ডোমিনোসা কি এনপি-হার্ড?

Question

ডোমিনোসা একটি অপেক্ষাকৃত নতুন ধাঁধা গেম। এটি একটি গ্রিডে প্লে করা হয় । গেমটি শুরু হওয়ার আগে, ডোমিনো হাড়গুলি গ্রিডে স্থাপন করা হয় (একটি নিখুঁত টাইলিং গঠন করে )। পরবর্তী পদক্ষেপে, ডোমিনো হাড়গুলি গোপন করা হয়, কেবল প্রকাশিত সংখ্যাগুলি রেখে। গেমের উদ্দেশ্য হ'ল ডমিনো হাড়ের মূল ব্যবস্থাটি পুনরুদ্ধার করা। আপনি গেমটি এখানে খেলতে পারেন: http : //www.pहेl-dinosa.com/ :( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , … , ( এন , এন $(n+1)\times(n+2)$$\left(0,0\right),\left(0,1\right),\ldots,\left(n,n\right)$

নিয়মাবলী:

নিয়ম সহজ। আপনাকে গ্রিডে থাকা সমস্ত ডোমিনোজের অবস্থান সন্ধান করতে হবে। একটি ডোমিনো সংখ্যার এক জোড়া। আপনার প্রতিটি জুটির মধ্যে একটি করে থাকতে পারে।

আমার কাছে এমন বহু বহিরাগত আলগোরিদিম রয়েছে যা ধাঁধার তুলনামূলকভাবে ছোট একটি অংশ সমাধান করে। আমি এটিও দেখতে পারি যে আদর্শ ডোমিনোসা গ্রিডগুলির কমপক্ষে সমাধান রয়েছে।$2^{\frac{n}{2}+o\left(n\right)}$

ডোমিনোসা কি এনপি-হার্ড?

Comments

"ধাঁধাটি সহজেই একটি স্যাট বা আইএলপি সমস্যা হ্রাস করতে পারে।" এনপি-সম্পূর্ণতা প্রমাণ করার জন্য, আপনি কি অন্যভাবে চাইবেন না?

— ডেনিস মেনগ

@ ডেনিসমেনগ প্রশ্নের মধ্যে উল্লিখিত হ্রাসগুলির মূল বিষয়টি হ'ল সমস্যাটি এনপি-তে রয়েছে তা প্রতিষ্ঠিত করা। সুতরাং যা বাকি আছে তা প্রমাণ করার জন্য এটি এনপি শক্ত। ঘটনাচক্রে, সমস্যাটি এনপি-তে রয়েছে তা দেখার জন্য কারও হ্রাসের প্রয়োজন হয় না। ডেমোমসের ব্যবস্থা নিজেই সমাধানযোগ্যতার এক বহু-আকারের সাক্ষী।

আমি ধরে নিচ্ছি যে এনপি-পূর্ণতা ইস্যুতে সমস্যাটি হ'ল, সংখ্যার একটি বিন্যাসের ভিত্তিতে, এটি কি ডেমোমসের ব্যবস্থা থেকে আসে। যদি সমস্যাটি প্রকৃতপক্ষে ডেমোবসের ব্যবস্থা প্রদর্শিত হয় (যখন এটি বিদ্যমান থাকে), তবে সমস্যাটি কোনও সিদ্ধান্তের সমস্যা নয় এবং "এনপি সম্পূর্ণ" অর্থবোধ করে না।

একটি প্রদত্ত: @AndreasBlass তোলা যায় বৃহত্তর সমস্যা বিবেচনা করতে পারে $k$ উপাদান থেকে dominos এর সাব-সেট নির্বাচন $1$ থেকে $n$ , এবং একটি গ্রাফ $G$ সঙ্গে $2k$ ছেদচিহ্ন লেবেল $1$ থেকে $n$ নির্ধারণ তা দেওয়া dominos দিয়ে এটি ঢেকে দিন করা সম্ভব। যদি এই সমস্যাটি পি তে থাকে তবে মূল টাইলিংটি পুনরুদ্ধার করার জন্য একটি পি-টাইম অ্যালগরিদম রয়েছে, কারণ আপনি গ্রিডটি সম্পন্ন করা সম্ভব কিনা তা আপনি পি-টাইমে একটি প্রান্তটি সরিয়ে চেষ্টা করতে পারেন।

জেনারেল্ড মাল্টি স্কোলেম সিক্যুয়েন্সের এনপি-সম্পূর্ণতা বলা জি নর্ডের একটি গবেষণাপত্র অনুসারে, নিম্নলিখিত অনুরূপ সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ। ইন্সটান্স: একটি গ্রাফ $G=(V,E)$ , অসংলগ্ন করা সেটে প্রান্ত একটি পার্টিশন: $E_{1},E_{2},...,E_{m}, |m|\ge|V|/2$ সহ $|E_{i}|\le2,\ i=1,\ldots,m$যেমন একই লেবেলের সাথে কোনও দুটি প্রান্ত একটি শীর্ষবিন্দু ভাগ করে না। প্রশ্ন: একটি উপসেট $M\subset E$ সঙ্গে $|M|=|V|/2$ যেমন এম এর কোনও দুটি প্রান্ত একটি সাধারণ ভার্টেক্স ভাগ করে না এবং এম এর প্রতিটি থেকে i টির কমপক্ষে একটি প্রান্ত থাকে , i = 1 , … , $E_{i},\ i=1,\ldots,m$ ?

— ইওভা বার সিনাই

Answer 1

দ্রষ্টব্য: এটি আমার অন্যান্য উত্তরের ধারাবাহিকতা এবং সংশোধন ।

হ্রাস নিয়ে সমস্যা

সিদ্ধান্তের সমস্যাটি স্মরণ করুন:

সেখানে একটি নিখুঁত একটি একটি প্রদত্ত আচ্ছাদন টালি দ্বারা আচ্ছাদন নেই $(n+1) \times (n+2)$ সঙ্গে গ্রিড $n$ অনন্য টাইল?

সুতরাং একটি $(n+1) \times (n+2)$ গ্রিডের জন্য আমরা কেবল $n$ ভেরিয়েবল ব্যবহার করতে পারি ।

কিন্তু:

• আমাদের হ্রাসের জন্য অনেকগুলি অনন্য পরিবর্তনশীল প্রয়োজন, চেয়ে অনেক বেশি $\mathcal O(n)$।
• তদুপরি, আমাদের তারগুলি খোলা সমাপ্ত, যা বাড়ে:
  • আমরা কীভাবে জানি যে আমরা খোলা জায়গাগুলি টাইল করতে পারি?

প্রথম সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা কৃত্রিমভাবে গেম-বোর্ডকে অনেক বড় করে তুলি; মূলত আমরা আমাদের প্রয়োজনীয় ভেরিয়েবলের সংখ্যার সমান তৈরি করি, তারপরে আকারের একটি গ্রিড তৈরি করব ( n + 1 ) × ( n + 2 ) , এবং আমাদের গ্রিডটি নীচের বাম কোণে রাখি। এটি চতুষ্কোণিকভাবে আঘাত হানাবে।$n$$(n+1)\times(n+2)$

দ্বিতীয় সমস্যার জন্য, আমাদের গ্যাজেটগুলিকে কিছুটা পুনর্বিবেচনা করতে হবে।

নিয়ম অনুসারে আমরা বোর্ডের বাকী অংশ সফলভাবে টাইল করতে পারি তা প্রমাণ করার জন্য এটি কিছুটা দু: খজনক মনে হতে পারে। সুতরাং আমরা একই কৌশলের সঙ্গে চলতে শুরু এক আসলে আকারের গেম-বোর্ড জেনারেট করতে ব্যবহার করেন :$(n+1)\times(n+2)$

প্রথমে আমরা সম্ভাব্য সমস্ত টাইলসের একটি সেট তৈরি করি। এই সমস্ত টাইলস বোর্ডে রাখতে হবে। তারপরে আমরা টাইলগুলি সরিয়ে, এবং তাদের স্কোয়ারের পিছনে ছেড়ে যাই।

তবে, আমাদের গ্যাজেটগুলি কোনও নির্দিষ্ট সেট টাইলস স্থাপনের গ্যারান্টি দেয় না; টাইলস স্থাপন রাজ্যের উপর নির্ভর করে। সুতরাং গ্যারান্টি দেওয়ার জন্য আমাদের অবশ্যই গ্যাজেটগুলি সাবধানতার সাথে সংশোধন করতে হবে কোন রাজ্যটি চয়ন করা হোক না কেন, নির্দিষ্ট টাইলস অপসারণের হবে।

তারপরে আমাদের গ্যাজেটগুলির উপরে যাই।

তারের এবং ক্লজ-গেট দুটি কারণে সমস্যাযুক্ত।

1. আমরা জানি না যে তারের বা ক্লজ-গেটের চারপাশের স্কোয়ারগুলি সঠিকভাবে টাইল করা যেতে পারে; সর্বোপরি, কিছু তারের বাম দিকে, অন্যকে ডানদিকে চাপানো যেতে পারে এবং অবশিষ্ট সাদা-স্পেস স্কোয়ারগুলি টাইলিং অপ্রয়োজনীয় হয়ে যায়। আমরা এই সমস্যাটিকে "প্রবাহ" সমস্যা হিসাবে উল্লেখ করব।
2. টাইলস সেট থেকে কোন টাইলগুলি সরিয়ে নেওয়ার কোনও উপায় নেই ; এক রাজ্যে, তারের বা ক্লজ-গেটে স্কোয়ারগুলির একটি সেট, টাইল করা হবে, অন্য একটি রাজ্যে, সম্পূর্ণ আলাদা স্কোয়ারের সেট টাইল করা হবে।

এই সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য:

• প্রথমত, আমরা সমস্ত সম্ভাব্য টাইলসের একটি সেট তৈরি করি। এই সমস্ত টাইলস বোর্ডে স্থাপন করতে হবে; আমরা বোর্ডে রাখার সাথে সাথে আমরা সেট থেকে টালি সরিয়ে ফেলব। যদিও আমরা প্রথমে জানি না , যেহেতু আমরা এখনও সূচনার সম্পূর্ণ বিবরণ দিতে পারি নি, আমরা প্রয়োজনীয় হিসাবে এন বাড়ানোর সাথে সাথে সমস্ত নতুন টাইল সম্ভাবনা যুক্ত করতে পারি । এই সেট থেকে আমরা সমস্ত টাইল সরিয়ে ফেলার গ্যারান্টিযুক্ত অবশ্যই থাকতে হবে (কমপক্ষে, সূত্রটি সন্তুষ্টিজনক হলে স্থানযোগ্য হওয়ার নিশ্চয়তা থাকতে হবে)। আমরা টাইল-সেট থেকে টাইল সরিয়ে, টাইল-সেট থেকে টাইলটিকে "স্রাব" করতে, গেম বোর্ডে রাখার আমাদের বাধ্যবাধকতাটি সঞ্চারিত করার জন্য$n$$n$
• নির্দিষ্ট টাইলস অপসারণের গ্যারান্টি দেওয়ার জন্য আমাদের গ্যাজেটগুলি সাবধানতার সাথে ডিজাইন করতে হবে, কোন রাজ্যই নির্বাচন করা হোক না কেন।
• আমাদের অবশ্যই আমাদের গ্যাজেটগুলি বন্ধ করতে হবে, যাতে তারা বোর্ডের চারপাশে টাইলসগুলি তাদের রাজ্যের উপর নির্ভর করে ঠেলা না দেয়; বরং তাদের সমস্ত রাজ্যের অবশ্যই নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট সংজ্ঞাযুক্ত অঞ্চল গ্রহণ করতে হবে।
  • বিকল্পভাবে, তাদের সমস্ত রাজ্যের অবশ্যই একটি ভাল সংজ্ঞায়িত অঞ্চল গ্রহণ করতে সক্ষম হওয়ার নিশ্চয়তা থাকতে হবে ; এটি একটি সন্তোষজনক টাইলিংয়ের গ্যারান্টি দেয় তবে কোনও নির্দিষ্ট টাইলিংয়ের নিশ্চয়তা দেয় না। এইভাবেই ডোমিনোসা খেলা তৈরি হয়:
    • প্রথমে টাইলস একটি সেট তৈরি করা হয়;
    • তারপরে টাইলগুলি এলোমেলো কনফিগারেশনে রেখে দেওয়া হবে,
    • প্রতিটি টাইল স্থাপন করা হয়, এটি টালি সেট থেকে সরানো হয়।
    • তারপরে টাইলগুলি তাদের স্কোয়ারের পিছনে রেখে বোর্ড থেকে সরানো হবে।
    • এই গ্যারান্টি নয় যে অভিপ্রেত কনফিগারেশন হবে নির্বাচন করা যেতে,
    • পরিবর্তে, এটি গ্যারান্টি দেয় যে উদ্দেশ্যে করা কনফিগারেশনটি চয়ন করতে সক্ষম , এবং এইভাবে একটি সমাধান বিদ্যমান। আমরা এখানে একই জিনিস করতে পারি।
• সূত্রের সমস্ত গ্যাজেটগুলি স্থাপনের পরে, ডিফল্টরূপে অনন্য স্কোয়ার স্থাপনের পরিবর্তে , সমস্ত "সাদা স্থান" -এর পরিবর্তে, আমরা নিশ্চিত করে নিই যে শ্বেত স্পেসটি একটি মাত্রা সহ একটি আয়তক্ষেত্রাকার ক্ষেত্র, অথবা একটি দ্বিমাত্রিকের সাথে সাদা স্থানকে আয়তক্ষেত্রগুলিতে ভেঙে ফেলতে হবে , এবং আমরা টাইলসেটে বাকী টাইলস সহ কেবল সাদা স্থানটি টাইল করি।${\star}$
• সেট থেকে সমস্ত টাইলস রাখার পরে, আমরা জানি যে সবকিছু ঠিকঠাক।
  • কিছু টাইলস স্পষ্টত স্থানযোগ্য, যেমন দেয়ালগুলির মধ্যে রয়েছে, অন্যরা কেবল তখনই প্লে করতে পারবেন যদি সূত্রটি সন্তুষ্ট হয়, গ্যাজেটের মধ্যে সম্পর্কের প্রকৃতির কারণে।
• তারপরে আমরা টাইলগুলি সরিয়ে, এবং তাদের স্কোয়ারের পিছনে ছেড়ে যাই।

তারপরে আমাদের গ্যাজেটগুলির উপরে যাই।

গ্যাজেট জোর করে

আমরা প্রতিটি বিল্ডিং ব্লকগুলিকে নিজের সাথে জুড়ি দেওয়া যায় না তা নিশ্চিত করে একটি স্বেচ্ছাসেবী সংখ্যা তৈরি করতে পারি।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন আমরা বলি যে আমরা একটি টাইল চাপাতে চাই , যাতে আমরা 1 ⋆ একটি বিল্ডিং ব্লক হিসাবে ব্যবহার করতে পারি । (নোট, 1 ⋆ একটি অবাধ পরিবর্তনশীল, যা আমরা নিজেই জুড়ি হিসাবে জোর করতে চান, অগত্যা না বিল্ডিং ব্লক আমরা ব্যবহৃত হিসাবে $\mathbf{({1}{\star},{1}{\star})}$$\mathbf{1}{\star}$${1}{\star}$$1$ মান পূর্বে)

গ্যারান্টি যে আমাদের -building-ব্লক মজুদ ( 1 ⋆ , 1 ⋆ ) , আমরা এটা নিম্নলিখিত কনফিগারেশন নীচে প্রাচীর বিরুদ্ধে স্থাপন করবে: আমরা সংরক্ষিত সংখ্যা স্থাপন করবে, এটি কল দিন 1 ⋆ একটি মত প্রাচীর বিরুদ্ধে আপ-ট্যাক (যেমন আকৃতির ⊥ ); প্রাচীরের বিপরীতে 3 , এবং মাঝখানে দ্বিতীয় সারিতে একটি। তারপর আমরা অন্য দুটি সংখ্যার স্থাপন করবে, তাদের কল দিন 2 ⋆ এবং 3 ⋆ ; এগুলি এই গ্যাজেটের কাছে অনন্য। আমরা এগুলি বাম এবং ডানদিকে 1 top উপরে $\mathbf {1}{\star}$$\mathbf{({1}{\star},{1}{\star})}$$\mathbf{1}{\star}$$\bot$$3$${\mathbf 2}{\star}$${\mathbf 3}{\star}$$\mathbf{1}{\star}$ ।

নীচে চিত্রিত, ভাগ করা কালো সীমানা গেম বোর্ডের নীচে, বাম থেকে ডানে বর্ণনা description

• গ্যাজেটের কনফিগারেশন। প্রতি এবং 3${\mathbf 2}{\star}$${\mathbf 3}{\star}$ এখানে এই গ্যাজেটে অনন্য।
• কেন্দ্র টালি 3 সম্ভব রাজ্যের ।$\mathbf{1}{\star}$

এই কাজ করার পর, আমরা নিশ্চিত করতে পারে না যে, আমাদের গ্যাজেট পারেন , টাইল একটি নির্দিষ্ট সেট দিয়ে টালিকৃত করা যখন নিশ্চয়তা আমাদের গ্যাজেট আবশ্যক বাধ্য জোড়া।$\mathbf{({1}{\star},{1}{\star})}$

• আমরা জানি যে ঘটতে হবে, কারণ নিম্ন মধ্যম 3 সম্ভব টালি দ্বারা আচ্ছাদন রাজ্যের 1 ⋆ যেমন, টালি ( 1 ⋆ , 1 ⋆$\mathbf{({1}{\star},{1}{\star})}$$\mathbf{1}{\star}$$\mathbf{({1}{\star},{1}{\star})}$ , উপরোক্ত ডানে চিত্রে দেখানো হয়েছে।
• অবশিষ্ট টাইল করতে যেমন টালিকৃত করা এবং ( 1 ⋆ , 3 ⋆ ) , গ্যাজেট আচ্ছাদন। সুতরাং, আমরা আমাদের গ্লোবাল টাইল সেট থেকে এই টাইলগুলি সরাতে পারি। নীচে সচিত্র।$({1}{\star},{2}{\star})$$({1}{\star},{3}{\star})$

বাম থেকে ডানে বর্ণনা:

• বাম, শীর্ষ: বাম রাজ্য, বাম, নীচে: অবশিষ্ট স্কোয়ারগুলির একটি বৈধ টাইলিং।
• মধ্য, শীর্ষ: মধ্য রাজ্য, মধ্য, নীচে: অবশিষ্ট স্কোয়ারগুলির একটি বৈধ টাইলিং।
• ডান, শীর্ষ: ডান অবস্থা, ডান, নীচে: অবশিষ্ট স্কোয়ারগুলির একটি বৈধ টাইলিং।

মনে রাখবেন, যে অবশিষ্ট বর্গের টালি দ্বারা আচ্ছাদন নয় বাধ্য , যেহেতু তারা পরিবর্তে নিকটবর্তী প্রতিবেশীদের সঙ্গে টালি করতে কিন্তু যেহেতু এটি রাজ্যের সব খেলা-বোর্ড একটি বৈধ টালি দ্বারা আচ্ছাদন, আমরা তাদের কাছ থেকে অপসারণ করতে পারেন টাইলস সেট করুন এবং ধরে নিন যে সেগুলি ঠিক সেইভাবে টাইল হবে। যেহেতু আমরা জানি যে বৈধ সম্ভাব্য টাইলিং রয়েছে তাই সূত্রটি সন্তুষ্ট হলে আমাদের কমপক্ষে একটি গেম বোর্ডের সম্ভাব্য টাইলিং রয়েছে। এগুলি এইভাবে টাইল করা হবে এমন কোনও গ্যারান্টি না থাকলেও, গ্যারান্টি রয়েছে যে ( 1 ⋆ , 1 ⋆ ) টাইলটি বাধ্য করা হবে।$\mathbf{1}{\star}$$\mathbf{({1}{\star},{1}{\star})}$

দ্রষ্টব্য: আপনি যদি এতে সন্তুষ্ট না হন, বা "বনাম টাইল করতে সক্ষম হচ্ছেন" "টাইল করতে বাধ্য হচ্ছেন" এর পার্থক্যে বিভ্রান্ত হন তবে আপনি কেবল গ্যাজেটের চারপাশে একটি প্রাচীর স্থাপন করতে পারেন , আমরা একইভাবে ক্লজ-গ্যাজেটের জন্য নীচে একটি 3 × 2 প্রাচীর তৈরি করুন।$3\times 2$$3\times 2$

এই গ্যাজেটটি বন্ধ নেই, কারণ এটি হওয়ার দরকার নেই (তবে আপনি চাইলে করতে পারেন)। এটি হওয়ার দরকার নেই, কারণ এটির একটি সম্ভাব্য কনফিগারেশন রয়েছে, যা আমরা টাইল-সেট থেকে মুছে ফেলতে পারি। যদিও এটি অন্যরকম কনফিগারেশন করা সম্ভব হতে পারে তবে এটি সমস্যার সন্তুষ্টিটিকে প্রভাবিত করে না।

নিম্নলিখিত টাইলসটি টাইল করার গ্যারান্টিযুক্ত (এভাবে টাইল-সেট থেকে সরানো যেতে পারে): $\mathbf{({1}{\star},{1}{\star})}$

নিম্নলিখিত টাইলসটি টাইলস হতে সক্ষম হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত (এভাবে টাইল-সেট থেকে সরানো যেতে পারে): $({1}{\star},{2}{\star}), ({1}{\star},{3}{\star})$

যদি আপনি এই গ্যাজেটটি কোনও প্রাচীর দিয়ে বন্ধ করতে চান তবে $({1}{\star},{2}{\star}), ({1}{\star},{3}{\star})$ আচ্ছাদন হওয়ার গ্যারান্টিও দেওয়া হবে।

নতুন ওয়্যার এবং ক্লজ গেটস

প্রবাহিত সমস্যা এবং টাইল সেটটি খালি করার কারণে আমাদের তারেরটি আবার ডিজাইন করতে হবে।

প্রবাহ সমস্যা সমাধানের একটি উপায়, কেবল সহজ বাম-ডান অবস্থার পরিবর্তে তারটিকে একটি সার্কিট বানানো; অর্থাৎ এটি একটি লাইনের পরিবর্তে বিজ্ঞপ্তিযুক্ত হবে এবং তাই বৃত্তের উপরের অংশটি ডানদিকে চাপানো হলে নীচের অংশটি বাম দিকে ঠেলে দেওয়া হবে। এটি প্রবাহ সমস্যা সমাধান করে।

এই পথটি অনুসরণ করে, আমরা উভয় সমস্যার সমাধান করতে তার এবং ক্লজ গেটটি পরিবর্তন করতে পারি।

সংরক্ষণযোগ্য এবং $\mathcal T$$\mathcal F$

আসুন দুটি নতুন সার্বজনীন মান, এবং এফ চালু করি । এই দুটি মান সর্বজনীন; গ্রিডে প্রকৃত মানগুলি যেমন বর্গমূল্য 2 এবং 3 (কনভেনশন অনুসারে, আমরা 1 টি সংরক্ষণ করেছি$\mathcal T$$\mathcal F$$2$$3$$1$ দেয়ালগুলির জন্য একটি বিল্ডিং ব্লক হিসাবে ), বা আপনি যা কিছু বেছে নিন। এগুলি যথাক্রমে সত্য এবং মিথ্যা উপস্থাপন করে।

আমরা নিম্নরূপে টাইলস , ( টি , টি ) , ( এফ , এফ ) জোর করে রিজার্ভ করি ; নীচের চিত্র, বাম থেকে ডানে বর্ণনা:$(\mathcal T, \mathcal F)$$(\mathcal T, \mathcal T)$$(\mathcal F, \mathcal F)$

• আমরা কোনো অত্যাচার হিসাবে একই প্রকল্প ব্যবহার টালি ব্যবহার টি হিসাবে 1 ⋆ । প্রতি 2 ⋆ এবং 3$\mathbf{({1}{\star},{1}{\star})}$$\mathcal T$$\mathbf{1}{\star}$${\mathbf 2}{\star}$${\mathbf 3}{\star}$ এখানে এই গ্যাজেটে অনন্য।
• আমরা কোনো অত্যাচার হিসাবে একই প্রকল্প ব্যবহার টালি ব্যবহার এফ যেমন 1 ⋆ প্রতিটি 2 ⋆ এবং 3 ⋆ এখানে এই গ্যাজেটে অনন্য।$\mathbf{({1}{\star},{1}{\star})}$$\mathcal F$$\mathbf{1}{\star}$${\mathbf 2}{\star}$${\mathbf 3}{\star}$
• আমরা একটি অত্যাচার হিসাবে একই প্রকল্প ব্যবহার , টালি ব্যবহার এফ যেমন 1 ⋆ কেন্দ্র, এবং ব্যবহার টি আপ-ট্যাক এর অন্য অবস্থানে। এটি ( এফ , টি ) টাইল করতে বাধ্য করে। 2 ⋆ এবং 3 ⋆ সঙ্গে টালি করতে পারবেন টি , তাই আমরা তাদের টালি-সেট থেকে মুছে ফেলুন। প্রতিটি 2 ⋆ এবং 3 ⋆ এখানে এই গ্যাজেটে অনন্য।$\mathbf{({1}{\star},{1}{\star})}$$\mathcal F$$\mathbf{1}{\star}$$\mathcal T$$(\mathcal F, \mathcal T)$${\mathbf 2}{\star}$${\mathbf 3}{\star}$$\mathcal T$${\mathbf 2}{\star}$${\mathbf 3}{\star}$

টেলিগ্রাম

প্রতিটি তারের মান দিয়ে শুরু হবে এবং শেষ হবে, আসুন আমরা একে বলি যা তারের সাথে অনন্য। প্রতিটি দফা জন্য তারের অংশগ্রহণ টেলিগ্রাম দুই তারের-মূল্যবোধ, থাকবে এক্স ⋆ , এবং এক্স ' ⋆ , যা প্রতিটি তারের অনন্য, এবং একই ধারা অংশগ্রহণ। বাম থেকে ডানে বিবরণ সহ নীচের চিত্র।${A}{\star}$${x}{\star}$${x'}{\star}$

• একটি তারে যা একটি ধারাতে অংশ নেয়। তারটির উচ্চতা এবং এর দৈর্ঘ্য 2 ∗ p + 3 হয় , যেখানে পি তারের অংশীদারিগুলির অংশ হিসাবে সংযুক্ত থাকে The তারে বামদিকে দুটি এ ⋆ স্কোয়ার এবং দুটি ডানদিকে প্যাড করে থাকে । এটি অবশ্যই চারদিকে প্রাচীর দ্বারা বেষ্টিত, নীল রূপরেখা দ্বারা নির্দেশিত। দ্রষ্টব্য, যে 1 ⋆ এই তারের জন্য অনন্য, এবং কেবল তারে ব্যবহৃত হবে, এবং যে ধারাটিতে এটি অংশ নেয়।$2$$2*p+3$$p$${A}{\star}$${1}{\star}$

বাম থেকে ডানে নীচে বর্ণিত দুটি রাজ্যের নীচে চিত্রিত।

• সত্যিকারের অবস্থায় একটি তারে যা একটি ধারাতে অংশ নেয়। তারটিকে সত্য বলে বিবেচনা করা হয়, যখন বর্গক্ষেত্রকে একটি টি স্কোয়ারের সাথে জোড়া দেওয়া হয় এবং x ′ ⋆ বর্গগুলি এফ স্কোয়ারগুলির সাথে জোড়া হয় । এটি অন্য রাজ্যে মিথ্যা হিসাবে বিবেচিত হয়, যেখানে টাইলিংগুলি বিপরীত হয়। নোট কিভাবে টালি দ্বারা আচ্ছাদন একবার বাধ্য হয় একজন ⋆ টালি নির্বাচন করা হয়নি: ( টি , এফ${x}{\star}$$\mathcal T$${x'}{\star}$$\mathcal F$${A}{\star}$$(\mathcal T,\mathcal F)$ ইতিমধ্যে তার আগে বাধ্য, এইভাবে টাইল বাকি অনুভূমিক হতে হবে।
• মিথ্যা অবস্থায় একই তার।

অধিকতর ধারাগুলিতে অংশ নেওয়ার সময়, আরও বেশি মান , এবং x ′ ⋆ থাকে , প্রতিটি দফাটির জন্য একটি জোড় তারে অংশ নেয় They তারা শীর্ষে এবং নীচে থাকে, যেমন টি এবং এফ বর্গগুলি প্রতিটি x ⋆ , x পৃথক করে ' ⋆ জোড়া।${x}{\star}$${x'}{\star}$$\mathcal T$$\mathcal F$${x}{\star}, {x'}{\star}$

দুটি একই রাজ্য।

এই গ্যাজেটটি বন্ধ রয়েছে , সুতরাং কোনও "প্রবাহ সমস্যা" নেই।

যে কোনও রাজ্যে কীভাবে, আমরা নিম্নোক্ত টাইলগুলি সংগ্রহ করি তা রাষ্ট্রের বিবেচনা করুন: , ( A ⋆ , T ) , ( A ⋆ , F$({A}{\star},{A}{\star})$$({A}{\star},\mathcal T)$$({A}{\star},\mathcal F)$ ।

কিছু টাইলস রয়েছে তবে আমরা যে সম্পর্কে নিশ্চিত নই; একটি অবস্থায় আমরা মুছে ফেলতে পারি । । । টাইল সেট থেকে, অন্য অবস্থায় থাকা অবস্থায় আমরা ( 1 ⋆ , F ) , ( 1 ′ ⋆ , টি ) , ( 2 ) মুছে ফেলতে পারি$({1}{\star}, \mathcal T), ({1'}{\star},\mathcal F), ({2}{\star},\mathcal T), ({2'}{\star},\mathcal F) ...$$({1}{\star}, \mathcal F), ({1'}{\star},\mathcal T), ({2}{\star},\mathcal F), ({2'}{\star},\mathcal T) ...$টাইল সেট থেকে, তাই আমরা আসলে কোন টাইলস সরাতে পারি? উত্তরটি হ'ল: ক্লজ গেটে একই সমস্যা রয়েছে তবে টাইলসের বিপরীতে সেট রয়েছে। এটি সর্বদা অবশিষ্ট, বিপরীত এবং অবিকৃত টাইলগুলি সংগ্রহ করবে, যেমন আমরা পরবর্তী বিভাগে দেখব। যেহেতু এগুলির প্রত্যেকটি একটি ক্লজ গেটের সাথে যুক্ত, তাই আমরা উভয়টিকে সরাতে সক্ষম হব।

দফা

এরপরে আমরা নতুন ক্লজ গেটের প্রথম পুনরাবৃত্তি তৈরি করব। এটা একটা নিয়ে গঠিত গ্যাজেট, দেয়াল দ্বারা আবদ্ধ। গ্যাজেটের অভ্যন্তরে, আমরা শীর্ষ-কেন্দ্রে একটি এফ রাখি , এবং নীচের কোণে দুটি টি স্কোয়ার রাখি ; একটি নীচে-বামে, এবং একটি নীচে-ডানদিকে। অবশিষ্ট স্কোয়ারগুলি তিনটি ভিন্ন তারের তারের ভেরিয়েবলের প্রতিনিধিত্বকারী মান হবে। আমাদের এই কল করা যাক একটি ⋆ , খ ⋆ , এবং গ ⋆ । এফ টেলিগ্রাম-ভেরিয়েবল আরেকটির সাথে যুক্ত করতে বাধ্য হবে এবং অবশিষ্ট টেলিগ্রাম-ভেরিয়েবল এর সাথে যুক্ত হবে টি মান। চিত্রের নীচে, বাম থেকে ডানে বিবরণ।$2\times 3$$\mathcal F$$\mathcal T$${a}{\star}, {b}{\star},$${c}{\star}$$\mathcal F$$\mathcal T$

• বাম: নতুন ক্লজ-গেটের প্রথম পুনরাবৃত্তির জন্য কনফিগারেশন।
• ডান টাইলিংয়ের সম্ভাব্য তিনটি রাজ্য ।$\mathcal F$

এই তিনটি রাজ্য তিনটি সম্ভাব্য ঝুঁকির দিকে নিয়ে যায়। চিত্রের নীচে, বাম থেকে ডানে বিবরণ।

• বাম, শীর্ষ : টাইল্ড বাম, বাম, নীচে: অবশিষ্ট স্কোয়ারগুলি টাইলিং করুন।$\mathcal F$
• মধ্য, শীর্ষ : টিলে ডানদিকে, মধ্য, নীচে: অবশিষ্ট স্কোয়ারগুলি টাইলিং করুন।$\mathcal F$
• ডান, শীর্ষ : টালি, ডান, নীচে: অবশিষ্ট স্কোয়ারগুলি টাইলিং করুন।$\mathcal F$

যেহেতু ক্লজের একটি ওয়্যার-ভেরিয়েবলের সাথে জোড় করা হবে , তারের ভেরিয়েবলটি আর তারের সাথে এফ দিয়ে যুক্ত করা যাবে না ; এইভাবে সত্য তারের জোর। বিপরীতভাবে, অবশিষ্ট ওয়্যার-ভেরিয়েবলগুলি যে টি দিয়ে টালি দেয় তারা তাদের তারের মধ্যে এফ দিয়ে টাইল করতে বাধ্য হবে । এটি ঠিক 1- ইন- 3 - এস এ টি ক্লজ হিসাবে একই সীমাবদ্ধতা ।$\mathcal F$$\mathcal F$ $\mathcal T$$\mathcal F$$\rm 1\text{-in-}3\text{-}S{\small AT}$

মনে রাখবেন, এবং গ ⋆ টেলিগ্রাম-ভেরিয়েবল আছে, কিন্তু তারা একে একটি পড়ুন পারে এক্স ⋆ অথবা একটি এক্স ' ⋆ টেলিগ্রাম-পরিবর্তনশীল; একটি ব্যবহার এক্স ' ⋆ মূলত টেলিগ্রাম-পরিবর্তনশীল অস্বীকার করা হয়।${a}{\star}, {b}{\star},$${c}{\star}$${x}{\star}$${x'}{\star}$${x'}{\star}$

একটি সংযোজন: টাইলস সেট থেকে কোন টাইলগুলি সরিয়ে ফেলা যায় তা জানার বাধ্যবাধকতাটি সঞ্চার করতে, আমাদের এই ধারাটি "ডাবল এবং বিপরীতমুখী" করতে হবে। আমি এই দ্বারা কি বোঝাতে আরেকটি করা হয় সঙ্গে গ্যাজেট, 3 এর negations প্রতিনিধিত্বমূলক অতিরিক্ত ভেরিয়েবল একটি ⋆ , খ ⋆ , এবং গ ⋆ । আমাদের এই কল করা যাক একটি ' ⋆ , খ ' ⋆ , এবং গ ' ⋆ । এগুলি অবশ্যই একটি ⋆ , b of এর অবহেলিত পরিবর্তনশীল-তারের মান হতে হবে $3\times 2$$3$${a}{\star}, {b}{\star},$${c}{\star}$${a'}{\star}, {b'}{\star},$${c'}{\star}$ এবং গ ⋆ । এই 3 × 2 গ্যাজেটটি আলাদা, এটিরকেন্দ্রেএকটি টি থাকবেএবংকোণেদুটি এফ মান থাকবে; ক্লজ গ্যাজেটের ঠিক বিপরীতে এ পর্যন্ত বর্ণনা করা হয়েছে। এই জাতীয় ধারাটিকে "দ্বিগুণ" করে আমরা উপরে উল্লিখিত গ্যাজেটের মতো একই প্রতিবন্ধকতাগুলি আবার যুক্ত করি। তবে, আমরা ( টি , এক্স ⋆ ) , ( টি , এক্স ′ ⋆ ) , ( এফ , এক্স ⋆ ) , ( এফ , এক্স ) এর সমস্ত সংমিশ্রণও স্রাব করি${a}{\star}, {b}{\star},$${c}{\star}$$3\times 2$$\mathcal T$$\mathcal F$ প্রতিটি পরিবর্তনশীল জন্য টালি সেট থেকে (এবং এইভাবে জন্য একটি ⋆ , খ ⋆ , এবং গ ⋆ ভাল, কারণ তারা সব, টেলিগ্রাম-ভেরিয়েবল পর হয়)। নীচে চিত্রিত, বাম থেকে ডানে বর্ণনা।$(\mathcal T, {x}{\star}), (\mathcal T, {x'}{\star}), (\mathcal F, {x}{\star}), (\mathcal F, {x'}{\star})$${a}{\star}, {b}{\star},$${c}{\star}$

• একটি "ডাবল এবং বিপরীতমুখী" ধারা। নীচের অংশটি উপরে বর্ণিত ধারাটি; শীর্ষ বিভাগটি সদ্য বর্ণিত বিপরীত ধারা cla নতুন ধারাটিতে ঠিক একই যুক্তিযুক্ত বাধা রয়েছে; এটি নীচের অংশটির সংকোচনশীল। একসাথে, এই সম্মিলিত গ্যাজেটগুলি এবং তারের সমস্ত ( টি , এক্স ⋆ ) , ( এফ , এক্স ⋆ ) , ( টি , এক্স ′ ⋆ ) , ( এফ , এক্স ′ ⋆ ) সমস্ত সংমিশ্রণ$(\mathcal T, {x}{\star}), (\mathcal F, {x}{\star}), (\mathcal T, {x'}{\star}), (\mathcal F, {x'}{\star})$ টালি-সেট থেকে, জন্য ধারাটিতে অংশ নেওয়া প্রতিটি তারের পরিবর্তনশীল।
• বাম-সর্বাধিক চিত্রের মাঝখানে নীল রেখাটি দেখার-সহজ করার জন্য রয়েছে; বাস্তবে এটি আর কোনও রাজ্যের অনুমতি ছাড়াই সরানো যেতে পারে।

সুতরাং, সমস্ত উদাহরণস্বরূপ প্রতিশ্রুতি অনুসারে ডিসচার্জ হয়ে যায় তা দেখানোর জন্য আসুন আমরা একটি উদাহরণ নিই। নীচে চিত্রিত, বাম থেকে ডানে বিবরণ।

• একক ধারাতে অংশ নেওয়া তারের চিত্র; একটি দফার জন্য একটি রাষ্ট্র নির্বাচন করা হয়। এখানে, আমরা ব্যবহার করছেন , যখন একটি ⋆ এবং খ ${1}{\star}={b}{\star}$${a}{\star}$${b}{\star}$ এই দফা অন্যান্য টেলিগ্রাম-মানের প্রতিনিধিত্ব করছে।
• ধারাটিতে প্রদত্ত রাষ্ট্রের জন্য, মান প্রতিবেশী টি এর সাথে যুক্ত হতে বাধ্য হয়${1}{\star}$$\mathcal T$ ।
• এর ফলে তারের হতে যেমন টেলিগ্রাম ইতিবাচক পরিবর্তনশীল এর সাথে যুক্ত করতে বাধ্য হয় সত্য মূল্যবান (আপনি বলতে পারেন বাধ্য করা , ও নেতিবাচক পরিবর্তনশীল এর সাথে যুক্ত করতে বাধ্য হয় $\mathcal T$$\mathcal F$ , যেমন উপরে বর্ণিত)।
• এই বাহিনীর contrapositive ধারা (ধারা এর উপরের অংশে) সঙ্গে যুক্ত করা হবে টি দফা মধ্যে। এখন যদি আপনি তারের দিকে তাকান, তারের মধ্যে থাকা প্রতিটি টালি স্রাবের গ্যারান্টিযুক্ত: হয় কেবল তারের মধ্যেই সঞ্চারিত হয়, বা সংশ্লিষ্ট ক্লজ-গ্যাজেটে। এই অবস্থায়, আমাদের টাইলস রয়েছে (( এ ⋆ , এ ⋆ ) , ( এ ⋆ , টি ) , ( এ ⋆ , এফ ) , ( ১ ⋆ , টি ) , ( ${1'}{\star}$$\mathcal T$$({A}{\star},{A}{\star})$$({A}{\star},\mathcal T)$$({A}{\star},\mathcal F)$$({1}{\star},\mathcal T)$ , ( 1 ′ ⋆ , এফ ) , এবং ( 1 ′ ⋆ , টি ) ।$({1}{\star},\mathcal F)$$({1'}{\star},\mathcal F)$$({1'}{\star},\mathcal T)$

অন্য রাজ্যের চেষ্টা করে আমরা নীচের চিত্রটি পেয়েছি, বাম থেকে ডানে বর্ননা।

• ধারাটি অন্য রাজ্যে রয়েছে, টাইলিং $({1}{\star},\mathcal T$ দুটি উপায়ের একটিতে)।
• অতএব, $({1}{\star},\mathcal F$ তারের উপর চাপ দেওয়া হয়েছে,
• বাকী তারের সাথে আনুপাতিকভাবে টালি নিয়ে যাওয়া এবং তারেরটিকে মিথ্যা হিসাবে মান্য করা।
• অবশেষে, ক্লজ-গ্যাজেটের সংকোচনশীল / উপরের অংশে, অবশ্যই টাইল লাগাতে হবে, কারণ ( 1 ′ ⋆ , টি ) তারে নেওয়া হয়। এই অবস্থায়, আমাদের কাছে টাইলস রয়েছে (( এ ⋆ , এ ⋆ ) , ( এ ⋆ , টি ) , ( এ ⋆ , এফ ) , ( ১ ⋆ , টি ) , ( ১ ⋆ , $({1'}{\star},\mathcal F)$$({1'}{\star},\mathcal T)$$({A}{\star},{A}{\star})$$({A}{\star},\mathcal T)$$({A}{\star},\mathcal F)$$({1}{\star},\mathcal T)$$({1}{\star},\mathcal F)$ , , এবং ( 1 ′ ⋆ , টি ) । এগুলি অন্য রাজ্যের মতো একই ধরণের টাইলস থেকে বের হয় ।$({1'}{\star},\mathcal F)$$({1'}{\star},\mathcal T)$

সুতরাং যে কোনও রাজ্যে, আমরা একই টাইলগুলি স্রাব করি। অতএব, যদি সন্তুষ্টিজনক অ্যাসাইনমেন্ট থাকে তবে তার এবং ধারাটি এক সাথে সফলভাবে নির্দিষ্ট টাইলগুলি স্রাব করে।

এই গ্যাজেটটি বন্ধ আছে , সুতরাং কোনও প্রবাহের সমস্যা হবে না। ক্লজ-গ্যাজেটটি তারের গ্যাজেটের সাথে একসাথে সর্বদা একই টাইল-জোড়া মানগুলি স্রাবের গ্যারান্টিযুক্ত এবং আমরা কোনভাবে এটি টাইল করব তা না জানলেও আমরা এগুলি স্রাব করতে পারি।

এখন আমাদের সমস্ত গ্যাজেট মানদণ্ড পূরণ করে।

তৈয়ার

আমাদের চূড়ান্ত গঠনে আমরা তিনটি সারি গ্যাজেট তৈরি করি, প্রত্যেকটি একটি অনুভূমিক প্রাচীর দ্বারা পৃথক।

• নীচে, আমরা ফোর্সিং-গ্যাজেটগুলি রাখি, যা দুটি টাইল লম্বা। বিল্ডিং ব্লকের জন্য, এবং এবং এফের সংমিশ্রনের জন্য আমাদের জোর করে গ্যাজেট দরকার । আমরা জোর করে গ্যাজেটগুলি একে অপরের সাথে সরাসরি রাখি।$\mathcal T$$\mathcal F$
• মাঝারি সারিতে আমরা তারের গ্যাজেটগুলি আনুভূমিকভাবে রাখি যা দুটি টাইল লম্বা। তারের গ্যাজেটগুলি উল্লম্ব প্রাচীরের সাথে একে অপরের থেকে পৃথক করা উচিত।
• উপরের সারিতে আমরা ক্লজ গ্যাজেটগুলি রাখি যা চারটি টাইল লম্বা। ক্লজ গ্যাজেটগুলি উল্লম্ব প্রাচীর দ্বারা একে অপরের থেকে পৃথক করা উচিত।

চিত্রগুলি অনুসরণ করে, প্রতিটি চিত্রের উপরে বর্ণনা। সম্পূর্ণ রেজোলিউশনের জন্য চিত্রগুলি ক্লিক করুন। চিত্রগুলি পুনরুত্পাদন / উত্পন্ন করতে উত্স কোড পৃষ্ঠার নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে।

$\Phi(\mathbf x)= (x_1,\neg x_2, x_3) \wedge (x_2,\neg x_3,x_4) \wedge (x_1,x_2,\neg x_4)$$(\neg x_1,x_2,x_3,\neg x_4)$ সাক্ষী হিসাবে

প্রথমে আমরা অনুভূমিক দেয়ালগুলি গ্যাজেটের সারিগুলি পৃথক করে শুরু করি। আমরা স্কোয়ারগুলি এবং জোড়াগুলি দেয়ালগুলির মধ্যে টাইল করতে বাধ্য করি show

এরপরে, আমরা গ্যাজেটগুলি দেখাই। নীল রূপরেখা গ্যাজেটগুলির সীমানা উপস্থাপন করে; জোর-গ্যাজেটগুলির জন্য নীল রঙিন ন্যাশযুক্ত, যেহেতু তারা প্রাচীর দ্বারা ঘিরে থাকবে না। নোট গ্যাজেটের মাঝখানে রেখাটি কোনও প্রাচীর দ্বারা বেষ্টিত নয়; এটি দেখার-সুবিধার জন্য রয়েছে; উপরের বর্ণনা অনুসারে লাইনটি দূরে সরিয়ে নিয়ে যাওয়া এ ধরণের মধ্যে আর কোনও রাজ্য হওয়ার অনুমতি দেয় না, তবে আমরা এই বিক্ষোভের জন্য নীল রেখাটি প্রদর্শন করি। দ্রষ্টব্য: আমরা প্রযোজ্য সময়ে সংখ্যার অর্থ পাঠযোগ্যতা দিতে স্কোয়ার-নাম ব্যবহার করি। প্রতিটি নাম একটি সংখ্যার মান উপস্থাপন করে।

এখানে আমরা উল্লম্ব দেয়াল পূরণ করুন।

এখানে আমরা সাক্ষীর সমাধান পূরণ করি; অর্থাত্ যদি এটি তৈরির জন্য স্যাট সমাধানটি ব্যবহার করে তবে এটি টাইলিং সমাধান solution

$n$

এখানে আমরা একটি তুচ্ছ বৈধ টাইলিং সহ অবশিষ্ট স্কোয়ারগুলি পূরণ করি।

এখানে আমরা গ্রিডের নীচের ডানদিকে দেখায়।

এখানে আমরা গ্রিডের উপরের ডানদিকে দেখায়। উল্লম্ব টাইলস আর ফিট করে না তা নোট করুন; সুতরাং আমরা শীর্ষ সারিটি অনুভূমিকভাবে টাইল করি, যদি প্রয়োজন হয়।

এবং অবশেষে উপরের বাম কোণে।

টেক্সের মাধ্যমে একবারে পুরো গেম-বোর্ড তৈরি করা পিডিএফ্লেটেক্স থেকে মেমরির বাইরে থাকা ত্রুটিগুলি ব্যর্থ করে, তাই আপনি যদি এটি দেখতে চান তবে আপনাকে ক্লিপগুলি তৈরি করতে হবে এবং সেগুলি একসাথে প্যাচ করতে হবে। নোটবুক ভিউয়ারটি অবশ্যই পরীক্ষা করে দেখুন ।

---

টিকজেড সূত্র

• ডোমিনোসা. পার্ট.আই.টেক্স ( রাইলেটেক্স )
• ডোমিনোসা. পার্ট.আইআই.টেক্স ( রাইলেটেক্স )
• ডোমিনোসা. পার্ট.আইআইআই.টিেক্স ( রাইলেটেক্স )
• ডোমিনোসা. পার্ট.আইভি.টেক্স ( রাইলেটেক্স )
• ডোমিনোসা. পার্ট.ভি.টেক্স ( রাইলেটেক্স )

গেম জেনারেটর:

• graphtex.py

  টেক্সকে পিডিএফ্লেটেক্স, পিডিএফকায়রো (পপ্প্লার) এবং আরএসভিজি-রূপান্তর (libsvg) ব্যবহার করে টেক্সকে এসভিজিতে রূপান্তরিত করে

• dominosa.py

  রূপান্তর যুক্তি, গেম-সমাধানের যাচাইকরণ এবং অঙ্কন যুক্তিযুক্ত

• dominosa_demo.py

  একটি এক্সিকিউটেবল ডেমো যা উপরের উত্তরে ব্যবহৃত চিত্রগুলি উত্পন্ন করে। চিত্রগুলি বর্তমান-কার্য-ডিরেক্টরিতে ফেলে দেয়।

• dominosa_demo.ipynb

  একটি আইপথন ডেমো যা উপরের উত্তরে ব্যবহৃত চিত্রগুলি উত্পন্ন করে।

  • দেখুন নোটবুক ভিউয়ার ফলাফল দেখতে

Comments

এটি দর্শনীয়, আপনাকে অনেক ধন্যবাদ ..

— Yoav বার sinai

দয়া করে আমাকে বলুন যে আপনার এটির একটি আরক্সિવ সংস্করণ রয়েছে। এটা তোলে পারে অধিক যুক্তিসঙ্গত জন্য এই প্ল্যাটফর্মের একটা মোটামুটি স্কেচ এবং সম্পূর্ণ কাগজ লিঙ্ক অন্তর্ভুক্ত করা হবে।

— রাফেল

Answer 2

${\rm D{\small OMINOSA}}$ এনপি-হার্ড

---

গেম খেলে একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যা; এমন বৈধ ডোমিনো টাইলিং সন্ধান করা যা এটি সমস্ত স্কোয়ারকে coversেকে দেয়। এই সমস্যার সিদ্ধান্ত সংস্করণটি হ'ল:

একটি প্রদত্ত একটি আচ্ছাদন একটি নিখুঁত টাইলিং আছে? $(n+1) \times (n+2)$ সঙ্গে গ্রিড $n$ অনন্য টাইলস?

স্পষ্টতই, অপ্টিমাইজেশান সমস্যা, সিদ্ধান্তটির সমস্যার চেয়ে গেমটির আসলে সমাধান খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটি অন্তত কঠিন বা শক্ত is

আমরা একটি রূপান্তর করব $1\text{-}3\text{-in-}{\rm S{\small AT}}$সংশ্লিষ্ট গ্রিডের সূত্র, যদি সূত্রটিতে সন্তুষ্টযোগ্য অ্যাসাইনমেন্ট থাকে তবে তা কেবল গ্রহণযোগ্য হবে । তদ্ব্যতীত, প্রচ্ছদটি সন্তুষ্টিজনক কার্যভারটি পুনরুদ্ধার করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

সুতরাং, যদি উপস্থাপিত নির্মাণটি সঠিক হয় এবং কোনও একটি ডিটিএম- তে একটি বহুগুণে কোনও গেম সমাধান করতে পারে তবে তা বোঝায়${\rm P=NP}$। এই থেকেই বোঝা${\rm D {\small OMINOSA}}$ এনপি-হার্ড

থেকে হ্রাস $1\text{-}3\text{-in-}{\rm S{\small AT}}$ থেকে ${\rm D {\small OMINOSA}}$

ভূমিকা

অধিকাংশ $3\text{-}{\rm S{\small AT}}$ সমস্যা / রূপগুলির একটি খুব ভাল চিঠিপত্র আছে ${\rm C{\small IRCUIT}S{\small AT}}$। সমান্তরালে সমস্যাগুলি চিন্তা করা গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে; যেহেতু তারা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত, একটি সমস্যার প্রায় কোনও কিছু অন্যটির সাথে সম্পর্কিত হতে পারে।

${\rm C{\small IRCUIT}S{\small AT}}$ একটি প্ল্যানার বৈকল্পিক রয়েছে, যা এটি হ্রাস করে, বলা হয় ${\rm P{\small LANAR}\text{-}C{\small IRCUIT}S{\small AT}}$। এই রূপান্তরটি খুব মার্জিত এবং মূলত আপনাকে যেকোন প্ল্যানার এম্বেডিং নিতে, অবশিষ্ট ক্রসিং ওয়্যারগুলি সন্ধান করতে এবং তারগুলিকে প্ল্যানার "গেট" (ইনপুট এবং আউটপুট তারের সাথে গ্যাজেটের সংগ্রহ) দিয়ে অতিক্রম করার জন্য একটি "গ্যাজেট" ব্যবহার করতে দেয় ।

সুবিধার্থে, বেশিরভাগ $3\text{-}{\rm S{\small AT}}$ বৈকল্পিকগুলিরও প্ল্যানার বৈকল্পিকের হ্রাস রয়েছে, যা সমান্তরাল ${\rm P{\small LANAR}\text{-}C{\small IRCUIT}S{\small AT}}$, এবং খুব সম্পর্কিত; একে অপরের থেকে সহজেই হ্রাসযোগ্য এবং এর পক্ষে যুক্তিযুক্ত হওয়া সহজ। সুতরাং যখনই আমি কোনও প্ল্যানার সমস্যায় আসি যা এনপি-হার্ড হতে পারে, আমি প্ল্যানার বৈকল্পিকগুলির ক্ষেত্রে বিবেচনা করি$3\text{-}{\rm S{\small AT}}$, এবং তাদের সমান্তরাল ${\rm P{\small LANAR}\text{-}C{\small IRCUIT}S{\small AT}}$।

প্ল্যানার বৈকল্পিকগুলি জানা জরুরী, কারণ তারা ইউক্লিডিয়ান টিএসপির মতো পরিকল্পনাকারী / জ্যামিতিক সমস্যাগুলি হ্রাস করতে সহায়তা করে (ঘটনাক্রমে এটি খুঁজে পেতে এবং শিখতে বেশ বিরল হ্রাস)। সুতরাং, আছে${\rm P{\small LANAR}}\text{-}3\text{-}{\rm S{\small AT}}$, এবং একটি পেরেলেল, ${\rm P{\small LANAR}\text{-}C{\small IRCUIT}S{\small AT}}$, যেমন হ্রাস সাহায্য।

অন্যান্য $3\text{-}{\rm S{\small AT}}$রূপগুলি জানার জন্য গুরুত্বপূর্ণ কারণ তাদের কয়েকটি দুর্বল; এটি আপাতদৃষ্টিতে "সহজ", তবুও এনপি-সম্পূর্ণ। তারা মনে এক নজরে সহজ সমস্যা সমাধানের - এবং তারা অনেক সহজ হয় - এখনো আছে এখনও দ্বারা NP-সম্পূর্ণ। এনপি-সম্পূর্ণ, তবে সহজ; এবং তাই হ্রাস করা সহজ, অনেক ক্ষেত্রে।

উদাহরণস্বরূপ, আছে $1\text{-in-}3\text{-}{\rm S{\small AT}}$। কিছু সমস্যার জন্য, আপনি সহজেই একটি ঠিক তৈরি করতে পারেন$1\text{-in-}3$ গ্যাজেটটি, স্ট্যান্ডার্ডের মতো "কমপক্ষে 3 টি 1" করার সময় $3\text{-}{\rm S{\small AT}}$ ব্যবহারগুলি অ-সুস্পষ্ট এবং বিশাল নির্মাণের জন্য তৈরি হবে।

অন্য একটি উদাহরণ ${\rm M{\small ONOTONE}}\text{-}1\text{-in-}3\text{-}{\rm S{\small AT}}$। মনোোটোন জিনিসগুলিকে অনেক সহজ করে তোলে যখন আপনার এমন নির্মাণ থাকে যা সহজেই মূল্যবোধকে অস্বীকার করতে পারে না।

আরও আশ্চর্যজনক এটি ${\rm M{\small ONOTONE}}\text{-}1\text{-in-}3\text{-}{\rm S{\small AT}}$ প্ল্যানার বৈকল্পিক রয়েছে: ${\rm P{\small LANAR}}\text{-}{\rm M{\small ONOTONE}}\text{-}1\text{-in-}3\text{-}{\rm S{\small AT}}$! সুতরাং এটি বিষয়গুলি অনেক সহজ করে তোলে; আপনাকে "তারগুলি" অতিক্রম করতে হবে না (মনে রাখবেন, এখানে সমান্তরাল রয়েছে)${\rm C{\small IRCUIT}S{\small AT}}$ এগুলিতে) এবং আমার উপর বিশ্বাস রাখুন, গ্যাজেটগুলি অতিক্রম করার সময় মজা পাওয়া যায়, এগুলি খুব অ-সুস্পষ্ট এবং কঠিন হতে থাকে।

$$\begin{array}{c|c|c|ccc} &&&&\hspace{1em}&\hline\\ {\rm\mathbf{P{\small ROBLEM}}} &\scriptsize{{\rm\mathbf{MONOTONE}}} &\scriptsize{{\rm\mathbf{PLANAR}}} &\scriptsize{{\rm\mathbf{1\text{-in-}3}}} &&{\rm\mathbf{NP\text{-}hard}} \\ \hline\\ {\rm\mathbf{3\text{-} S{\small AT}}} & \text{No} & \text{No} & \text{No} && \text{Yes}\\ \hline\\ {\rm\mathbf{M{\small ONOTONE}\text{-}3\text{-} S{\small AT}}} & \text{Yes} & \text{No} & \text{No} && {\text{No}}^1\\ {\rm\mathbf{P{\small LANAR}\text{-}3\text{-} S{\small AT}}} & \text{No} & \text{Yes} & \text{No} && {\text{Yes}}^2\\ {\rm\mathbf{1\text{-in-}3\text{-} S{\small AT}}} & \text{No} & \text{No} & \text{Yes} && {\text{Yes}}^3\\ \hline\\ \genfrac{}{}{0}{1} {\rm\mathbf{P{\small LANAR}}} {\rm\mathbf{1\text{-in-}3\text{-} S{\small AT}}} & \text{No} & \text{Yes} & \text{Yes} && {\text{Yes}}^4\\\\ \genfrac{}{}{0}{1} {{\rm\mathbf{M{\small ONOTONE}\text{-} }}} {{\rm\mathbf{1\text{-in-}3\text{-} S{\small AT}}}} & \text{Yes} & \text{No} & \text{Yes} && {\text{Yes}}^5\\\\ \genfrac{}{}{0}{1} {{\rm\mathbf{P{\small LANAR}\text{-}}}} {{\rm\mathbf{M{\small ONOTONE}\text{-}3\text{-} S{\small AT}}}} & \text{Yes} & \text{Yes} & \text{No} && {\text{Yes!}}^6\\ \hline\\ \genfrac{}{}{0}{1} {{\rm\mathbf{P{\small LANAR}\text{-}M{\small ONOTONE}\text{-} }}} {{\rm\mathbf{1\text{-in-}3\text{-}S{\small AT}}}} & \text{Yes} & \text{Yes} & \text{Yes} && {\text{Yes}}^7\\ \end{array}$$

1. খাঁটি আক্ষরিক নির্মূল
2. স্কেফারের দ্বৈতত্ত্বের উপপাদ্য
3. সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রতিনিধিদের সমস্যা
4. সর্বনিম্ন ওজন ট্রায়ানুলেশন হ'ল এনপি-হার্ড
5. স্কেফারের দ্বৈতত্ত্বের উপপাদ্য
6. পারফেক্ট অটো-পার্টিশন সন্ধান করা এনপি-হার্ড
7. সমতল মধ্যে অনুকূল বাইনারি স্পেস পার্টিশন

---

হ্রাস দিয়ে শুরু করার একটি উপায় হ'ল তার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ "গ্যাজেটগুলি" এবং একটি গ্যাজেট যা কোনওটির একটি দফার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ সন্ধান করার চেষ্টা করা $3\text{-}{\rm S{\small AT}}$রূপগুলো। বোনাস হিসাবে, অনেকগুলি রূপগুলি পরিকল্পনাকারী, আমরা সম্ভবত তারগুলি অতিক্রম না করে পালিয়ে যেতে পারি।

"গ্যাজেট" কী? একটি গ্যাজেট সমস্যাটির কিছু নির্মাণ যা গেট / তারের / ধারাগুলি তৈরি করতে বিল্ডিং ব্লক হিসাবে সহায়ক। কিছু গ্যাজেটে রাজ্যের একটি সীমাবদ্ধ সেট থাকবে; উদাহরণস্বরূপ, দুটি রাজ্যের একটি গ্যাজেট একটি চলক হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে; একটি রাষ্ট্র "সত্য" এবং অন্যটি "মিথ্যা"। দুটি রাজ্যের একটি গ্যাজেট, যা "দীর্ঘ" হতে পারে, বাঁকানো এবং বিভক্ত হতে পারে, তারের হিসাবে কার্যকর - যদি এটি কোনও ভেরিয়েবলের সাথে যোগাযোগ করতে পারে এবং ভেরিয়েবলের অবস্থাকে অন্য স্থানে প্রসারিত করতে বাধা হয়ে যায়। ঠিক তিনটি রাজ্যের একটি গ্যাজেট সম্ভবত একটি ধারা হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে; যদি এটি তার তিনটি রাজ্যের প্রতিটিটির মাধ্যমে "তিনটির একটি" তারের সীমাবদ্ধ করতে ব্যবহার করা যায়। একইভাবে, কেউ ন্যাড-গ্যাজেট, একটি বা গ্যাজেট, একটি জোর-গ্যাজেট ইত্যাদির মতো সমস্ত ধরণের লজিক গেটগুলি পেতে পারে;

একটি বিল্ডিং-ব্লক

• প্রথমে একটি সংখ্যা সংরক্ষণ করুন, উদাহরণস্বরূপ, $\mathbf 1$, বোর্ডের উপর. আমরা তৈরি করবো$\mathbf 1$ অন্য কিছুর জন্য একটি বিল্ডিং ব্লক।
• আমরা এটি নিশ্চিত করতে একটি কোণ ব্যবহার করব $\mathbf 1$ কখনও অন্যের সাথে সংযুক্ত হতে পারে না $\mathbf 1$, এই কোণে ব্যতীত, যেখানে এটি অবশ্যই আবশ্যক।
• নীচে (তিনটি চিত্রের মধ্যে) কোণার রয়েছে, এবং আমরা কীভাবে রাখি $\mathbf 1$সেখানে আছে।
• আমরা ব্যবহার করব $\star$ সমস্ত গ্রিডে, সমস্ত ডায়াগ্রামে অনন্য মানগুলি নির্দেশ করতে।
• আসলে, আমরা আমাদের গ্রিডটি কভার করব $\star$গুরুত্বপূর্ণ মানগুলির সাথে ওভারলেড করার আগে মানগুলি; সুতরাং, ডিফল্টরূপে সবকিছু দিয়ে কভার করুন$\star$ মান।

আপনি দেখতে পারেন, স্থাপন করে $3$   $\mathbf{1}$এই জুটি $\mathbf{(1,1)}$ এই কনফিগারেশনে অবশ্যই ব্যবহার করা উচিত ; এটি অবশ্যই ড্যাশড-টাইলগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করবে। এখন$\mathbf{(1,1)}$ বোর্ডে অন্য কোথাও কখনও ঘটতে পারে না, যা আমাদের প্রয়োজন।

একটি নম্বর সংরক্ষণের বিকল্প উপায় আছে, হয় দেয়ালের সাথে বিপরীতে $4$ তাদের মধ্যে, বা কোথাও মাঝখানে, সঙ্গে $5$তাদের একটি ক্রস। যেকোন উপায়ে ঠিক আছে, যতক্ষণ না$\mathbf{(1,1)}$ বাধ্য করা.

একটি প্রাচীর

এখন, কেবল গ্রিডের পাশে নয়, পুরো জায়গা জুড়ে "দেয়াল" এবং "কোণ" তৈরি করতে সক্ষম হওয়া খুব দরকারী useful দেখুন যদি আমরা এক লাইনে জোড় জোড় করে রাখি তবে কি হবে; যার প্রস্থের একটি "প্রাচীর" তৈরি করে তাদের প্রতিবেশীদের সাথে জুটি বাঁধার বিকল্প নেই$4$।

বাম থেকে ডানে নীচে চিত্রগুলি:

1. জোড়গুলির একটি লাইন $\mathbf 1$গুলি।
2. এর একমাত্র সম্ভাব্য টাইলিং $\mathbf 1$-square।
3. সমস্ত প্রায় একমাত্র সম্ভাব্য টাইলিং $\mathbf 1$লাইনে আছে।
4. জোর দেওয়ার জন্য টানা প্রাচীর লাইন।

একটি তারে একটি প্রাথমিক প্রচেষ্টা

এখন, দুটি "দেয়াল" একে অপরের বিপরীতে রেখে এবং একটি স্থান রেখে $\mathbf 1$ দেয়ালগুলির মধ্যে, সম্ভবত আমরা একটি "তারের" সদৃশ গ্যাজেটটি নিয়ে আসতে পারি।

কেবল প্রাচীর-সীমানা দেখানো হচ্ছে, আমরা নীচের চিত্রগুলিতে (বাম থেকে ডানে) এটি পাই:

• একে অপরের বিপরীতে দুটি দেয়াল স্থাপন করা।
• ভিতরে অনন্য নম্বর স্থাপন।
• ডানদিকে দুটি: তারের দুটি সম্ভাব্য রাজ্য।

কিভাবে এটা কাজ করে:

সেখানে নল / তারের কোনো গর্ত হতে পারে না, তাই যদি টাইলস আপ স্থানান্তরিত করা হয়, তখন তারা সব , আপ স্থানান্তরিত করা আবশ্যক সমস্ত নল বরাবর; যদি সেগুলি সরানো হয় তবে এটি তাদের সমস্তকে "স্তন্যপান" করবে। সুতরাং, আমরা তারের একপাশ থেকে অন্য দিকে "সংকেত" পাঠাতে পারি; অন্য কথায়, একটি মান প্রচার করুন।

সুতরাং, এখন আমরা দীর্ঘ দূরত্ব জুড়ে একটি মান প্রচার করতে পারি!

অবশিষ্ট সীমাবদ্ধতাগুলি হ'ল:

• আমরা তারে বাঁকতে পারি না,
• আমরা একটি তারের বিভক্ত করতে পারি না,
• আমরা তারের অতিক্রম করতে পারি না,
• আমাদের বিরক্তিকর লেআউট সমস্যা থাকতে পারে কারণ তারের দৈর্ঘ্যের সমতা সম্পর্কে আমাদের অবশ্যই সাবধানতা অবলম্বন করা উচিত।

একটি তারের বাঁক , পর্ব 1: নীচে প্রাচীর

পরবর্তী সমস্যাটি হ'ল আমাদের কেবল তারে বাঁকতে সক্ষম হওয়া দরকার, কেবল সোজা হয়ে যাওয়া নয় ...

So. আমরা বাঁকানো অংশটি দুটি ভাগে বিভক্ত করব; উপরের অংশ এবং নীচের অংশ। প্রথম নীচের অংশ।বাঁকের উপরের অংশটি উপেক্ষা করুন, আমরা এটি পরে করব।

নীচের চিত্রগুলি নমন সহ কিছুটা সমস্যা দেখায়; তারের উপরের অংশটি "আলগা", এমন একটি প্রাচীর তৈরি করা কঠিন বলে মনে হচ্ছে যা 90 ডিগ্রি ধারালো করে।

বাম থেকে ডান:

• একটি তারের শীর্ষটি "আলগা" হয়।
• আমরা যদি এটি বাঁকতে চেষ্টা করি তবে কী ঘটে; আমরা নীল লাইনের মধ্যে থাকতে তারে রাখতে চাই। আবার, বাঁকের উপরের অংশটি উপেক্ষা করুন, আমরা এটি পরে করব।
• আপনি দেখতে পারেন, শীর্ষ $\mathbf 1$গুলি আলগা, তারা প্রাচীর বরাবর টাইল করতে পারেন, বা তারের মাধ্যমে ! এটা ভাল না।

একটি সমাধান নিম্নরূপ:

• বাছাই a $\mathbf{(x,1)}$বাঁক কাছাকাছি জোড়া তার মান নিন$\mathbf x$ বর্গাকার, আমাদের এটি নাম দিন $\mathbf{ q \star}$; এর অর্থ হ'ল পুরো গ্রিডেও সংখ্যাটি অনন্য$\mathbf \star$, এবং একবার এই পুনরায় ব্যবহার করা হয়, শুধুমাত্র এই বাঁক এখানে । কারণ এই$\mathbf x$ একটি সঙ্গে যুক্ত হয় $\mathbf 1$এটির সাথে জোড় করা যায় না $\mathbf 1$আবার। অতএব, আমরা এটিকে ডানদিকের শীর্ষতম শীর্ষের উপরে রাখি$\mathbf 1$। এখন, আমরা পরিষ্কারভাবে দেখতে পাচ্ছি, এর জন্য জুটি বাঁধার একমাত্র বিকল্প$\mathbf 1$ এটি তার ডানদিকে রয়েছে, এবং এটি প্রাচীরকে শক্ত করবে।

চিত্রের নীচে, বাম থেকে ডানে বর্ণনা:

• সমস্যা নিয়ে পরিস্থিতি।
• একটি বর্গ চয়ন করুন, যাক $\mathbf{q \star}$ বেন্ডের যে কোনও বর্গক্ষেত্রের বর্গ মান হবে (অবশ্যই তা নয় $\mathbf 1$s যদিও)।
• ডানদিকের শীর্ষের দুটি টগলিং $\mathbf 1$tilings; এই সময়, তাদের মধ্যে কেবলমাত্র একটি বৈধ।

তবে আমরা কীভাবে এটি নিশ্চিত হতে পারি $\mathbf {{q}{\star}}$তারটি নষ্ট করবে না? নীচে আপনি তারের রাজ্যগুলি দেখতে পাচ্ছেন, এবং এটি$\mathbf {{q}{\star}}$ এটির সাথে বাধা সৃষ্টি করবে না।

বাম থেকে ডানে:

• বর্তমান নির্মাণ।
• দুটি ডান দিকের চিত্র: তারের রাজ্য; অনুভূতিগতভাবে, তারা এর প্রবর্তন দ্বারা বাধা হয় না$\mathbf {{q}{\star}}$।

আমাদের এখনও একটি আলগা আছে $\mathbf 1$উপরে; বামতম-শীর্ষতম-$\mathbf 1$।

আমরাও একই কাজ করব; একজোড়া বাছাই$\mathbf{({r}{\star},1)}$ এটি ইতিমধ্যে বাঁক-টাইলস এবং জায়গা জুড়েছে $\mathbf{r}{\star}$ বামতম-শীর্ষতম- শীর্ষে$\mathbf 1$।

চিত্রের নীচে, বাম থেকে ডান:

• আমাদের বর্তমান নির্মাণ।
• সমস্যা: বামে-শীর্ষস্থানীয়-$\mathbf 1$তারে একটি সংখ্যা বা প্রাচীর সঙ্গে জুড়ি করতে পারেন ; আমরা এটি কেবল প্রাচীরের সাথে জুড়ে দিতে চাই ।
• নির্বাচন করা একটি $\mathbf{r}{\star}$, এবং একই নম্বরটি বাম-শীর্ষ-শীর্ষতম- শীর্ষে ব্যবহার করে$\mathbf 1$।

এবং অবশেষে আমরা আমাদের নিম্ন বেন্ড পেতে। বাম থেকে ডানে নীচে চিত্র, বর্ণনা,

• বাম: একটি বাঁক জন্য আমাদের চূড়ান্ত নির্মাণ।
• ডান: কিভাবে বাম দিকে তারের চালিয়ে যেতে হবে।

একটি তারের বাঁক , অংশ 2: ওয়াল উপরে

বাঁকের উপরের কোণটি তৈরি করতে দেয়ালগুলি অনেক সহজ। আপনি সরলভাবে একটি অনুভূমিক প্রাচীর সহ একটি উল্লম্ব প্রাচীর সারিবদ্ধ করুন। চিত্রের নীচে, বাম থেকে ডানে বর্ণনা:

• আমরা তৈরি করতে চাই তারের বাঁক।
• দেয়াল স্কোয়ারের উল্লম্ব অংশটি নীচে রাখুন।
• উল্লম্ব-প্রাচীরের স্কোয়ারগুলি টাইলিং করা।
• অনুভূমিক প্রাচীর স্থাপন এবং টাইলিং; এটি উল্লম্ব প্রাচীরের সাথে মিলিত হতে পারে এবং একটি কোণ তৈরি করতে পারে।

এখন আপনার দৃ be় বিশ্বাস হওয়া উচিত যে আমরা তারগুলি বাঁকতে এবং বাঁকতে পারি। আমরা তারেরগুলি এখনও বিভক্ত করতে পারি না বা পার করতে পারি না, তারপরে আরও more

অবশিষ্ট সীমাবদ্ধতাগুলি হ'ল:

• আমরা তারে বাঁকতে পারি না,
• আমরা একটি তারের বিভক্ত করতে পারি না,
• আমরা তারের অতিক্রম করতে পারি না,
• আমাদের বিরক্তিকর লেআউট সমস্যা থাকতে পারে কারণ তারের দৈর্ঘ্যের সমতা সম্পর্কে আমাদের অবশ্যই সাবধানতা অবলম্বন করা উচিত।

একটি মূল্যবান তারের

এখন আমাদের তারগুলি রয়েছে, একটি মূল্যবান তারে রাখা ভাল হবে, যেখানে আমরা একটি তারের মান দেখতে পাই, যেমন একটি সার্কিট বোর্ডে এলইডি। সুতরাং আমরা কি, একটি তারের নিতে হয়, দৈর্ঘ্যের বলতে$7$, এবং একটি নাম পরিচয় করিয়েছে $\star$ বর্গক্ষেত্র, আমরা এটি কল করব ${\mathcal T}{\star}$, এবং আরেকটি বর্গাকার, আমরা এটি কল করব ${\mathcal F}{\star}$। এগুলি উভয়ই প্রতিটি মূল্যবান তারের বিভাগের জন্য অনন্য। কেবলমাত্র দু'বার , এবং সেগুলি কেবলমাত্র একক মূল্যবান তারের মধ্যেই পুনরায় ব্যবহৃত হবে । তারা জোড়া, দুটি রাখা হয়${\mathcal T}{\star}$ একে অপরের ঠিক পাশের স্কোয়ার এবং দুটি ${\mathcal F}{\star}$ একটি একক সঙ্গে পরস্পর-এর পরের স্কোয়ারগুলি $\star$বর্গ তাদের পৃথক। নীচে চিত্রিত, বাম থেকে ডানে বর্ণনা:

• বাম: একটি তার
• ডান: স্কয়ার-কনফিগারেশন।

সুতরাং একটি ওয়্যার সত্য বা মিথ্যা কিনা তা আমরা কীভাবে বলব? ঠিক আছে, একটি তারের দুটি রাজ্য রয়েছে। এই প্রতিটি রাজ্যে, একটি${\mathcal T}{\star}$ অথবা ${\mathcal F}{\star}$একই টাইল জোড় করা হবে; জোড় করা মানটি তারের মান। চিত্রের নীচে, বাম থেকে ডানে উপসারণ:

• বাম, ডান: মূল্যবান তারের দুটি রাজ্য ;
• বাম: তারের সত্য হিসাবে সত্য হিসাবে মূল্যবান হয়${\mathcal T}{\star}$ স্কোয়ারগুলি একটি টাইল ভাগ করে
• ডান: ওয়্যারটি হিসাবে মান হিসাবে মিথ্যা${\mathcal F}{\star}$ স্কোয়ারগুলি একটি টাইল ভাগ করে।

আমরা এখন আমাদের ব্যবহারের জন্য ভেরিয়েবলের নাম রাখতে পারি our ${\rm 3\text{-}S{\small AT}}$গ্রিডে পরিবর্তনশীল। আমরা দুটি মূল্যবান তারকে সংযুক্ত করতে পারি এবং তাদেরকে একই মান রাখতে বাধ্য করতে পারি, বা যদি আমরা তাদেরকে একটি বিজোড় দৈর্ঘ্যের সাথে সংযুক্ত করি, তবে তাদের আলাদা মান দিতে বাধ্য করি; এবং তারগুলি ব্যবহার করে, আমরা গ্রিড জুড়ে এই দূরত্বটি করতে পারি। তারগুলি ব্যবহার করে, আমরা পুরো জায়গাতে নামযুক্ত ভেরিয়েবলের মানগুলি প্রচার করতে পারি।

অবশিষ্ট সীমাবদ্ধতাগুলি হ'ল:

• আমরা একটি তারের বিভক্ত করতে পারি না,
• আমরা তারের অতিক্রম করতে পারি না,
• আমাদের বিরক্তিকর লেআউট সমস্যা থাকতে পারে কারণ তারের দৈর্ঘ্যের সমতা সম্পর্কে আমাদের অবশ্যই সাবধানতা অবলম্বন করা উচিত।

না গেট

একটি নট-গেট অপ্রয়োজনীয় যেমন এটি অন্তর্নিহিত: কেবলমাত্র বাইরের তারের দৈর্ঘ্যটি ব্যবহার করে আমরা তারের মানটিকে অস্বীকার করতে পারি।

একটি ক্লজ গেট

এখন আমি একটি সাধারণ ক্লজ গ্যাজেট প্রদর্শন করতে পারি; এটি সংযুক্ত হবে$3$তারগুলি, এবং তাদের মধ্যে একটিকে "টানা" রাষ্ট্র হতে বাধ্য করুন এবং অন্য দুটিটিকে "ধাক্কা" অবস্থায় থাকতে বাধ্য করুন। আমরা এটি ব্যবহার করতে পারি, এটি হ'ল এক-মধ্যে-তিনটি সম্পর্ক; আমরা বিজোড়-তারের অবস্থাটিকে "সত্য" এবং অন্য দুটি তারের-স্থিতিকে "মিথ্যা" বোঝাতে সেট করি এবং আমরা সেট হয়ে গেছি।

চিত্রের নীচে, বাম থেকে ডানে বিবরণ:

• ক্লজ গ্যাজেটের তার-লেআউট। এটি একটি "প্লাস" চিহ্ন তৈরি করে; এক জায়গায় 3 তারের যোগদান।
• অনন্য সঙ্গে তার পূরণ করুন $\star$ স্কোয়ার।
• কেন্দ্র বর্গক্ষেত্রের তিনটি রাজ্য। এই প্রতিটি রাজ্য একেবারে কেন্দ্রের মধ্যে একটি টেলিগ্রাম "টান", গেটের প্রয়োজনীয় পয়েন্ট; a এর মতো অভিনয় করা${\rm 1\text{-in-}3\text{-}S{\small AT}}$ দফা।

এখন আসুন বিভিন্ন রাজ্য একবার দেখুন। চিত্রের নীচে, বাম থেকে ডানে বর্ণনা:

• বামে তারের মাঝখানে টানা হয়; অন্য দুজনকে বাইরে বের করে দেওয়া হয়েছে।
• নীচের তারের মাঝখানে টানা হয়; অন্য দুজনকে বাইরে বের করে দেওয়া হয়েছে।
• নীচে ডান তারের মাঝখানে টানা হয়; অন্য দুজনকে বাইরে বের করে দেওয়া হয়েছে।

এখন, যদি আপনি এই গেটের শেষ প্রান্তে ডান দৈর্ঘ্যের সমতা (এমনকি বা বিজোড় দৈর্ঘ্য) দিয়ে তারগুলি সংযুক্ত করেন তবে তাদের মধ্যে কেবল একটি সত্য হতে পারে, অন্য দুটি মিথ্যা (যদি আপনি তাদেরকে বিজোড়ভাবে সংযুক্ত করেন, আপনি এটি সাধারণ করতে পারেন বিট). সুতরাং আমরা সংযোগ করতে পারেন$3$ মানগুলিতে একটি $1\text{-in-}3$ সিএনএফ ধারা।

অবশিষ্ট সীমাবদ্ধতাগুলি হ'ল:

• আমরা একটি তারের বিভক্ত করতে পারি না,
• আমরা তারের অতিক্রম করতে পারি না,
• আমাদের বিরক্তিকর লেআউট সমস্যা থাকতে পারে কারণ তারের দৈর্ঘ্যের সমতা সম্পর্কে আমাদের অবশ্যই সাবধানতা অবলম্বন করা উচিত।

একটি তারে বিভক্ত করা

একটি তারের বিভক্ত করতে, আমরা প্রথমে একে অপরের পাশে দুটি তারের লাইন তৈরি করি। এর পরে, একটি ভিজ্যুয়াল সহায়তা হিসাবে, আমরা দুটি দিয়ে তারের প্রতিটি লেবেল করি${\mathcal T}{\star}$বর্গক্ষেত্র, একের পরের। এটি আমাদেরটি তারের "সত্য" কখন রয়েছে তা দেখার অনুমতি দেবে: কখন দুটি${\mathcal T}{\star}$একটি একক টাইলের তারের স্কোয়ারগুলি, তবে এটি সত্য হবে, অন্যথায় মিথ্যা false প্রতিটি তারের নিজস্ব জুড়ি পাওয়া উচিত${\mathcal T}{\star}$ জোড়া, তাই আমরা একটি জোড়া নাম করব'll ${\mathcal T}_1{\star}$ এবং অন্যান্য ${\mathcal T_2}{\star}$। তারপরে আমরা তিনটি নতুন নামযুক্ত-অনন্য পরিচয় করিয়ে দেব$\star$ মূল্যবোধ, $a{\star},b{\star},c{\star}$। আমরা এই তিনটি একে অপরের পাশে রাখব, প্রতিটি তারে একবার। তবে, একটি তারে, একটি একক রাখুন$\star$ এর মধ্যে স্কোয়ার $a{\star},b{\star},c{\star}$ স্কোয়ার এবং ${\mathcal T}{\star}$জোড়া। অন্য তারে, দুটি রাখুন$\star$ এর মধ্যে স্কোয়ার $a{\star},b{\star},c{\star}$ স্কোয়ার।

চিত্রের নীচে, বাম থেকে ডানে বর্ণনা:

• তারের বিন্যাস। নোট করুন দেয়ালগুলি খানিকটা পুরু, সুতরাং উদাহরণস্বরূপ তারগুলি একসাথে আরও আঁকানো হয়েছে; বাস্তবে তারা কিছুটা দূরে are
• বর্গ-মান; দ্য${\mathcal T}{\star}$ শীর্ষে মানগুলি এবং স্প্লিট-সংযোজকগুলি $a{\star},b{\star},c{\star}$ তলদেশে।

এটি যা করে তারগুলি আলাদা না করতে বাধ্য করা হয়; যদি$a{\star},b{\star}$ একটি তারের উপর টাইলস করা হয়, তারপরে দ্বিতীয় তারের একের পর এক হতে পারে না, কারণ তারপরে তা বোঝায় $a{\star},b{\star}$ দ্বিতীয় তারের উপর টাইলস করা হয়, এবং এইভাবে $a{\star},b{\star}$দু'বার টাইল করা হবে। চিত্রের নীচে, বাম থেকে ডানে বর্ণনা:

• বাম তারের উদাহরণস্বরূপ, সত্য হিসাবে মূল্যবান।
• দ্বিতীয় তারের খারাপ অবস্থা; এটি আলাদাভাবে মূল্যবান হওয়ার চেষ্টা করে তবে এটি একটি সদৃশ জুটি পায়।
• দ্বিতীয় তারের ভাল অবস্থা, এখন তারা একই মান, এবং কোনও সদৃশ জোড়া নেই।

আপনি যদি অন্য দুটি সম্ভাব্য রাজ্যের সাথে ঘুরে দেখেন তবে আপনি দেখতে পাবেন এটি এটির মধ্যেও প্রসারিত এবং এটি উভয়ভাবেই কাজ করে। সুতরাং এই দুটি তারের এখন একই; আমরা সফলভাবে একটি তারের বিভক্ত করেছি। আমরা তারের যতবার ইচ্ছা তার বিভাজন করতে পারি, প্রতিটি সময় একটি নতুন সেট ব্যবহার করে$a{\star},b{\star},c{\star}$।

অবশিষ্ট সীমাবদ্ধতাগুলি হ'ল:

• আমরা একটি তারের বিভক্ত করতে পারি না,
• আমরা তারের অতিক্রম করতে পারি না,
• আমাদের বিরক্তিকর লেআউট সমস্যা থাকতে পারে কারণ তারের দৈর্ঘ্যের সমতা সম্পর্কে আমাদের অবশ্যই সাবধানতা অবলম্বন করা উচিত।

একটি কর্ডলেস তার!

ভাল, আমার আনন্দের সাথে, তারের বিভাজন কর্ডলেস হয়ে গেল! এটি, উপরের চিত্রগুলিতে আমি তারের একে অপরের পাশে রাখি, তবে এর কোনও কারণ নেই! আমরা তারেরগুলিকে গ্রিডের যে কোনও জায়গায় রাখতে পারি এবং সেগুলি এখনও কথা বলতে বলতে "জড়িয়ে যায়"। এটি আমাদের অনেক সমস্যা বাঁচায়:

• এমনকি তারগুলি অতিক্রম করার বিষয়ে আমাদেরও চিন্তা করতে হবে না। এটি আমাদের নন-প্ল্যানার বৈকল্পিকগুলি থেকে হ্রাস করতে দেয়${\rm\mathbf{3\text{-} S{\small AT}}}$
• আমাদের যে কোনও বিরক্তিকর বিন্যাস করতে হবে, তারগুলি তাদের জায়গাগুলিতে পেয়ে যাওয়া সহজ! কর্ডলেস ফোনের মতো! স্বাধীনতা!
• আমাদের তারের দৈর্ঘ্যের সমতা / অফ বাই বাই লেআউট সম্পর্কে উদ্বিগ্ন হওয়ার দরকার নেই।
• আমরা বেশ কম আকারের হ্রাস করতে পারি; ভেরিয়েবলগুলি প্রতিটি তারের বরাবর অনেকগুলি কর্ডলেস সংযোগ সহ লম্বা তারের স্ট্রিপগুলির একক সেট পাবে। এই সংযোগগুলি ক্লজ-গেটগুলির হবে যা গ্রিডে তার নিজের অবস্থানে থাকবে। ক্লজটিতে এখন কেবল ক্লজ গ্যাজেট এবং তিনটি কর্ডলেস ওয়্যার এতে থাকবে of

অবশিষ্ট সীমাবদ্ধতাগুলি হ'ল:

• আমরা তারের অতিক্রম করতে পারি না,
• আমাদের বিরক্তিকর লেআউট সমস্যা থাকতে পারে কারণ তারের দৈর্ঘ্যের সমতা সম্পর্কে আমাদের অবশ্যই সাবধানতা অবলম্বন করা উচিত।

হ্রাস, প্রথম প্রচেষ্টা

দিন $\Phi(\mathbf x)= \bigwedge_i C_i$ হও $1\text{-in-}3\text{-}{\rm S{\small AT}}$ বুলিয়ান সূত্র

• প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $x_j \in \mathbf x$গ্রিডের নীচে সারি সারি একক দীর্ঘ লম্বা তার ফেলে রাখা।
• প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $C_i \in \Phi(\mathbf x)$, গ্রিডের শীর্ষে একটি ধারা-গেট তৈরি করুন; আপনি চাইলে এগুলি রেখে দিতে পারেন; এটি একটি বর্গক্ষেত্রের অঞ্চলে সেরা পূরণ করুন তবে আপনি এটি একক দীর্ঘ সারিতেও রেখে দিতে পারেন।
• প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $x_j$ একটি ধারাতে পরিবর্তনশীল $C_i$, এর একটিতে কর্ডলেস-তার রাখুন wire $3$ক্লজ গেটের তারের পিনগুলি; অন্য রাখুন$a{\star},b{\star},c{\star}$সংশ্লিষ্ট ভেরিয়েবল তারের / সারিতে প্রতিটি সংযোগের। নেতিবাচক পদগুলিতে তারের দৈর্ঘ্য-সমতা পরিবর্তন করা, এবং মানটিকে অবজ্ঞা করা, দুরের সাথে আরও অনেক দূরে কর্ডলেস সংযোগ স্থাপন করা উচিত।

এটি দেখতে কেমন হতে পারে:

• চিত্র: একটি ধারা, কর্ডলেস তারের সাথে সরাসরি সংযুক্ত। "হটস্পটস" হল যেভাবে আমরা প্রতীকী$a{\star},b{\star},c{\star}$এখান থেকে. এই হটপটগুলি প্রতিটি গ্রিডের ভেরিয়েবলের সাথে সংযুক্ত থাকবে।

এবং এখানে গ্রিডটি দেখতে কেমন হতে পারে তা হল:

• চিত্র: ফলাফল গেম বোর্ড। ভেরিয়েবলগুলি নীচে সারিগুলিতে রেখাযুক্ত থাকে। ধারাগুলি শীর্ষে ছড়িয়ে আছে। এই বিন্যাসটি চতুর্ভুজীয় ব্লোআপ দেয়; একটি স্মার্ট লেআউট চতুর্ভুজ ব্লোআপ এড়াতে পারে।

শেষ মিনিটের বিশদ

সিদ্ধান্তের সমস্যাটি স্মরণ করুন:

একটি প্রদত্ত একটি আচ্ছাদন একটি নিখুঁত টাইলিং আছে? $(n+1) \times (n+2)$ সঙ্গে গ্রিড $n$ অনন্য টাইলস?

সুতরাং একটি জন্য $(n+1) \times (n+2)$ গ্রিড, আমরা কেবল ব্যবহার করতে পারি $n$ভেরিয়েবল। তবে আমাদের হ্রাসের জন্য অনেকগুলি অনন্য পরিবর্তনশীল প্রয়োজন, এর চেয়ে অনেক বেশি$\mathcal O(n)$। এই সমস্যাটি সমাধান করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে।

• একটি উপায়, উভয় অক্ষে গ্রিডের আকার বর্গ করা। সুতরাং এখন আমাদের$\mathcal O\left(|\mathbf x|\times \left|\Phi(\mathbf x)\right|\right)$ গ্রিড নিছক $\in \mathcal O\left(n\right)$, যার অর্থ আমাদের সমস্ত অনন্য সংখ্যার সাথে আবদ্ধ হতে পারে $n$। তারপরে, আমাদের অবশ্যই গ্রিডের বাকী অংশগুলি অবশ্যই পূরণ করতে হবে, আমাদের অনন্য নম্বরগুলি পুনরায় ব্যবহার করতে হবে, তবে আমাদের গ্রিডের সাথে আমাদের সংলগ্ন যে কোনও সংখ্যার বাকী অংশের স্পেস-স্পেসে একে অপরের সংলগ্ন কোনও স্থান স্থাপন না করা সম্পর্কে খুব সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত গ্রিডের এটি করার বিভিন্ন সৃজনশীল উপায় রয়েছে, আমি এটিকে অনুশীলন হিসাবে ছেড়ে দেব। এই পদ্ধতিটি একটি অতিরিক্ত চতুষ্কোণ ব্লোআপকে প্ররোচিত করে, স্পষ্টতই।
• আর একটি, আরও সংক্ষিপ্ত, আরও জটিল উপায়, এর বিভিন্নতা $\mathbf 1$ব্লক। একটি মাত্র বিল্ডিং ব্লকের পরিবর্তে, আমরা ব্যবহার করতে পারি$\mathcal O(n)$বিল্ডিং ব্লকগুলি, এবং তারপরে আমরা তাদের যুক্ত সংখ্যাটি পুনরায় ব্যবহার করতে পারি। এই পদ্ধতিটি আমাদের চতুর্ভুজীয় ব্লোআপ এড়াতে সহায়তা করে।

---

গ্রাফ উত্স

• ডোমিনোসা. পার্ট.আই.টেক্স ( রাইলেটেক্স )
• ডোমিনোসা. পার্ট.আইআই.টেক্স ( রাইলেটেক্স )
• ডোমিনোসা. পার্ট.আইআইআই.টিেক্স ( রাইলেটেক্স )
• ডোমিনোসা. পার্ট.আইভি.টেক্স ( রাইলেটেক্স )

Comments

চমৎকার হ্রাস! কেবল একটি কৌতূহল: আপনি কীভাবে প্রমাণ করতে পারবেন যে অনুপস্থিত জোড়গুলি (তারে-দেয়াল-গ্যাজেটগুলি বোর্ডে রাখার পরে) একটি আয়তক্ষেত্রাকার (এন + 1) এক্স (এন + 2) গ্রিডে প্যাক করা যায় (বহু-কালীন সময়ে)? আমার মনে একই রকম হ্রাস ছিল, তবে কীভাবে প্রমাণ করা যায় না যে "অব্যক্ত" জোড়গুলি একটি (সম্ভবত আরও বৃহত্তর) আয়তক্ষেত্রগুলিতে সাজানো যেতে পারে (গেমের নিয়মগুলি প্রতিটি টাইলকে জানিয়েছে)$[a_i,b_i]$ সঙ্গে $a_i,b_i=1..n$ একটি বৈধ ডেমোমোসা বোর্ডে ব্যবহৃত হয়)

— ভোর

আমি এই সমস্ত মন্তব্য আমার উত্তরে সরিয়ে নেব, এবং আমার পরবর্তী বড় সংশোধনীতে এটি আরও ব্যাপক করে তুলব।

— রিয়েলজ স্লাও

ঠিক আছে, আমি এটির জন্য অপেক্ষা করব!

— ভোর

@ রিলেজস্লাও, আপনাকে অনেক ধন্যবাদ! আমার এখনও এটি পড়ার সময় নেই তবে এটি দেখতে খুব সুন্দর লাগছে।

— Yoav বার sinai

@ রিলেজস্লাও, আপনার সাথে সরাসরি যোগাযোগ করার কোন উপায় আছে?

— Yoav বার sinai