থেকে সরাসরি হ্রাস

আমরা জানি যে $st\text{-}non\text{-}connectivity$ হয় $\mathsf{NL}$ দ্বারা Immerman-Szelepcsényi উপপাদ্য উপপাদ্য এবং যেহেতু $st\text{-}connectivity$ হল $\mathsf{NL\text{-}hard}$ সেইজন্য $st\text{-}non\text{-}connectivity$ অনেক কিছু এক লগ-স্থান রূপান্তরযোগ্য করার $st\text{-}connectivity$ । কিন্তু এমন কোনও প্রত্যক্ষ / সম্মিলন হ্রাস আছে যা ট্যুরিং মেশিনগুলির কনফিগারেশন গ্রাফটি দিয়ে যায় না $\mathsf{NL}$ ?

$\mathsf{stConnectivity}$ (ওরফে): $stPATH$

নির্দেশিত গ্রাফ এবং উল্লম্ব এবং , $G$ $s$ $t$

ভার্টেক্স থেকে ভার্টেক্স পর্যন্ত কোনও নির্দেশিত পথ রয়েছে ? $s$ $t$

ব্যাখ্যা:

আপনি ধরে নিতে পারেন একটি গ্রাফটি তার সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রদত্ত হয়েছে (তবে এটি প্রয়োজনীয় নয় যেহেতু গ্রাফের স্ট্যান্ডার্ড উপস্থাপনা একে অপরের সাথে লগ-স্পেস রূপান্তরিত হয়।)

এটা তোলে প্রমাণ প্যাকমুক্ত করা সম্ভব এর নেস এবং এটি প্রমাণ সরাতে তাই প্রমাণ একটি থিম হিসাবে উপপাদ্য ব্যবহার করে না । তবে এটি এখনও একই নির্মাণ মূলত। আমি যা খুঁজছি এটি এটি নয় , আমি ধারণামূলকভাবে সরাসরি হ্রাস চাই। কেসের সাথে একটি উপমা দেই । আমরা বিভিন্ন হ্রাস করতে পারি $\mathsf{NL\text{-}hard}$ $st\text{-}connectivity$ $\mathsf{NP}$ সত্য যে তারা আছে ব্যবহার করে একে অপরের সাথে সমস্যার সেইজন্য কমাতে এবং অন্যান্য সমস্যার হ্রাস করা হয়। এবং আমরা সরাসরি হ্রাস পেতে এই দুটি হ্রাসকে আনপ্যাক এবং একত্রিত করতে পারি। তবে প্রায়শই একটি ধারণাগতভাবে আরও সহজ হ্রাস দেওয়া সম্ভব যা এই মধ্যবর্তী পদক্ষেপের মধ্য দিয়ে যায় না (আপনি এটি উল্লেখ করে মুছে ফেলতে পারেন, তবে এটি এখনও ধারণাগতভাবে রয়েছে)। উদাহরণস্বরূপ, কমাতে বা $\mathsf{NP\text{-}complete}$ $\mathsf{NP}$ $SAT$ $SAT$ $HamPath$ বা থেকে না আমরা বলতে না হয় এবং সেইজন্য হ্রাস যেহেতু হল । গ্রাফের হ্যামিলটোনীয় পথ থাকলে গ্রাহকের পক্ষে একটি সহজ স্বজ্ঞাত সূত্রটি আমরা সন্তুষ্ট করতে পারি। আরেকটি উদাহরণ, আমাদের অন্যান্য সমস্যা থেকে হ্রাস আছে $VertexCover$ $3\text{-}Coloring$ $SAT$ $HamPath$ $\mathsf{NP}$ $SA$ $SAT$ $\mathsf{NP\text{-}hard}$ থেকে যার উপর নির্ভর করে না এর নেস যেমন, , $\mathsf{NL}$ $st\text{-}Connectivity$ $\mathsf{NL\text{-}complete}$ $st\text{-}Connectivity$ $Cycle$ , ইত্যাদি, এগুলি ইনপুট গ্রাফটিতে সংশোধন জড়িত (এবং কোনও সমাধানকারী ট্যুরিং মেশিনকে বোঝায় না)। $StronglyConnected$

এটির জন্য এটি কেন করা যায় না তার কোনও কারণ আমি এখনও দেখতে পাচ্ছি না। আমি এই ধরনের হ্রাস খুঁজছি।

এটি এমনটি হতে পারে যে এটি সম্ভব নয় এবং ধারণাটিগতভাবে কোনও হ্রাস ness ফলাফলের মধ্য দিয়ে যেতে পারে। তবে আমি দেখতে পাচ্ছি না কেন এটি হওয়া উচিত, কেন পরিস্থিতি মামলার থেকে আলাদা হবে । স্পষ্টতই আমার প্রশ্নের একটি নেতিবাচক উত্তর দেওয়ার জন্য আমাদের ধারণাটি কখন প্রমাণিত হয় সে সম্পর্কে আরও ফর্মাল হওয়া দরকার $\mathsf{NL\text{-}hard}$ $\mathsf{NP}$ আরেকটি প্রমাণ অন্তর্ভুক্ত করুন (যা প্রমাণ তত্ত্বের প্রশ্ন যা আফাইক একটি সন্তোষজনক উপায়ে নিষ্পত্তি না করে)। তবে মনে রাখবেন যে একটি ইতিবাচক উত্তরের জন্য এই ধরণের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাটির প্রয়োজন নেই এবং আমি আশা করছি যে এটির ক্ষেত্রেই এটি ঘটেছে। (আমি আরও নিখরচায় সময় পেলে আমি কীভাবে বিশ্বস্ত উপায়ে জিজ্ঞাসা করছি তা আনুষ্ঠানিকভাবে কীভাবে করব সে সম্পর্কে আমি চিন্তা করব। মূলত আমি এমন একটি হ্রাস চাই যা আমরা জানতাম না যে জন্য সমস্যাটি সম্পূর্ণ ।) $\mathsf{NL}$

Immerman-Szelepcsényi প্রমাণ উপপাদ্য জরিমানা ব্যবহার ব্যবহার এর নেস এবং একটি কনফিগারেশন গ্রাফ মেশিন কি আমি এড়াতে চান হয়। $\mathsf{NL\text{-}complete}$ $stPATH$ $\mathsf{NL}$

complexity-theory reductions space-complexity

— Kaveh
সূত্র

@ রাফেল, আমি জটিলতার ক্লাসের মতো গাণিতিক ধারণার নামগুলির জন্য আলাদা ফন্ট ব্যবহার করতে চাই, যেমন সাহিত্যের প্রচলিত অনুশীলন। দয়া করে এগুলি সরাবেন না।

— কাভেহ

দুঃখিত, তবে এটি ভয়ঙ্কর দেখাচ্ছে । আপনার যদি অবশ্যই, একটি আলাদা ফন্ট ব্যবহার করুন তবে তারপরে অনুগ্রহ করে সামঞ্জস্য করুন: আপনি mathsfস্ট্যান্ডার্ড ম্যাথ ম্যাথ ফন্টের সাথে মিশ্রিত করুন , এবং এমনকি এক কথায় বিভিন্ন ফন্ট ব্যবহার করুন!

— রাফেল

@ রাফেল, আমি এগুলি একটি ধারাবাহিক উপায়ে ব্যবহার করছি। ম্যাথসএফ জটিলতা শ্রেণীর পার্থক্য করার জন্য ব্যবহৃত হয়। আমি "সম্পূর্ণ" এবং "শক্ত" বাইরে টেক্সট অংশে নিয়ে যাওয়ার বিষয়ে চিন্তা করব (এর সাথে সমস্যাটি হ'ল এটি বিভিন্ন ফন্ট ব্যবহার করে তাদের টাইপ করবে))

— কাভেঃ

"ধারাবাহিক" "টাইপোগ্রাফিকভাবে আনন্দদায়ক" সমান নয়। (তদ্ব্যতীত, এখানে পার্থক্যটির সত্যই প্রয়োজন হয় না , বিশেষত জটিলতা শ্রেণি এবং সমস্যাগুলির মধ্যে একটি নয় (যা যন্ত্রণা যোগ করে কাঁচা গণিতের ফন্টে ভয়ঙ্কর দেখায়)))।

— রাফেল

@ রাফেল, অবশ্যই, আমি এটি দাবি করিনি। আপনি যেভাবে আমি তাদের ব্যবহার করি "অসম্পূর্ণতা" নিয়ে আপনি আপত্তি করেছিলেন, আমি কেবল উল্লেখ করতে চেয়েছিলাম যে ঘটনাটি এটি নয়। আমার স্টাইলটি হ'ল

মতো গাণিতিক ধারণার নামগুলি গণিত / পাঠ্যর বাকী অংশ থেকে আলাদা করা এবং আমি এটি একটি ধারাবাহিক উপায়ে করতে চাই। যাইহোক, আমি শৈলী সংরক্ষণের সময় কীভাবে এটি টাইপোগ্রাফিকভাবে আরও সুন্দর করা যায় সে সম্পর্কে চিন্তা করব।

P

$\mathsf{P}$

— কাভেহ

It is possible, if messy, to convert the proof of the Immerman-Szelepcsényi theorem to the reduction you want. There is absolutely no need to use the NL-completeness of st-connectivity.

$G=(V,E),s,t$ $G'=(V',E'),s',t'$ $V'$ $d$ $s$ $d-1$ $d-1$ counted so far, the current vertex we're guessing if it has distance at most $d-1$ , the number of vertices of distance at most $d$ counted so far, the current vertex we're determining whether it has distance at most $d$ . The minor vertices handle the part where we guess a path of length at most $d-1$ to a vertex which we guess to be of distance at most $d-1$ . Edges that involve showing the vertex $t$ is reachable from $s$ are dropped. For each vertex which we're testing at the current distance, we only move forward to the next vertex if we have accounted for all vertices of smaller distance. When moving from distance $d$ to distance $d+1$ , we copy the requisite information. The starting vertex $s'$ accounts for the fact that $s$ is the only vertex of distance zero. The ending vertex $t'$ is pointed at by all vertices representing the fact that the process has finished up to (and including) distance $n-1$ , where $n=|V|$ .

As you can see, it will be quite messy to write everything in full and correctly, but definitely possible. No overt use of NL-completeness was made, in that we never use the configuration graph of any NL machine. That's not needed, since we have something better than the configuration graph - the input instance itself.

— Yuval Filmus
সূত্র