আমি বিশ্বাস করি হ্যামিলটোনীয় পথ থেকে আমি হ্রাস পেয়েছি , এইভাবে সমস্যাটি এনপি-হার্ড প্রমাণ করে।
ডাব্লু- এটির জন্য সাক্ষীকে কল করুন , যদি এটি প্রশ্ন থেকে শর্তটি পূরণ করে (এ-তে প্রতিটি এর জন্য, রয়েছে যা )। একজন এল ∈ একজন মি ≥ 1 { W মি + + আমি | 0 ≤ আমি < | এল | } = এলw∈Σ∗AL∈Am≥1{wm+i∣0≤i<|L|}=L
মূল সমস্যা সিদ্ধান্ত সংস্করণ বিবেচনা করুন, অর্থাত্ সিদ্ধান্ত নেন কিছু কিনা এবং , সেখানে একজন সাক্ষী এর সর্বাধিক দৈর্ঘ্য । বহুবর্ষীয় সময়ের মধ্যে ওরাকল হিসাবে মূল সমস্যাটি ব্যবহার করে এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে (সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত সাক্ষী খুঁজুন, তারপরে এর দৈর্ঘ্যের তুলনা ) করুন।কে ≥ 0 এ কে কেAk≥0Akk
এখন হ্রাসের মূল জন্য। যাক একটি সহজ, undirected, সংযুক্ত গ্রাফ দেখুন। প্রতিটি For এর জন্য , এ ভার্টেক্স এবং এর সংলগ্ন সমস্ত । সেট এবং । তারপরে এর একটি হ্যামিল্টোনীয় পথ রয়েছে এবং যদি কেবলমাত্র দৈর্ঘ্যের এর পক্ষে কোনও সাক্ষী থাকে ।ভ ∈ ভি এল ভি = { ভি } ∪ { ই ∈ ই ∣ ভ ∈ ই } ভি Σ = ই এ = { এল ভি ∣ ভি ∈ ভি } জি এ 2 | E | + 1G=(V,E)v∈VLv={v}∪{e∈E∣v∈e}vΣ=EA={Lv∣v∈V}GA2|E|+1
প্রুফ। যাক একটি হ্যামিল্টনিয়ান পথ হবে এবং পথে সব প্রান্ত সেট। প্রতিটি , সেটটি সংজ্ঞায়িত করুন । প্রতিটি জন্য একটি স্বেচ্ছাসেবী অর্ডার Choose চয়ন করুন । শব্দ জন্য সাক্ষী , যেহেতু সাবস্ট্রিং দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় , দ্বারা , এবং প্রতিটি , , জিv1e1v2…en−1vnGV ইউ v = এল বনাম ∖ এইচ α বনাম ইউ বনাম W = α বনাম 1 ই 1 α বনাম 2 ই 2 ... ই এন - 1 α বনাম এন একজন এল ভি 1 α 1 ই 1 এল ভি এন ই এনH={e1,e2,…,en−1}vUv=Lv∖HαvUvw=αv1e1αv2e2…en−1αvnALv1α1e1Lvnভি আই আমি∉{1,এন} এল ভি আই ই আই - 1 ইউ ভি আই ই আই ইডব্লু | ভি | -1এইচভি | ডাব্লু | =2 | E | +1en−1αnvii∉{1,n}Lvi দ্বারা উপস্থাপিত হয় । তদ্ব্যতীত, প্রতিটি প্রান্ত দুইবার ঘটে ব্যতিক্রম এ প্রান্ত , যা একবার ঘটে, এবং প্রতিটি প্রান্তবিন্দু একবার ঘটে, দান ।ei−1uvieiEw|V|−1HV|w|=2|E|+1
অন্যান্য দিক জন্য, দিন জন্য একটি অবাধ সাক্ষী হতে সর্বাধিক দৈর্ঘ্য । স্পষ্টতই, প্রতিটি এবং মধ্যে কমপক্ষে একবার ঘটে । সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া, অনুমান প্রতিটি ঘটে সবচেয়ে দুইবার এবং প্রতিটি ঠিক একবার ঘটে; অন্যথায় একটি খাটো সাক্ষী থেকে উপাদানগুলি সরিয়ে পাওয়া যাবে । যাক সব প্রান্ত ঘটমান সেট হতে ঠিক একবার। উপরের অনুমানগুলি দেওয়া, এটি ধরে রেখেছে।এ 2 | E | + 1 ই ∈ ই ভি ∈ ভি ডব্লু ই ∈ ই ডব্লিউ ভি ∈ ভি ডাব্লু এইচ ⊆ ই ডাব্লু | ডাব্লু | = 2 | E | - | এইচ | + | ভি |wA2|E|+1e∈Ev∈Vwe∈Ewv∈VwH⊆Ew|w|=2|E|−|H|+|V|
একটি সংলগ্ন সাবস্ট্রিং বিবেচনা ফর্মের , যেখানে , । আমরা বলি যে সংলগ্ন are লক্ষ্য করুন যে যদি , হয়, তবে , কারণ শুধুমাত্র একবার দেখা যায়, তবুও এটি তে দুটি উল্লম্ব সংলগ্ন । সুতরাং, সর্বাধিক এক থাকতে পারে । একইভাবে, কোন প্রান্ত ঘটতে পারে প্রথম প্রান্তবিন্দু আগে বা গত প্রান্তবিন্দু পরে।ইউ এ 1 ই 2 … ই কে ভি ইউ , ভ ∈ ভি ই আই ∈ ই ইউ , ভি ই আই ∈ এইচ এ আই = { ইউ , ভি } ই আই জি ই আই এইচ এইচ ডব্লিউwue1e2…ekvu,v∈Vei∈Eu,vei∈Hei={u,v}eiGeiHHw
এখন, আছেউল্লম্ব, সুতরাং । সেখান থেকে এটি অনুসরণ করে । যেহেতু আমরা অনুমান করি , সুতরাং আমরা সমতা পাই। থেকে সেখানে আমরা পেতে । পায়রার খোপ নীতি দ্বারা, সেখান থেকে একটি প্রান্ত হয় মধ্যে সংলগ্ন ছেদচিহ্ন প্রতিটি জোড়া মধ্যে । বোঝাতে থেকে সব উপাদান অর্ডার তারা প্রদর্শিত । এটি অনুসরণ করে যে হ'ল একটি হ্যামিল্টোনীয় পথ । | এইচ | ≤ | ভি | - 1 | ডাব্লু | ≥ 2 | E | + 1 | ডাব্লু | ≤ 2 | E | + 1 | এইচ | = | ভি | - 1 এইচ ডাব্লু এইচ 1 এইচ 2 … এইচ এন - 1 এইচ ডাব্লু ভি 1 এইচ 1 ভি 2 এইচ|V||H|≤|V|−1|w|≥2|E|+1|w|≤2|E|+1|H|=|V|−1Hwh1h2…hn−1Hw জি ◻v1h1v2h2…hn−1vnG□
যেহেতু হ্যামিলটোনীয় পাথের অস্তিত্বের সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমস্যাটি এনপি-হার্ড এবং উপরের হ্রাসটি বহুপদী, তাই মূল সমস্যাটি এনপি-হার্ডও।