রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের শক্তিশালী দ্বৈত উপপাদ্যের সংক্ষিপ্ত এবং স্মার্ট প্রমাণ

লিনিয়ার প্রোগ্রামগুলি বিবেচনা করুন

\begin{array}{ccc} P r i m a l : & A \vec{x} \leq \vec{b} & max {\vec{c}}^{T} \vec{x} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$

\begin{array}{ccc} D u a l : & \vec{c} \leq {\vec{y}}^{T} A & min {\vec{y}}^{T} \vec{b} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$

দুর্বল দ্বৈত উপপাদ্য বলে যে যদি $\vec{x}$ এবং $\vec{y}$ সীমাবদ্ধতার তারপর সন্তুষ্ট $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ । রৈখিক বীজগণিত ব্যবহার করে এর একটি সংক্ষিপ্ত এবং চটজলদি প্রমাণ রয়েছে: $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ ।

শক্তিশালী দ্বৈত উপপাদ্যটি বলে যে the if যদি $\vec{x}$ প্রাথমিকের জন্য সর্বোত্তম সমাধান হয় তবে সেখানে $\vec{y}$ যা দ্বৈত এবং জন্য একটি সমাধান is $\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$ ।

শক্তিশালী দ্বৈত উপপাদ্যের জন্য কি একইভাবে সংক্ষিপ্ত এবং চটজলদি প্রমাণ রয়েছে?

— Kaveh
সূত্র

MIT- র এর অধ্যায় 4 এর অনলাইন web.mit.edu/15.053/www ব্র্যাডলি, Hax এবং Magnanti দ্বারা এই লাইন বরাবর একটি যুক্তিসঙ্গতভাবে সংক্ষিপ্ত প্রমাণ দেয়। এটি কি আপনি খুঁজছেন?

— কোডি

@ কোডি, ভাল, এটি মূলত সিএলআরএস-এর মতোই বলে মনে হচ্ছে। যদি আপনি এটিকে কোনও স্লিক রৈখিক বীজগণিত উপায়ে (অর্থাত্ কোনও অঙ্কের পরিমাণে) প্রকাশ করতে পারেন তবে তা ঠিক হতে পারে।

— কাভেহ

দেখে মনে হচ্ছে যে আমি যা চেয়েছিলাম তা সম্ভবত সম্ভব নয়। ফারকারা স্থানের ক্লোজনেস ব্যবহার করে যার অর্থ সম্ভবত কোনও শুদ্ধ লিনিয়ার বীজগণিতের প্রমাণ নেই।

— কাভেহ

খুব অবিশ্বাস্য কিছু খুঁজে পাওয়ার চেষ্টা করছি, আমার শিক্ষার্থীদের দেখানোর জন্য (যাতে তাদের কেবল বিশ্বাসের উপর দৃ strong় দ্বৈততা নিতে হবে না), এবং আমি যা এসেছি তার বেশিরভাগই খুব জটিল বিষয়শ্রেণীতে রয়েছে। সবেমাত্র ড্যান স্পিলম্যানের ক্লাসের নোটগুলিতে একটি যুক্তি খুঁজে পেয়েছি, যা বেশ সংক্ষিপ্ত এবং আপাতদৃষ্টিতে সহজ। নিশ্চিত নয় যে এটি কোনও জটিলতা লুকিয়ে রেখেছে, বা কিছু অনুপস্থিত থাকলে? (এখনও এটি বলার জন্য যথেষ্টভাবে পরীক্ষা করে দেখেনি

— ম্যাগনাস লাই

আহ, আমার ধারণা, পূর্বের বক্তৃতার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা হ'ল একটি কেন্দ্রীয় বিষয়, যা আমাদের প্রমাণের সিম্প্লেক্স পরিবারে ফিরিয়ে নিয়ে যায়: cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect11/lect11.pdf

— ম্যাগনাস লাই হিটল্যান্ড

সম্ভবত না. এখানে ভিত্তি করে একটি ধারণামূলক যুক্তি দেওয়া হল

ফারকাস লেমা : নিচের বিকল্পগুলির মধ্যে ঠিক একটির সমাধান রয়েছে:

$Ax \le b$ এবং $x \ge 0$

$y^TA\ge 0$ এবং $y^Tb < 0$

এখন আসুন প্রাথমিকের সর্বোত্তম উদ্দেশ্যমূলক মান। কে স্বেচ্ছাচারিতায় চলুন । যাক হতে অতিরিক্ত সঙ্গে শেষ সারি হিসাবে। যাক হতে একটি অতিরিক্ত সঙ্গে গত মান হিসাবে। $\delta$ $\epsilon > 0$ $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ $-\delta - \epsilon$

সিস্টেমটির কোনও সমাধান নেই। ফারকাসের দ্বারা, এখানে একটি রয়েছে যা: $A'x'\le b'$ $y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$ এবং । $y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

মনে রাখবেন যে আমরা অন্যান্য বিকল্পে আছি। সুতরাং । $\epsilon = 0$ $\alpha > 0$

স্কেল যাতে । দ্বৈত সম্ভাব্য। দুর্বল দ্বৈততা বোঝায় । $y'$ $\alpha = 1$ $y$ $\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$

— লুই
সূত্র

আমি মনে করি এটি জেফ এরিকসনের বক্তৃতা নোটগুলির প্রমাণ । আমি এমন কিছু সন্ধান করছি যা এপসিলনের স্টাফগুলি এড়িয়ে যায় (শুদ্ধ লিনিয়ার বীজগণিতের মতো)।

— কাভেহ

জেফির যা কিছু আছে তা কিছুটা আলাদা এবং এটি জ্যামিতির আরও ব্যাখ্যা করে। যাইহোক, আপনি কী চান তা সন্ধান করতে যাচ্ছেন না, এই অর্থে যে সম্ভাব্য অঞ্চলটি একটি পলিহেড্রন, লিনিয়ার স্পেস নয়, তাই কোনও কিছুর অবশেষে এটির ব্যবহার করা প্রয়োজন। (এখানে, এটি ফার্কাসে লুকিয়ে রয়েছে। গার্টনার এবং মাতুয়েকের বই এই জিনিসগুলির জন্য সত্যই একটি ভাল রেফারেন্স I আমি যথেষ্ট নিশ্চিত যে এই প্রমাণটি রয়েছে))

— লুই