সর্বনিম্ন সংখ্যার অদলবদু ব্যবহার করুন যাতে প্রতিটি বিনে একই রঙের বল থাকে

আছে বিন, তম বিন ধারণ বাজে কথা। বাজে কথা হয়েছে রং, আছে রং এর বল । যাক । $n$ $i$ $a_i$ $n$ $a_i$ $i$ $m=\sum_{i=1}^n a_i$

অদলবদলটি একটি বিন থেকে একটি বল নিয়ে অন্য একটি বিন থেকে একটি বলের সাথে অদলবদল হয়। আমরা ন্যূনতম সংখ্যার মতো অদলবদল চাই যে প্রতিটি বিনটিতে একই রঙের বল থাকে।

আমি একটি সহজ বিশেষ ক্ষেত্রে জানেন সবার জন্য । (যদি সবার জন্য $a_i\leq 2$ $i$ $a_i=2$ $i$ , তাহলে আপনি এমনকি এটি একবার সর্বাধিক প্রতিটি বল সোয়াপিং দ্বারা করতে পারেন।)

সম্পাদনা করুন : এটি ভুল কারণ $c(D)$ করা এনপি-হার্ড।

~~আমরা যদি জানি যে কোন রঙটি কোন বিনে যায়, সমস্যাটি সহজ।~~

একটি মাল্টি-digraph বিবেচনা , । আমরা রঙ জানেন তাহলে বিন যায় , তারপর আছে সমান্তরাল পরিধির মধ্যে মধ্যে iff বিন রয়েছে রং এর বল । গ্রাফের প্রতিটি উপাদান হলেন ইউলিরিয়ান। অদলবদলের ন্যূনতম সংখ্যাটি হ'ল $D=(V,A)$ $V=\{v_1,\ldots,v_n\}$ $i$ $b(i)$ $k$ $(j,b(i))$ $A$ $j$ $k$ $i$ , যেখানে হ'ল চক্রের বিভাজনকারী চক্রগুলির সংখ্যা যা $m-c(D)$ $c(D)$ $A$ । আমরা একটি ইউলেরিয়ান সার্কিট "অনুসরণ করে" অদলবদল করতে পারি। (একটি ন্যূনতম চক্রের একটি চাপ ব্যবহার করে অদলবদল এটি একটি ছোট ন্যূনতম চক্র এবং একটি স্ব লুপে পরিবর্তন করতে পারে)। পুরো গ্রাফটি একবার স্ব-লুপ সেট হয়ে গেলে, আমরা সমস্ত প্রয়োজনীয় অদলবদল করে ফেলেছি।

সাধারণভাবে এই সমস্যাটি কতটা কঠিন?

algorithms complexity-theory balls-and-bins

— চাও কু
সূত্র

একটি ইউরোলিয়ান পরিচালিত গ্রাফের প্রান্ত বিভাজন চক্রগুলিতে সর্বাধিক পচন হ'ল এনপি-হার্ড, কমপক্ষে এই বই অনুসারে: অ্যালগরিদম এবং অ্যাপ্লিকেশন: তাঁর 60০ তম জন্মদিন উপলক্ষে প্রবন্ধ এসকো উকোনেনকে উত্সর্গীকৃত নিবন্ধ ।

বিটিডব্লিউ, এখানে একটি নিবন্ধ যা সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করছেন বলে মনে হচ্ছে তার সাথে প্রাসঙ্গিক: ডাচ জাতীয় পতাকা অ্যালগরিদমের জন্য অ্যাসেম্পোটোটিক্যালি অনুকূল অ্যালগরিদম ।

জন্য , কাগজ একটি সহজ অ্যালগরিদম দেয়। $n \le 6$

— আর্যভট্ট
সূত্র

আমি ভুলভাবে ধরে নিয়েছি আমরা কেবল গ্রাফটিতে হাঁটাচলা করে সর্বাধিক পচন পেতে পারি যতক্ষণ না এটি কোনও চক্রকে আঘাত করে এবং আবার শুরু না করে। সুতরাং প্রকৃতপক্ষে এই সমস্যাটি সাধারণভাবে এনপি-হার্ড।

— চাও শো