে আমি প্রমাণ করেছি যে ক্লিক সমাধান করার জন্য আপনার কেবলমাত্র হালফ-ক্লিকুই সমাধান করা দরকার"। (অনেক লোক, এমনকি বিশেষজ্ঞরা মাঝে মাঝে এটিকে প্রায় ভুল উপায়ে বলেন :))

বিভিন্ন ধরণের হ্রাস রয়েছে: যে হ্রাসটি সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় তা হ'ল আপনি যেখানে এই ক্ষেত্রে CALQUE এর উদাহরণগুলিকে মানচিত্রের মানচিত্রের উপরে আঁকেন তার আকার হ'ল বহু-কালীন সময়ে যার আকার সর্বাধিক বহুবর্ষীয়ভাবে বৃহত্তর। এর অর্থ হ'ল আমরা যদি HALF-CLIQUE সমাধান করতে পারি, তবে আমরা অ্যালগরিদম এবং হ্রাসটি বন্ধ করে ক্লিকও সমাধান করতে পারি।

অন্য কথায়, আমাদের অবশ্যই দেখাতে হবে যে যদি আমরা HALF-CLIQUE সমাধান করতে পারি তবে আমরা ক্লিকটি সমাধান করতে পারি। আমরা ক্লিকিউয়ের জন্য প্রতিটি উদাহরণের জন্য এটি প্রদর্শন করেই করি, আমরা HALF-CLIQUE এর একটি উদাহরণ ডিজাইন করতে পারি যেমন ক্লাইকিউয়ের উদাহরণটি একটি 'হ্যাঁ' উদাহরণস্বরূপ যদি HALF-CLIQUE উদাহরণটি 'হ্যাঁ' উদাহরণস্বরূপ হয়।

প্রমাণ সেইজন্য এই মত শুরু হয়: গ্রাফ দেওয়া , আমি গ্রাফ তৈরি করতে পারেন যেমন যে একটি রয়েছে iff -clique একটি রয়েছে -clique। আমি এই অংশটি আপনার কাছে ছেড়ে যাব (এটি সেই অংশ যা সৃজনশীলতার প্রয়োজন, অংশটি যা নির্দিষ্ট সমস্যাটি সম্পর্কে রয়েছে)।$G=(V, E)$$H=(V', E')$$G$$k$$H$$n/2$

Comments

দুর্দান্ত সেট আপ, আমি মনে করি আপনি কোনও উত্তর প্রদান না করে গাইড করার জন্য পর্যাপ্ত তথ্য সরবরাহ করার ক্ষেত্রে খুব ভাল কাজ করেছেন এবং স্বচ্ছন্দভাবে তা করেছেন। ধন্যবাদ.

— ভাইজ্যাক

ভবিষ্যতের রেফারেন্সের জন্য এই জাতীয় কিছু এনপি-সম্পূর্ণ ট্যাগ উইকিতে রাখা উচিত । আপনি কি কিছু মনে করবেন?

— রাফেল

Answer 2

তুমি কিছুটা হারিয়ে গেছে বলে মনে হচ্ছে আপনি HALF-CLIQUE show CliQue দেখাতে চান , যার অর্থ আপনি একটি পলি-টাইম অ্যালগরিদম সন্ধান করছেন যা ক্লিচু উদাহরণগুলি ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং "হ্যাঁ" মানচিত্রটিকে "হ্যাঁ" ইনপুট করে এমন সম্পত্তি দিয়ে আউটপুট দেয় HALF-CLIQUE উদাহরণগুলি p এস এবং "না" ইনপুট মানচিত্র "না" গুলি।$\ge$

সুতরাং, মূলত: টাস্কের একটি গ্রাফ নিতে হয় এবং একটি সংখ্যা এবং আউটপুট একটি নতুন গ্রাফ (এবং কোন সংখ্যা) যাতে তার ছেদচিহ্ন যখনই অন্তত অর্ধেক উপর একটি উপদল হয়েছে আকারের একটি উপদল রয়েছে । $G$$k$$H$$H$$G$$k$

এই হ্রাসটি কীভাবে সম্পাদন করতে হবে তার নীচের বিলোপকারীতে একটি ইঙ্গিত রয়েছে:

একটি উপযুক্ত আকারের চক্রটি সংযুক্ত করে তৈরি করার চেষ্টা করুন , কিছু সংখ্যক প্রান্তকে কোনও কিছুর সাথে সংযুক্ত নেই।$H$$G$

Comments

আপনি কি বলছেন তা আমি বুঝতে পারছি না। আমি যা করার চেষ্টা করেছিলাম তা হল এইচআইএলএফ-ক্লিক্যু ক্লিক থেকে ক্লিক্যুতে হ্রাস করে প্রমাণ করার জন্য যে বইটিতে ব্যবহৃত ক্লিচিউ এনপি ছিল, এটি কি ইনপুট গ্রাফ জি-তে চালানো হয়েছে এবং যদি এটির কোন ক্লাইকিউ পাওয়া যায় যে ক্লিইকিউ রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য! কমপক্ষে n / 2 নোড, যেখানে এন জি এর নোড সংখ্যা। এইচএএলএফ-ক্লিক্যু এর কোনও যাচাইকারী এটি দেখায় না যে ক্লিকির ভেরিফায়ার এটির একটি হ্রাসপ্রাপ্ত রূপ (HALF-CLIQUE সমাধানের সাব সমস্যা হিসাবে) )?

— ভাইজ্যাক 22

অথবা আপনি কি বলছেন যে এটি আমার পিছন দিকে আছে এবং প্রমাণ করা দরকার যে ক্লিক্যুটি HALF-CLIQUE এ হ্রাস করা দরকার? আমিও পুরোপুরি আপনার স্পয়লার পাচ্ছি না। উত্তর না দিয়ে ব্যাখ্যা করার কোনও উপায় আছে কি?

— ভাইজ্যাক

হ্যাঁ, কোনও সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ দেখানোর জন্য আপনাকে (ক) এটি এনপি-তে রয়েছে এবং (খ) এটির কিছু পরিচিত এনপি-হার্ড সমস্যা হ্রাস করতে হবে। হ্রাসের সঠিক দিকটি মনে রাখার জন্য মূল বিষয়টি হ'ল নতুন সমস্যাটিকে একটি "ব্ল্যাক বক্স" হিসাবে কার্যকরভাবে এনপি-সি পরিচিত সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহার করা।

— লুই

ঠিক আছে, আমার মনে হয় আমি এখন বুঝতে পেরেছি। আপনার সাহায্যের জন্য ধন্যবাদ!

— ব্রাদারজ্যাক

+1 আমি মনে করি এটি পেয়েছি। আমি কী ভুল করছি তা বুঝতে পেরে আপনার ইঙ্গিতটি খুব শিক্ষামূলক ছিল। আবার ধন্যবাদ!

— ভাইজ্যাক

Answer 3

আপনি ভার্টেক্স কভার সমস্যাটি হ্রাস করতে পারেন। প্রদত্ত গ্রাফের পরিপূরক গ্রাফের যদি এন / 2 নোডের চেয়ে কম একটি ভার্টেক্স কভার থাকে তবে এই গ্রাফটিতে n / 2 নোডেরও বেশি একটি চক্র থাকবে যা এটি অর্ধ চক্র হবে। কেবল উল্লেখ করুন যে ভার্টেক্স কভার সমস্যাটি সমাধান করা কঠিন তাই এটি।

Comments

যেহেতু আপনি কোনও এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা থেকে হ্রাস করতে পারেন , এটি মারাত্মকভাবে কার্যকর নয়। হ্রাস সম্পর্কে বিশদ আশা করা হচ্ছে।

— রাফায়েল

$n/2$