MIN-2-XOR-SAT এবং MAX-2-XOR-SAT: তারা এনপি-হার্ড?

Question

$\text{MIN-2-XOR-SAT}$ এবং $\text{MAX-2-XOR-SAT}$ জটিলতা কী ? তারা কি পি? তারা কি এনপি-হার্ড?

এটিকে আরও সুনির্দিষ্টভাবে আনুষ্ঠানিক করতে, আসুন

$$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_{i}^{n}C_i,$$

যেখানে $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_m)$ এবং প্রতিটি ধারা $C_i$ রূপের $(x_i \oplus x_j)$ বা $(x_i \oplus \neg x_j)$ ।

$\text{2-XOR-SAT}$ সমস্যার কোনো নিয়োগ খুঁজে পেতে $\mathbf{x}$ মাফিক $\Phi$ । এই সমস্যাটি $P$ , কারণ এটি লিনিয়ার সমীকরণ মড $2$ একটি সিস্টেমের সাথে সম্পর্কিত ।

$\text{MAX-2-XOR-SAT}$ সমস্যার কোনো নিয়োগ খুঁজে পেতে $\mathbf{x}$ যে ক্লজ যে সন্তুষ্ট করছে সংখ্যা করা সম্ভব হয়। $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ সমস্যার কোনো নিয়োগ খুঁজে পেতে $\mathbf{x}$ যে ক্লজ যে সন্তুষ্ট করছে সংখ্যা ছোট। এই সমস্যাগুলির জটিলতাগুলি কী কী?

এমআইএন বা ম্যাক্স-ট্রু -2-এক্সওর-স্যাট এনপি-হার্ড দ্বারা অনুপ্রাণিত ?

Answer 1

একটি পুরানো পোস্ট উত্তর দেওয়ার জন্য দুঃখিত

কোনও মনোটোন -২-এক্সওর-স্যাট (সমস্ত ধারাটি ) উদাহরণটি সন্তুষ্টযোগ্য কিনা তা নির্ধারণের সমস্যাটি গ্রাফ দ্বিপক্ষীয় কিনা তা নির্ধারণের সমস্যা হ্রাস করা যেতে পারে, দেখুন এটি ।$({x_i}\oplus x_j)$

এটি করার জন্য আমরা সূত্রের প্রতিটি আক্ষরিকের জন্য নোডের সাথে একটি গ্রাফ তৈরি করি এবং আমরা প্রতিটি আক্ষরিককে একই ধরণের হলে অন্যটির সাথে সংযুক্ত করি (প্রান্তগুলি ক্লজ হয়)$G$

এই ক্ষেত্রে:

যদি আমাদের কাছে একটি অসন্তুষ্টিজনক সূত্র থাকে যা $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_3) \wedge({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_1}\oplus x_4)$

আমাদের এই জাতীয় গ্রাফ রয়েছে:

যে দ্বিপক্ষীয় নয়

এখানে তিনটি ধারা রয়েছে যা সন্তুষ্টযোগ্য এবং তাই আমাদের কেবল একটি প্রান্তটি অপসারণ করতে হবে

এখন আমরা নির্ণয় সমস্যা কমে যায় আমরা সর্বোচ্চ দ্বিপাক্ষিক subgraph সঙ্গে জানতে পারেন যদি আমরা সন্তুষ্ট করতে পারেন নির্ধারণের সমস্যার প্রান্তবিন্দু ট একটি একঘেয়েমি-MAX টি-2XOR-স্যাট সূত্রে ক্লজ দেখুন এই । এবং সর্বাধিক দ্বিপক্ষীয় সাবগ্রাফ সমস্যাটি সর্বোচ্চ কাটের সমান$k$$k$

হ্রাস করার জন্য আমরা প্রতিটি প্রান্তের জন্য কেবল একটি নতুন আক্ষরিক তৈরি করি এবং আমরা দুটি প্রান্তকে সংযুক্ত প্রতিটি প্রান্তের জন্য একটি ধারা তৈরি করি

এই ক্ষেত্রে:

আমাদের এই গ্রাফ আছে,

আমরা ফলোলিং সূত্র তৈরি করি $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_4) \wedge({x_2}\oplus x_4) \wedge ({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_4}\oplus x_5) \wedge ({x_3}\oplus x_5)$

সুতরাং, আমরা যদি এমন একটি অ্যাসাইনমেন্ট খুঁজে পাই যা ক্লজগুলিকে সন্তুষ্ট করে যার অর্থ হ'ল কমপক্ষে কে প্রান্ত সহ একটি দ্বিপক্ষীয় সাবগ্রাফ রয়েছে ।$k$$k$

Comments

আপনার নিস্পত্তি স্পষ্ট করা উচিত: যেহেতু MAX-CUT এনপি-হার্ড, MAX-XORSAT হ্রাস করার অর্থ এটি এটি এনপি-হার্ডও।

— অ্যান্টিমনি

Answer 2

যেখানে প্রতিটি ধারাটি কেবল ( x i ⊕ x) হিসাবে দেওয়া হয়$(x_i\oplus x_j)$$x_i$$x_i\oplus x_j$$x_i\neq x_j$$x_i\oplus x_j$ সত্য যদি সম্পর্কিত গ্রাফিকগুলিতে সংশ্লিষ্ট উল্লম্বগুলি বিভিন্ন বর্ণ নির্ধারিত করা থাকে।

যদি গ্রাফের সমস্ত উল্লম্ব 2 টি রঙ ব্যবহার করে রঙিন করা যায় এবং সাধারণ প্রান্ত ভাগের সাথে দুটি উল্লম্বগুলির কোনওটিকেই একই রঙ বরাদ্দ করা না হয় তবে সমীকরণটি সন্তুষ্টযোগ্য।

তবে গ্রাফটি দ্বি-বিভাগীয় যদি এটি একটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ হয়। এবং গ্রাফ দ্বিপক্ষীয় কিনা তা নির্ধারণ করা বহুপক্ষীয় সময়ে করা যেতে পারে। সুতরাং সমস্যাটি পি-তে রয়েছে, কারণ যদি আমরা বহুবচনীয় সময়ে নির্ধারণ করতে পারি যে গ্রাফটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ হয় তবে এটি দ্রবণযোগ্য, অন্যথায় এটি দ্রবণযোগ্য নয়।

Comments

তবে সমস্যার বিবৃতিতে উভয় ধারা এবং ( x k ⊕ ¬ x l ) থাকতে পারে । আপনি কীভাবে দ্বিতীয় ধরণের ধারাগুলি পরিচালনা করবেন তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। আপনি কি এমন একটি বিশেষ কেস সমাধান করার চেষ্টা করছেন যেখানে দ্বিতীয় ধরণের কোনও ধারা নেই? অন্যকিছু? সম্ভবত আপনি কে , এল , প্রতিটি জোড় ভেঙে / একত্রিত করতে পারেন$(x_i \oplus x_j)$$(x_k \oplus \neg x_l)$$k,l$$(x_k \oplus \neg x_l)$

এটি আপনার উত্তর নিয়ে আমাকে আরও গুরুতর সমস্যার দিকে নিয়ে আসে। সূত্রটি সন্তুষ্টিজনক কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য সমস্যাটি নয়; সমস্যাটি হ'ল এমন একটি অ্যাসাইনমেন্ট শনাক্ত করা যা সর্বাধিক / সর্বনিম্ন সংখ্যার শর্তাদি পূরণ করে। আপনার অ্যালগরিদম কেবল সূত্রটি সন্তুষ্টযোগ্য কিনা তা পরীক্ষা করে। সুতরাং এটি 2-এক্সওর-স্যাট সমাধান করে, তবে এটি এমআইএন-2-এক্সওর-স্যাট বা ম্যাক্স-2-এক্সওর-স্যাট সমাধান করে না - তবে আমি ইতিমধ্যে জানলাম যে 2-এক্সওর-স্যাট পি-তে রয়েছে, যেমনটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে প্রশ্নটি. আমি কিছু ভুল বুঝেছি?

— ডিডাব্লু

$x_i\oplus x_k$

— ক্লজটি

তবে আমি এখনও দেখছি না এটি কীভাবে আমার দ্বিতীয় মন্তব্যটিকে সম্বোধন করে। আপনি যে সমস্যার বিষয়ে জিজ্ঞাসা করছিলাম না তার একটি বিশেষ কেস সমাধান করেছেন। সংক্ষেপে, এই উত্তরটি আমার জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নের উত্তর দেয় না।

— DW