নিয়মিত ভাষার সর্বাধিক নির্ণয়ের সন্ধান করা

ভাষা নিয়মিত হতে দিন। $\mathcal{L} \subseteq \Sigma^*$

of এর একটি গুণক শব্দের সংকলনের একটি সর্বাধিক জোড়া $\mathcal{L}$ $(X,Y)$

$X \cdot Y \subseteq \mathcal{L}$
$X \neq \emptyset \neq Y$ ,

যেখানে | । $X \cdot Y = \{xy$ $x \in X, y \in Y\}$

$(X,Y)$ সর্বোচ্চ যদি প্রতিটি জোড়া জন্য সঙ্গে পারেন বা । $(X',Y') \neq (X,Y)$ $X'\cdot Y' \subseteq \mathcal{L}$ $X \not \subseteq X'$ $Y \not \subseteq Y'$

কোন যুগল সর্বাধিক?

উদাহরণ:

যাক $\mathcal{L} = \Sigma^∗ab \Sigma^∗$ । সেট $F = \{u, v, w\}$ গণনা করা হয়েছে:

$u =(\Sigma^∗, \Sigma^∗ab\Sigma^∗)$
$v = (\Sigma^∗a\Sigma^∗, \Sigma^∗b\Sigma^∗)$
$w = (\Sigma^∗ab\Sigma^∗, \Sigma^∗)$

যেখানে $\Sigma = \{a,b\}$ ।

আরেকটি উদাহরণ:

$\Sigma = \{a, b\}$ এবং $\mathcal{L} = \Sigma^*a\Sigma$ ig ফ্যাক্টরিজেশন সেট $F = \{q, r, s, t\}$ সহ

$q = (\Sigma^*, \mathcal{L})$
$r = (\Sigma^*a, \Sigma + \mathcal{L})$
$s = (\Sigma^*aa, \epsilon + \Sigma + \mathcal{L})$
$t = (\mathcal{L}, \epsilon + \mathcal{L})$

algorithms regular-languages optimization

— লরা
সূত্র

আমি জ্যাক সাকারোভিচের নিম্নলিখিত কাগজটি (উদাহরণস্বরূপ অনুচ্ছেদ 4.1) পড়ার পরামর্শ দিচ্ছি: পার্সো.টেলিকম-

— কর্নেলিয়াস ব্র্যান্ড

আমি ভাবছি আপনি যদি সমস্যাটি সম্পর্কে আরও নির্দিষ্ট হতে চান, তবে আপনার প্রশ্নের শেষ বাক্যটি? আমাদের কি দেওয়া হয়েছে এবং আমরা পরীক্ষা করতে চাই সর্বাধিক কিনা ? আমাদের কাজটি কী সমস্ত সর্বাধিক গণনা করা যায় ? যদি পরবর্তীকালে, এটি কি পরিষ্কার যে এই তালিকাটি সীমাবদ্ধ বা বহু-আকারের? যদি তাদের মধ্যে খুব বেশি পরিমাণে তাত্পর্যপূর্ণ থাকে তবে সমস্ত সম্ভাবনাগুলি গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম জিজ্ঞাসা করার কোনও অর্থ নেই। এছাড়াও, আপনি কি আমাদের উল্লেখ করতে চান যে ভাষাটি যখন আমাদের কাছে উপস্থাপন করা হয় তখন how কীভাবে প্রতিনিধিত্ব করে এবং প্রতিনিধিত্ব করে কীভাবে? (উদাঃ, ডিএফএ, এনএফএ, রিজেক্সপ)

X, Y

$X,Y$

(X, Y)

$(X,Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$

L

${\cal L}$

X, Y

$X,Y$

— ডিডাব্লু

আমি আপনার উদাহরণ বুঝতে পারি না। আপনি ডাব্লু সমস্ত সর্বাধিক জোড়া হতে অনুমিত? বৈধ বলে মনে হচ্ছে না ...

u, v, w

$u,v,w$

v

$v$

— রাফেল

উদাহরণটি উপরে বর্ণিত কাগজ থেকে নেওয়া হয়েছে। এর সর্বাধিক জোড়া হওয়ার কথা। আমিও বুঝতে পারছি না কিভাবে নির্ণয় করা হয় মনে যেহেতু এটি অগত্যা হবে না । আমি অন্য একটি উদাহরণ পোস্ট করব।

u, v, w

$u,v,w$

v

$v$

L

$\mathcal{L}$

— লরা

@ রাফেল, আমার কাছে দেখে মনে হচ্ছে বৈধ। লেটিং , , , একটি গুণকনির্ণয় যেহেতু (যে কোন স্ট্রিং, যাতে বিবেচনা , তারপরে এর এবং / বা এর যে কোনও ক্রম রয়েছে , শেষ পর্যন্ত একটি : এই স্ট্রিংটির কিছু পয়েন্ট থাকতে হবে যেখানে প্রথম প্রদর্শিত হবে, সুতরাং এটি এমন একটি বিন্দু যেখানে এটি )। আমি একটি প্রমাণ এটি সর্বোচ্চ হয় না, কিন্তু আমি কোনো বৃহত্তর সেট খুঁজে পাচ্ছি না যে একটি গুণকনির্ণয় হয় ।

v

$v$

X = Σ^{*} a Σ^{*}

$X=\Sigma^* a \Sigma^*$

Y = Σ^{*} b Σ^{*}

$Y=\Sigma^* b \Sigma^*$

(X, Y)

$(X,Y)$

X \cdot Y = L

$X \cdot Y = {\cal L}$

a

$a$

a

$a$

b

$b$

b

$b$

b

$b$

a b

$ab$

X^{'}, Y^{'}

$X',Y'$

L

${\cal L}$

— DW

প্রশ্নের মন্তব্যে যেমন পরামর্শ দেওয়া হয়েছে, আমি প্রশ্নের (দুর্ভাগ্যবশত আংশিক) উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করব, কমপক্ষে আমি নিজেই যে সমস্যাটি বুঝতে পেরেছি (এর থেকে বোঝা যায় যে আপনি ভুলগুলি খুঁজে পেতে পারেন, এবং যদি আপনি সন্ধান করেন তবে নীচের বিষয়গুলির আরও একটি সংক্ষিপ্তভাবে বা স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করার একটি উপায়, সেই অনুসারে উত্তরটি সম্পাদনা করতে নির্দ্বিধায়):

প্রথমত, একটি নোট করা উচিত যে আমরা যদি কোনও ভাষার গুণাবলী নির্ণয় করতে চাই তবে কোনও ভাষার সর্বজনীন অটোম্যাটনকে আসলেই গণনা করতে হয় না।

আমার মন্তব্যে উল্লিখিত কাগজটি থেকে ¹, নিয়মিত ভাষার বাম এবং ডান উপাদানগুলির মধ্যে 1-1 টি চিঠিপত্র রয়েছে, অর্থাত্, ভাষার বাম ফ্যাক্টরটি দেওয়া হলে, ডান অনুষঙ্গটি অনন্যভাবে নির্ধারিত এবং তদ্বিপরীত। আরও স্পষ্টভাবে, আমাদের নিম্নলিখিত রয়েছে:

আসুন গুণক হোন । তারপরে অর্থাৎ যে কোনও বাম ফ্যাক্টর হ'ল ডান ভাগফলকের ছেদ এবং যে কোনও ডান ফ্যাক্টর হ'ল বাম ভাগের একটি ছেদ। বিপরীতভাবে, বাম quotients কোন ছেদ একটি অধিকার ফ্যাক্টর , আর ডান quotients কোন ছেদ একটি বাম ফ্যাক্টর । $(X,Y)$ $L$

Y = ⋂_{x \in X} x^{- 1} L, X = ⋂_{y \in Y} L y^{- 1},

$Y = \bigcap_{x \in X}x^{-1}L, X = \bigcap_{y \in Y}Ly^{-1},$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

নোট করুন যে একটি নিয়মিত ভাষার জন্য, কেবল বাম এবং ডান ভাগফলের একটি সীমাবদ্ধ সেট রয়েছে, এবং এইভাবে বা সমস্যাটি কোনও ভাষার বাম এবং ডান কোটিয়েন্ট গণনা করতে হ্রাস করে এবং তারপরে তার অস্তিত্ব বন্ধের গণনা করে , ছেদকের নীচে বন্ধ হওয়া কোটিয়েন্টের সর্বনিম্ন সুপারসেট। এরপরে এগুলি হ'ল যথাযথভাবে সঠিক কারণ এবং বাম ফ্যাক্টর এবং তারপরে সাধারণত কোন জোড়গুলি এর সাবসেট হয় তা সহজেই দেখা যায় । $\cap$ $L$

উদাহরণ

উপরের বিষয়গুলি বর্ণনা করার জন্য, প্রশ্নের প্রথম উদাহরণটি বিবেচনা করুন (যার মধ্যে আমি এটিও মনে করি যে এটি কাগজে ভুল):

যাক । এখন, বাম quotients টি সেট রয়েছে জন্য , যে কথাগুলো মধ্যে সঙ্গে পূর্বে সমাধান করা যেতে পারে , অর্থাত্ । কখন জন্য স্বতন্ত্র ? এই ক্ষেত্রে যদি হয় এবং কেবলমাত্র এবং এর সাহায্যে তে শব্দ যুক্ত করা যায় $L = \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast$ $L$ $x^{-1}L$ $x\in \Sigma^\ast$ $u$ $\Sigma^\ast$ $x$ $xu \in L$ $y^{-1}L=x^{-1}L$ $x,y$ $x$ $y$ $L$ স্পষ্টভাবে একই প্রত্যয় সঙ্গে। এর অর্থ, এটি আরও পরিচিত পদগুলিতে রাখতে, তারা হ'ল নেরোড-সমতুল্য এবং নেরোড শ্রেণিতে শব্দগুলিতে সংযোজন করার জন্য প্রত্যয়গুলি যথাযথভাবে সম্পর্কিত বাম কোটিয়ার্স।

জন্য , আমরা দেখতে যে আমাদের Nerode-সমানতা ক্লাস আছে $L$

$N_1$ , শব্দ ধারণকারী না সেট একটি কারণ হিসেবে এবং দিয়ে শেষ , $ab$ $a$
$N_2$ , সমাপ্তি শব্দের সংকলন এবং একটি উপাদান হিসাবে না , এবং $b$ $ab$
$N_3$ , একটি উপাদান হিসাবে শব্দের সংকলন , যা, $ab$ $N_3 = L$

সেগুলি নিম্নোক্ত সেটগুলির সাথে বাড়ানো যেতে পারে (এটি হ'ল স্ব স্ব শ্রেণীর শব্দের বাম কোটিয়েন্স):

$S_1 = x^{-1}L$ জন্য মধ্যে সমস্ত শব্দ নিয়ে গঠিত (যে কোন শব্দ একটি শব্দ সম্বলিত বৃদ্ধি করা যেতে পারে একটি কারণ হিসেবে এবং এইভাবে একটি শব্দ হয়ে ) এবং , যে হয় $x$ $N_1$ $L$ $ab$ $L$ $b\Sigma^\ast$ $S_1 = L \cup b\Sigma^\ast$
$S_2 = x^{-1}L$ in এ এর জন্য হ'ল ভাষা, যা এবং $x$ $N_2$ $S_2 = L$
$S_3 = x^{-1}L$ in এর জন্য স্পষ্টতই । এটি হ'ল আমরা তিনটি সঠিক কারণ খুঁজে পেয়েছি । হিসাবে , তাদের -stable অবসান জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ হয় , এবং যারা তারপর অবিকল অধিকার কারণ। $x$ $N_3$ $\Sigma^\ast$ $L$ $S_2\subset S_1\subset S_3$ $\cap$ ${S_1,S_2,S_3}$

তাই, আমাদের গুণকনির্ণয় সেট ফর্ম হল । $\mathcal{F}_L$ $(P_1,S_1),(P_2,S_2),(P_3,S_3)$

এখন, বাম জন্য , আমরা এই উত্তরটির শুরুতে সমীকরণগুলি ব্যবহার করি: $P_i$

P_{i} = ⋂_{x \in S_{i}} L x^{- 1}

$P_i = \bigcap_{x\in S_i} Lx^{-1}$ ।

জন্য , এই উৎপাদনের জন্য আমরা পেতে এবং জন্য , আমরা প্রাপ্ত । আপনি এটি পরিদর্শন করে দেখতে পারেন (আনুষ্ঠানিক প্রমাণ জানাতে খুব অলস হওয়ার সর্বাধিক জনপ্রিয় অজুহাত) বা ডান কোটিটিয়াসগুলি স্পষ্টভাবে গণনা করে (যা মোটামুটি সমান নয়, যদিও পুরোপুরি বামদণ্ডগুলি গণনা করার জন্য)। আমাদের ফ্যাক্টরিফিকেশনগুলি এভাবে কোথায় দেওয়া হয় $P_1$ $L \cup \Sigma^\ast a$ $P_2$ $\Sigma^\ast$ $P_3$ $L$ $\mathcal{F}_L = {u,v,w}$

$u = (P_1,S_1) = (\Sigma^\ast ab \Sigma^\ast \cup \Sigma^\ast a, \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast \cup b\Sigma^\ast)$
$v = (P_2, S_2) = (\Sigma^\ast, \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast)$ এবং
$w = (P_3, S_3) = (\Sigma^\ast ab \Sigma^\ast, \Sigma^\ast)$

সারসংক্ষেপ

সংক্ষিপ্তসার হিসাবে (আপনি যেমন একটি সাধারণ পদ্ধতি জিজ্ঞাসা করেছিলেন):

একটি ভাষা factorizations কম্পিউটিং এর জন্য , প্রথম বাম quotients গনা । $L$ $L$
আপনি তা করতে পারেন কাগজ ভাষায়, একটি ন্যূনতম DFA তে গঠন করে জন্য প্রতিটি রাষ্ট্রের জন্য এবং তারপর মধ্যে (ক Nerode-সমানতা শ্রেণী হিসেবে সংশ্লিষ্ট, একটি বাম ভাগফল করার জন্য) ভবিষ্যত গণনা মধ্যে সুতরাং, প্রতিটি রাজ্যের জন্য ভাষার একটি বাম ভাগফল প্রাপ্ত করে। $A$ $L$ $q$ $A$ $q$ $A$
এই উপায়ে প্রাপ্ত বাম সাধারণভাবে, সঠিক কারণগুলির একটি উপসেট দেয়। $S_R$
তারপরে S_R- এর স্থিতিশীল বন্ধকরণ গণনা করুন যা এর যে কোনও উপসেটের ছেদ তৈরি করে এবং প্রাপ্ত কোনও উপসেট যোগ করে যেতে । $\cap$ $S_R$ $S_R$ $S_R$
পূর্ববর্তী পদক্ষেপ থেকে সমস্ত এক সাথে সেট হ'ল তারপরে এর সঠিক কারণগুলির সেট । $S_R$ $L$
বাম উপাদানগুলি অর্জন করার জন্য, আমরা ডান কোটিয়েন্টগুলি গণনা করতে পারি । $L$
এই ফর্মের টি সেট রয়েছে জন্য । এখন, এগুলি আবার কেবলমাত্র চূড়ান্তভাবে অনেক, এবং , আমাদের কাছে and যদি থাকে এবং কেবলমাত্র সমস্ত ক্ষেত্রে , , সাথে ভাষার শব্দগুলিতে উপসর্গ করা যেতে পারে। $Ly^{-1}$ $y\in \Sigma^\ast$ $x\neq y$ $Ly^{-1} = Lx^{-1}$ $u\in \Sigma^\ast$ $ux \in L \Leftrightarrow uy \in L$
গনা , যারা রাজ্যের বিবেচনা মধ্যে যে এই ধরনের ভবিষ্যতে অন্তর্ভুক্ত করা হয় । এই রাজ্যের পেস্টগুলির ইউনিয়নটি একটি সঠিক ভাগফল গঠন করে। এই সমস্ত ভাগফল খুঁজুন। $Lx^{-1}$ $q$ $A$ $x$ $q$
আপনি জানেন যে আপনি যখন সম্পন্ন করেছেন যখন আপনি যথাযথ কারণগুলি হিসাবে অনেকগুলি বাম উপাদান খুঁজে পেয়েছেন।
যেমন এর left বাম এবং ডান উপাদানগুলির সন্ধান করুন । এটি । $X,Y$ $X\cdot Y \subseteq L$ $\mathcal{F}_L$

লম্বার্ডি এবং সাকারোভিচ দ্বারা নির্মিত ইউনিভার্সাল অটোমেটন ( লজিক এবং গেমস- এ টেক্সটসে , খণ্ড ২: লজিক এবং অটোমেটা: ইতিহাস ও দৃষ্টিভঙ্গি , 2007)

— কর্নেলিয়াস ব্র্যান্ড
সূত্র

নিস! আসুন নোট করুন যে নিয়মিত ভাষার জন্য নির্ধারিত এবং এই কারণগুলির , ক্লোজারের বৈশিষ্ট্যের কারণে নিয়মিত হয়ে যায়। সুতরাং আমরা কেবলমাত্র কার্যকরভাবে সারাংশের শেষ বুলেটটি গণনা করতে পারি না, তবে সর্বাধিক জোড়াও ফিল্টার করতে পারি।

A \subseteq B

$A \subseteq B$

X

$X$

Y

$Y$

— রাফেল