এলোমেলো বিভাজন মাধ্যমে নির্বাচনের জন্য তীব্র ঘনত্ব?

Question

একটি অ্যারের মধ্যে মধ্যমা উপাদান খোঁজার জন্য স্বাভাবিক সহজ অ্যালগরিদম এর সংখ্যার হল:$A$$n$

• নমুনা থেকে উপাদানগুলি প্রতিস্থাপন সঙ্গে মধ্যে$n^{3/4}$$A$$B$
• সাজান এবং র্যাঙ্ক এটি উপাদান এবং এর$B$$|B|\pm \sqrt{n}$$l$$r$$B$
• পরীক্ষা করে দেখুন যে এবং মধ্যমা বিপরীত পক্ষের উপর হয় এবং সেখানে সর্বাধিক আছে উপাদান মধ্যবর্তী এবং কিছু উপযুক্ত ধ্রুবক জন্য । যদি এটি না ঘটে তবে ব্যর্থ হোন।$l$$r$$A$$C\sqrt{n}$$A$$l$$r$$C > 0$
• অন্যথায়, এবং মধ্যে এর উপাদানগুলি বাছাই করে মধ্যস্থতাটি সন্ধান করুন$A$$l$$r$

এটি লিনিয়ার সময়ে চলে এবং এটি উচ্চ সম্ভাবনার সাথে সফল হয় তা দেখা মুশকিল নয়। (সমস্ত খারাপ ইভেন্টগুলি দ্বিপাক্ষিক প্রত্যাশা থেকে দূরে বড় বিচ্যুতি।)

একই সমস্যার জন্য একটি বিকল্প অ্যালগরিদম, যা দ্রুত বাছাই করা শিক্ষার্থীদের এখানে শেখানো আরও স্বাভাবিক যে এখানে বর্ণিত: এলোমেলোভাবে নির্বাচন

এটি দেখতেও সহজ যে এটির ক্ষেত্রে প্রত্যাশিত চলমান সময় রয়েছে: বলুন যে "বৃত্তাকার" হ'ল পুনরাবৃত্ত কলগুলির ক্রম যা শেষ হয় যখন 1 / 4-3 / 4 বিভাজন দেয় এবং তারপরে প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্যের দৈর্ঘ্য দেখা যায় একটি বৃত্তাকার সর্বাধিক ২। (একটি রাউন্ডের প্রথম অঙ্কে, ভাল বিভাজন হওয়ার সম্ভাবনা ১/২ এবং তারপরে আসলে বৃদ্ধি পাওয়ার পরে, কারণ অ্যালগরিদমকে বর্ণনা করা হয়েছিল, তাই বৃত্তাকার দৈর্ঘ্য জ্যামিতিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল দ্বারা প্রভাবিত হয়।)

সুতরাং এখন প্রশ্ন:

র্যান্ডমাইজড নির্বাচন উচ্চ সম্ভাবনার সাথে রৈখিক সময়ে চলে তা দেখাতে কি সম্ভব?

আমরা আশা করি আপনি চক্রের এবং প্রতিটি রাউন্ডে অন্তত দৈর্ঘ্য সম্ভাব্যতা ছাড়া সর্বাধিক , তাই একটি ইউনিয়ন আবদ্ধ যে চলমান সময় দেয় সম্ভাব্যতা ।$O(\log n)$$k$$2^{-k+1}$$O(n\log\log n)$$1-1/O(\log n)$

এটি একরকম অসন্তুষ্টিজনক, তবে এটি কি সত্য?

Comments

আপনার প্রশ্নগুলি কোন অ্যালগরিদমকে উল্লেখ করে দয়া করে তা পরিষ্কার করুন।

— রাফায়েল

আপনি কি আপনার ইউনিয়নকে সঠিকভাবে বেঁধে প্রয়োগ করেছেন কিনা তা জিজ্ঞাসা করছেন, বা যদি এর থেকে আরও ভাল, আরও সন্তোষজনক সীমাবদ্ধ থাকেন?

— জো

পুনঃটুইট মুল বক্তব্যটি হল যে বৃত্তাকার দৈর্ঘ্য জ্যামিতিক দ্বারা আধিপত্য বিস্তার করে তা পেতে গোলগুলি একটি নিদর্শন ar তারপরে অ্যানালিসগুলি "ভুলে যায়" জ্যামিতিকাগুলিকে স্বাধীন করতে সর্বদা নাকের উপর 1 / 4-3 / 4 বিভক্ত হয়ে এলগোরিদিম তার সামনে বা পিছনে থাকে কিনা। আমি জিজ্ঞাসা করছি যে এই "প্রতারণা" ইউভাল নীচে রেখেছিল তা এখনও শক্ত কিনা।

— লুই

Answer 1

এটি সত্য নয় যে অ্যালগরিদম উচ্চ সম্ভাবনার সাথে রৈখিক সময়ে চলে। কেবলমাত্র প্রথম রাউন্ড বিবেচনা করে, চলমান সময়টি কমপক্ষে বার একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের। এর অনুমোদিত ব্যর্থতার সম্ভাবনা হয়ে উঠুক । যেহেতু , দৌড়ানো সময় অন্তত হয় ।$\Theta(n)$$G(1/2)$$p(n) \longrightarrow 0$$\Pr[G(1/2) \geq \log_2 p(n)^{-1}] = p(n)$$\Omega(n \log_2 p(n)^{-1}) = \omega(n)$

(কিছু জালিয়াতি জড়িত রয়েছে, যেহেতু প্রথম রাউন্ডের দৈর্ঘ্য সত্যই না । আরও সতর্কতার সাথে বিশ্লেষণ এই উত্তরটিকে বৈধতা দেয় বা নাও পারে))$G(1/2)$

সম্পাদনা: গ্রাবেল এবং রোজার প্রমাণ করেছেন যে দ্বারা বিভক্ত তুলনামূলক প্রত্যাশিত সংখ্যার (কিছু অর্থে) কিছু সীমা বন্টন হয়েছে, যা সীমাহীন। উদাহরণস্বরূপ গ্রোবেলের কাগজটি দেখুন "হোয়েরের নির্বাচন অ্যালগরিদম: একটি মার্কভ চেইন অ্যাপ্রোচ", যা তাদের মূল কাগজটির উল্লেখ করে re$n$

Comments

এই জিনিসটি আমাকে বিরক্ত করে। আমি উপরে আমার মন্তব্যে যেমন বলেছি, চক্রগুলি অ্যালগরিদমের "ধীর গতি" সংস্করণ বিশ্লেষণের একমাত্র উপায় যা এটি যতক্ষণ না এগিয়ে যায় ততক্ষণ অপেক্ষা করে good আপনি যা দেখিয়েছেন তা হ'ল যে কোনও স্থির এর জন্য প্রথম দফায় পিভটসের চেয়ে বেশি প্রয়োজন । তবে, নীতিগতভাবে, একটি দীর্ঘ প্রথম রাউন্ডটি খালি ২ য় রাউন্ডের দ্বারা অফসেট করা যেতে পারে, এই অর্থে যে "আন-স্লোড" অ্যালগরিদম সর্বদা 1 / 4-3 / 4 বিভক্ত হয়ে যায় তার কাছে ধরা পড়ে । $C>0$$C$$>0$

— লুই 7

এটি সত্য নয়, যদি প্রথম রাউন্ডটি দীর্ঘ হয় তবে পুরো চলমান সময় দীর্ঘ হয়, কারণ পরবর্তী রাউন্ডগুলি চলমান সময় হ্রাস করতে পারে না। হ'ল যে কোনও এর জন্য প্রথম কিছু ধ্রুবক সম্ভাবনা সহ কমপক্ষে সময় লাগে । $C$$Cn$$p_C > 0$

— যুবাল ফিল্মাস

আমি এখন আরও সুখী, যেহেতু উপরের চৌকের জন্য জ্যামিতিক ব্যবহারের চেয়ে বৃত্তাকার দৈর্ঘ্য খুব কম নয় । আমার ধারণা জিএন্ডআর এটিই বিপজ্জনক করছে। চমৎকার উত্তর.

— লুই