) কে-চক্র সমস্যার জন্য অ্যালগরিদম

চক্র সমস্যা একটি সুপরিচিত অসম্পূর্ণ সমস্যা যেখানে প্রয়োজনীয় চক্রের আকারটি ইনপুটটির অংশ। তবে, কে-চক্র সমস্যার ক্ষেত্রে একটি তুচ্ছ বহুবর্ষীয় সময় অ্যালগরিদম থাকে ( যখন স্থির থাকে)। আমি যখন K ধ্রুবক থাকে তখন আমি সর্বাধিক পরিচিত উপরের সীমানায় আগ্রহী। $NP$ $O(n^k)$ $k$

রান টাইম সহ একটি অ্যালগরিদম আছে ? একটি -কালীন অ্যালগরিদমটি গ্রহণযোগ্য। এছাড়াও, এই জাতীয় অ্যালগরিদমের অস্তিত্বের জন্য কি কোনও জটিলতা-তাত্ত্বিক পরিণতি রয়েছে? $O(n^{k-1})$ $o(n^k)$

complexity-theory graph-theory

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র

ও- সময়ে একটি ভারটেক্স গ্রাফ -তে একটি 3-চক্র পাওয়া যাবে , যেখানে ম্যাট্রিক্সের গুণক এক্সপোনেন্ট এবং এটির ফলাফলের ফলে স্পেসে এবং রোদেহ [1]। মূলত, তারা দেখায় যে একটি ত্রিভুজ রয়েছে যদি এবং কেবল এর মূল ত্রিভুজটিতে অ-শূন্য প্রবেশ থাকে। যেহেতু একটি ত্রিভুজটি একটি চক্র , তাই ত্রিভুজ সনাক্তকরণের জন্য সাধারণ চক্র সন্ধানের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করতে পারেন। অ্যালন, ইয়াস্টার এবং জুইক দেখায় যে ga সময় [6] এর মধ্যে ওয়েড গ্রাফে ত্রিভুজগুলি কীভাবে সনাক্ত করা যায় । $n$ $G$ $O(n^\omega)$ $\omega < 2.376$ $O(n^2)$ $G$ $(A(G))^3$ $C_3$ $m$ $O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

দীর্ঘদিন ধরে, নেসেট্রিল এবং পোলজাক [2] এর ফলাফলটি সবচেয়ে বেশি পরিচিত ছিল; তারা দেখিয়েছেন আকারের চক্রের সংখ্যা সময় খুঁজে পাওয়া যেতে পারে এবং স্থান। অবশেষে, Eisenbrand এবং Grandoni [3] একটি জন্য Nesetril এবং Poljak এর ফলাফলে উন্নত -clique এবং ছোট মানের জন্য -clique । বিশেষত, তারা 4 (5) এবং 7 আকারের জন্য অ্যালগোরিদম দিয়েছে , এবং । । $3k$ $O(n^{\omega k})$ $O(n^{2k})$ $(3k+1)$ $(3k+2)$ $k$ $O(n^{3.334})$ $O(n^{4.220})$ $O(n^{5.714})$

আমি যতদূর জানি, সাধারণ এর জন্য আরও ভাল অ্যালগরিদম ডিজাইনের সমস্যাটি উন্মুক্ত। সম্ভাব্য ফলাফল বা জটিলতা তত্ত্বীয় বিবেচনার, ডৌনী এবং ফেলোগণ জন্য (দেখুন উদাঃ [4]) দেখিয়েছেন -clique সঙ্গে প্যারামিটার হয় -hard। ক্লাস প্যারামিটারাইজড হ্রাসের সাথে ক্লিক্যুতে হ্রাসযোগ্য প্যারামিটারাইজড সিদ্ধান্ত সমস্যার ক্লাসকে বোঝায়। এটি বিশ্বাস করা হয় যে ক্লিকিউ স্থির-পরামিতি ট্র্যাকটেবল নয়। প্যারামিটারাইজড হ্রাসের অধীনে ক্লিকের সমতুল্য হিসাবে পরিচিত আরও শত শত সমস্যা রয়েছে। তদ্ব্যতীত, ফিগ এবং কিলিয়ান [5, বিভাগ 2] এর একটি ফলাফল রয়েছে যা যখন অংশ এবং $k$ $k$ $k$ $W[1]$ $W[1]$ $k$ $k \approx \log n$ , তবে পলিটাইম অ্যালগরিদমের উপস্থিতির সম্ভাবনা নেই।

আপনি যদি কিছু নিষিদ্ধ গ্রাফ শ্রেণি বিবেচনা করেন তবে আপনি জোরাল গ্রাফগুলিতে রৈখিক সময়ে সমস্যাটি সমাধান করতে পারেন। কেবলমাত্র একটি স্বরসমন্বয়ঘটিত গ্রাফ একটি উপদল গাছ গনা মধ্যে সময়, এবং তারপর পরীক্ষা যদি থাকে উপদল আকার ঠিক হল । প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে, [6] এর পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে সময়েও ত্রিভুজগুলি পাওয়া যায় । $G$ $O(n+m)$ $k$ $O(n)$

[1] ইতাই, অ্যালন এবং মাইকেল রোদেহ। "গ্রাফের ন্যূনতম সার্কিটের সন্ধান করা হচ্ছে।" 7.4 (1978) কম্পিউটিং-এ সিয়াম জার্নাল: 413-423।

[২] নীয়েটিল, জারোস্লাভ এবং স্বাতোপ্লুক পোলজাক। "সাবগ্রাফ সমস্যার জটিলতায়" " মন্তব্য ম্যাথমেটেমি ইউনিভার্সিটি ক্যারোলিনা 26.2 (1985): 415-419।

[3] আইজেনব্রান্ড, ফ্রেডরিখ এবং ফ্যাব্রিজিও গ্র্যান্ডনি। "নির্দিষ্ট প্যারামিটার চক্র এবং প্রভাবশালী সেট জটিলতায়" " তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান 326.1 (2004): 57-67।

[4] ডাউনে, আরজি এবং মাইকেল আর ফেলো। "প্যারামিটারাইজড জটিলতার মূলসূত্রগুলি।" কম্পিউটার সায়েন্সে স্নাতক পাঠ্য, স্প্রঞ্জার-ভার্লাগ (২০১২)।

[5] ফিগ, উরিল এবং কিলিয়ান, জো। "অন লিমিটেড বনাম পলিনোমিয়াল ননডেটেরিনিজম"। তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের শিকাগো জার্নাল। (1997)

[]] অ্যালন, নোগা, রাফেল ইয়াস্টার এবং উরি জুইক। "প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের চক্রগুলি সন্ধান এবং গণনা।" অ্যালগরিদমিকা 17.3 (1997): 209-223।

— Juho
সূত্র