আমি কীভাবে কোনও পাওয়ারসেটের উপসেটের জন্য সংক্ষিপ্ত প্রতিনিধিত্ব খুঁজে পাব?

আমি নিম্নলিখিত সমস্যার জন্য একটি দক্ষ অ্যালগরিদম বা এনপি-কঠোরতার প্রমাণ খুঁজছি।

যাক একটি সেট এবং হতে এর সাব-সেট নির্বাচন একটি সেট । একটি ক্রম খুঁজুন অন্তত দৈর্ঘ্য যেমন প্রত্যেকের জন্য যে , সেখানে একটি যেমন যে । $\Sigma$ $A\subseteq\mathcal{P}(\Sigma)$ $\Sigma$ $w\in \Sigma^*$ $L\in A$ $k\in\mathbb{N}$ $\{ w_{k+i} \mid 0\leq i < |L| \} = L$

উদাহরণস্বরূপ, জন্য , শব্দ সমস্যার একটি সমাধান, জন্য যেহেতু আছে , জন্য আছে । $A = \{\{a,b\},\{a,c\}\}$ $w = bac$ $\{a,b\}$ $k=0$ $\{a,c\}$ $k=1$

আমার অনুপ্রেরণার জন্য, আমি সীমাবদ্ধ অটোমেটনের প্রান্তগুলির সেটটি উপস্থাপন করার চেষ্টা করছি, যেখানে প্রতিটি প্রান্তটি ইনপুট বর্ণমালা থেকে অক্ষরের সেট দ্বারা লেবেলযুক্ত হতে পারে। আমি একটি একক স্ট্রিং সঞ্চয় করতে চাই এবং তারপরে প্রতিটি প্রান্তে সেই স্ট্রিংয়ের সাথে এক জোড়া পয়েন্টার রাখতে পারি। আমার লক্ষ্যটি সেই স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্য হ্রাস করা।

algorithms formal-languages encoding-scheme

— avakar
সূত্র

অন্য কথায়, সমস্যাটি হ'ল সেটগুলি ক্রম সর্বাধিক?

L_{1}, \dots, L_{n}

$L_1, \dots, L_n$

\sum | L_{i} \cap L_{i + 1} |

$\sum |L_i \cap L_{i+1}|$

— কারোলিস জুডেল ė

@ KarolisJuodelė, আমি মনে করি যে, যথেষ্ট জন্য যেহেতু না আপনি উপাদান রাখবেন করতে হতে পারে মধ্যে যদি তারা এমনকি দুইবার 'থেকে পুনরায় । যেমন , আপনি ভাগ করে নিতে পারেন প্রথম দুই অথবা শেষ দুই নয়, কিন্তু তাদের মধ্যে না মধ্যবর্তী সবকিছু সবচেয়ে কম হবে ।

L_{i}, L_{i + 1}, L_{i + 2}

$L_i, L_{i+1}, L_{i+2}$

L_{i} \cap L_{i + 2}

$L_i \cap L_{i+2}$

w

$w$

L_{i + 1}

$L_{i+1}$

{{a, b}, {a, c}, {a, d}}

$\{\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\}\}$

a

$a$

w

$w$

b a c a d

$bacad$

— অবাকর

@ কারোলিস জুডেল, তদ্ব্যতীত, এমন কিছু মামলা রয়েছে যেখানে কিছু , , যা এটিকে আরও জটিল করে তোলে যেমন একটি ক্ষেত্রে "প্রতিবেশী আদেশ" মোট নয়।

i \neq j

$i\neq j$

L_{i} \subseteq L_{j}

$L_i\subseteq L_j$

— অবাকর

শুধু উত্সাহিত করার জন্য, যদি আমি প্রশ্নটি সঠিকভাবে পেয়েছি তবে সেটটি যদি , তারপর একটি শব্দ সন্তুষ্ট প্রয়োজনীয়তা দেওয়া, কিন্তু ন্যূনতম (সম্ভাব্য) যেমন শব্দ এবং সমাধান ? :)

A = {{c, o, w}, {o, w, l}, {w, o, l, f}}

$A=\{\{c,o,w\},\{o,w,l\},\{w,o,l,f\}\}$

c o w o w l w o l f

$cowowlwolf$

c o w l f

$cowlf$

— মাইন্ডাউগসেকে

@ মিনডোগাসকে, এটি সঠিক, খুব সুন্দর উদাহরণ :)

— আভাকার

আমি বিশ্বাস করি হ্যামিলটোনীয় পথ থেকে আমি হ্রাস পেয়েছি , এইভাবে সমস্যাটি এনপি-হার্ড প্রমাণ করে।

ডাব্লু- এটির জন্য সাক্ষীকে কল করুন , যদি এটি প্রশ্ন থেকে শর্তটি পূরণ করে (এ-তে প্রতিটি এর জন্য, রয়েছে যা )। $w\in\Sigma^*$ $A$ $L\in A$ $m\geq 1$ $\{w_{m+i}\mid 0\leq i<|L|\} = L$

মূল সমস্যা সিদ্ধান্ত সংস্করণ বিবেচনা করুন, অর্থাত্ সিদ্ধান্ত নেন কিছু কিনা এবং , সেখানে একজন সাক্ষী এর সর্বাধিক দৈর্ঘ্য । বহুবর্ষীয় সময়ের মধ্যে ওরাকল হিসাবে মূল সমস্যাটি ব্যবহার করে এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে (সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত সাক্ষী খুঁজুন, তারপরে এর দৈর্ঘ্যের তুলনা ) করুন। $A$ $k\geq 0$ $A$ $k$ $k$

এখন হ্রাসের মূল জন্য। যাক একটি সহজ, undirected, সংযুক্ত গ্রাফ দেখুন। প্রতিটি For এর জন্য , এ ভার্টেক্স এবং এর সংলগ্ন সমস্ত । সেট এবং । তারপরে এর একটি হ্যামিল্টোনীয় পথ রয়েছে এবং যদি কেবলমাত্র দৈর্ঘ্যের এর পক্ষে কোনও সাক্ষী থাকে । $G=(V,E)$ $v\in V$ $L_v=\{v\}\cup\{e\in E\mid v\in e\}$ $v$ $\Sigma=E$ $A=\{L_v\mid v\in V\}$ $G$ $A$ $2|E|+1$

প্রুফ। যাক একটি হ্যামিল্টনিয়ান পথ হবে এবং পথে সব প্রান্ত সেট। প্রতিটি , সেটটি সংজ্ঞায়িত করুন । প্রতিটি জন্য একটি স্বেচ্ছাসেবী অর্ডার Choose চয়ন করুন । শব্দ জন্য সাক্ষী , যেহেতু সাবস্ট্রিং দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় , দ্বারা , এবং প্রতিটি , , $v_1e_1v_2\ldots e_{n-1}v_n$ $G$ $H=\{e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}\}$ $v$ $U_v=L_v\setminus H$ $\alpha_v$ $U_v$ $w=\alpha_{v_1}e_1\alpha_{v_2}e_2\ldots e_{n-1}\alpha_{v_n}$ $A$ $L_{v_1}$ $\alpha_1e_1$ $L_{v_n}$ $e_{n-1}\alpha_n$ $v_i$ $i\notin\{1, n\}$ $L_{v_i}$ দ্বারা উপস্থাপিত হয় । তদ্ব্যতীত, প্রতিটি প্রান্ত দুইবার ঘটে ব্যতিক্রম এ প্রান্ত , যা একবার ঘটে, এবং প্রতিটি প্রান্তবিন্দু একবার ঘটে, দান । $e_{i-1}u_{v_i}e_i$ $E$ $w$ $|V|-1$ $H$ $V$ $|w|=2|E|+1$

অন্যান্য দিক জন্য, দিন জন্য একটি অবাধ সাক্ষী হতে সর্বাধিক দৈর্ঘ্য । স্পষ্টতই, প্রতিটি এবং মধ্যে কমপক্ষে একবার ঘটে । সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া, অনুমান প্রতিটি ঘটে সবচেয়ে দুইবার এবং প্রতিটি ঠিক একবার ঘটে; অন্যথায় একটি খাটো সাক্ষী থেকে উপাদানগুলি সরিয়ে পাওয়া যাবে । যাক সব প্রান্ত ঘটমান সেট হতে ঠিক একবার। উপরের অনুমানগুলি দেওয়া, এটি ধরে রেখেছে। $w$ $A$ $2|E|+1$ $e\in E$ $v\in V$ $w$ $e\in E$ $w$ $v\in V$ $w$ $H\subseteq E$ $w$ $|w|=2|E|-|H|+|V|$

একটি সংলগ্ন সাবস্ট্রিং বিবেচনা ফর্মের , যেখানে , । আমরা বলি যে সংলগ্ন are লক্ষ্য করুন যে যদি , হয়, তবে , কারণ শুধুমাত্র একবার দেখা যায়, তবুও এটি তে দুটি উল্লম্ব সংলগ্ন । সুতরাং, সর্বাধিক এক থাকতে পারে । একইভাবে, কোন প্রান্ত ঘটতে পারে প্রথম প্রান্তবিন্দু আগে বা গত প্রান্তবিন্দু পরে। $w$ $ue_1e_2\ldots e_kv$ $u,v\in V$ $e_i\in E$ $u,v$ $e_i\in H$ $e_i=\{u,v\}$ $e_i$ $G$ $e_i$ $H$ $H$ $w$

এখন, আছেউল্লম্ব, সুতরাং । সেখান থেকে এটি অনুসরণ করে । যেহেতু আমরা অনুমান করি , সুতরাং আমরা সমতা পাই। থেকে সেখানে আমরা পেতে । পায়রার খোপ নীতি দ্বারা, সেখান থেকে একটি প্রান্ত হয় মধ্যে সংলগ্ন ছেদচিহ্ন প্রতিটি জোড়া মধ্যে । বোঝাতে থেকে সব উপাদান অর্ডার তারা প্রদর্শিত । এটি অনুসরণ করে যে হ'ল একটি হ্যামিল্টোনীয় পথ । $|V|$ $|H|\leq |V|-1$ $|w|\geq 2|E|+1$ $|w|\leq 2|E|+1$ $|H|=|V|-1$ $H$ $w$ $h_1h_2\ldots h_{n-1}$ $H$ $w$ $v_1h_1v_2h_2\ldots h_{n-1}v_n$ $G$ $\square$

যেহেতু হ্যামিলটোনীয় পাথের অস্তিত্বের সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমস্যাটি এনপি-হার্ড এবং উপরের হ্রাসটি বহুপদী, তাই মূল সমস্যাটি এনপি-হার্ডও।

— avakar
সূত্র