এই অ্যালগরিদম শেষ পর্যন্ত সমাপ্ত হয় তা প্রমাণ করার সহজ উপায়

Question

ভূমিকা এবং স্বরলিপি:

এখানে আমার অ্যালগরিদমের একটি নতুন এবং সাধারণ সংস্করণ রয়েছে যা মনে হচ্ছে (আমার পরীক্ষাগুলি অনুসারে) শেষ হয়ে গেছে, এবং এখন আমি এটি প্রমাণ করতে চাই।

স্বরলিপি একটি পি ডাইমেনশনাল ডেটা পয়েন্ট (একটি ভেক্টর) পড়ুন। আমি তিনটি সেট A, B এবং সি, কাছে আছে যাতে | ক | = এন , | খ | = মি , | সি | = ঠ : একটি = { x এর $x_i \in \mathbb{R}^p$$p$$|A| = n$$|B| = m$$|C| = l$B = { x j | j = n +

$$A = \{x_i | i = 1, .., n\}$$ C = { x u | তোমার দর্শন লগ করা = ঢ + + মি + + 1 , । । , এন + এম + এল $$B = \{x_j | j = n+1, .., n+m\}$$ $$C = \{x_u | u = n+m+1, .., n+m+l\}$$

প্রদত্ত যাক ঘ একটি এক্স আমি থেকে গড় ইউক্লিডিয় দূরত্ব বোঝাতে এক্স আমি তার কাছে ট পয়েন্ট নিকটতম মধ্যে একজন ; এবং ঘ সি এক্স আমি বোঝাতে থেকে গড় ইউক্লিডিয় দূরত্ব এক্স আমি তার কাছে ট পয়েন্ট নিকটতম সি ।$k \in \mathbb{N^*}$$d_{x_i}^A$$x_i$$k$$A$$d_{x_i}^C$$x_i$$k$$C$

অ্যালগরিদম:

আমার নিম্নোক্ত অ্যালগরিদম রয়েছে যা কয়েকটি থেকে নির্বাচিত উপাদানগুলিকে এ থেকে বি এবং বিপরীতে সরিয়ে এ এবং বি সেটগুলি পুনরাবৃত্তি করে এবং সি সর্বদা একই থাকে (পরিবর্তন হয় না)। এটিকে সহজ করার জন্য: অ্যালগরিদমের উদ্দেশ্য হ'ল সেটগুলি এবং আরও ভালভাবে পৃথক করা$A$ যেমন "পয়েন্ট যে বি আরো একটি পরিচিত সংশোধন সেটের মতই সি এবং" "পয়েন্ট একটি পরিশেষে স্ব-অনুরূপ এবং সি এর থেকে আরও দূরেএবং চূড়ান্ত সেট বি ":$B$$B$$C$$A$$C$$B$

• ... (1)$A' = \{ x_i \in A \mid d_{x_i}^A > d_{x_i}^C \}$
• ; বি = বি ∪ এ ′ ... (২)$A = A \setminus A'$$B = B \cup A'$
• } ... (3)$B' = \{ x_i \in B \mid d_{x_i}^A < d_{x_i}^C$
• ; এ = এ ∪ বি ′ ... (৪)$B = B \setminus B'$$A = A \cup B'$
• একই পদ্ধতি পুনরাবৃত্তি করুন (1), (2), (3) এবং (4) পর্যন্ত: (কোন উপাদান প্যাচসমূহ থেকে বি বা থেকে বি থেকে $A$$B$$B$$A$ , যে একটি 'এবং বি' খালি হয়ে) বা ( বা | বি | ≤ কে )$|A| \leq k$$|B| \leq k$

অ্যালগরিদম দুটি ক্ষেত্রে শেষ হয়:

• কখন বা | খ | কম হয়ে বা সমান $|A|$$|B|$$k$
• বা সর্বাধিক স্ট্যান্ডার্ড কেস, যখন , যার অর্থ A এবং B এর মধ্যে আর কোনও উপাদান চলে না$A' = B' = \emptyset$

প্রশ্ন:

কীভাবে প্রমাণ করতে হয় যে এই অ্যালগরিদম শেষ পর্যন্ত বন্ধ হয়ে যায়? আমি কোনও সুবিধাজনক সম্ভাব্য ফাংশন পাইনি যা অ্যালগরিদম দ্বারা কঠোরভাবে হ্রাস বা সর্বোচ্চ করা যেতে পারে। আমি অসফলভাবে কিছু ফাংশন চেষ্টা করেছি: ফাংশন তবে এটি প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে বৃদ্ধি পাচ্ছে না। ফাংশন ∑ x ∈ A ডি এ x + ∑ x ∈ বি ডি সি এক্স তবে প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে এটি হ্রাস পাচ্ছে না। ফাংশন Σ এক্স ∈ $\sum_{x \in A} d_x^C + \sum_{x \in B} d_x^A$$\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^C$$\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^B$প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে কমছে না বলে মনে হচ্ছে। ফাংশন প্রতিটি পুনরাবৃত্তির এ বৃদ্ধি করা হবে না মনে। সুতরাং সুবিধাজনক সম্ভাব্য ফাংশনটি যা প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে বাড়াতে বা হ্রাস করতে প্রদর্শিত হতে পারে? অথবা আমরা কী ফাংশনটি হ্রাস করতে পারি তা কিন্তু প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে নয় (কিছুটা পুনরুক্তির পরে)? কীভাবে?$\sum_{x \in A} d_x^B + \sum_{x \in B} d_x^A$

মন্তব্য:

• পয়েন্ট নিকটতম এক্স একটি সেটের এস , মাধ্যম: ট পয়েন্ট (অন্যদের তুলনায়$k$$x$$S$$k$ ) এ এস , এর ক্ষুদ্রতম ইউক্লিডিয় দূরত্ব থাকার এক্স । বিশ্লেষণকে সহজ করার জন্যআপনি কেবল কে = 1 নিতে পারেন।$x$$S$$x$$k = 1$
• আমি যদি এই সাহায্য বা নাও হতে পারে জানি না, কিন্তু আমি আমার প্রাথমিক সেটের জন্য নিম্নলিখিত সম্পত্তি আছে : প্রাথমিকভাবে ∀ এক্স আমি ∈ বি , এক্স ঞ ∈ একজন , যদি এক্স খ ∈ সি থেকে নিকটতম বিন্দু x i এবং x a ∈ C হল x j এর নিকটতম পয়েন্ট তবে সর্বদা d i s t a n c e ( x i , x b$A, B, C$$\forall x_i \in B, x_j \in A$$x_b \in C$$x_i$$x_a \in C$$x_j$ । এর স্বজ্ঞাত অর্থ হ'ল বি এরপয়েন্টগুলি A এর পয়েন্টগুলির চেয়ে C এর কাছাকাছি।$distance(x_i, x_b) < distance(x_j, x_a)$$B$$C$$A$
• যে বিশ্লেষণ সহজ করে তোলে তাহলে: এটা অ্যালগরিদম যেখানে যত তাড়াতাড়ি থেকে একটি বিন্দু সামান্য ভিন্ন সংস্করণ বিবেচনা সম্পূর্ণভাবে সম্ভব সরানো হবে বি , তা থেকে সরানোর সময় একটি থেকে বি (অতিক্রম ছাড়া একটি ' ), এবং বি এর বিপরীতে ।$A$$B$$A$$B$$A'$$B$

Comments

আপনি কেন এই বিশেষ অ্যালগরিদমের প্রতি আগ্রহী?

shna: আপনি ইচ্ছামতভাবে তিনটি সেটে বিভক্ত পয়েন্ট সংগ্রহের সাথে কী করতে চান?

@ shna অ্যালগরিদমের উদ্দেশ্য এবং লক্ষ্য সম্পর্কে জানার ফলে উন্নত স্বজ্ঞাততা হতে পারে এবং তাই সমস্যাটিকে সহায়তা করতে পারে।

@RichardRast ব্যাখ্যা সহজ করুন: উদ্দেশ্য ভাল সেট আলাদা হয় এবং বি যেমন "পয়েন্ট যে বি আরো একটি পরিচিত সংশোধন সেটের মতই সি এবং" পয়েন্ট " একজন পরিশেষে স্ব-অনুরূপ এবং সি এর থেকে আরও দূরে এবং চূড়ান্ত সেট বি "। $A$$B$$B$$C$$A$$C$$B$

— shn

সিস্টেরিতে অভিবাসন প্রত্যাখ্যান করা হয়েছিল।

Answer 1

কেস = 1 সমাধান এখানে :$k = 1$

ধরুন অ্যালগরিদম শেষ হবে না। যেহেতু অ্যালগরিদমের সীমাবদ্ধ সংখ্যক রাজ্য রয়েছে ( এবং B এর বিন্দুগুলির অ্যাসাইনমেন্ট ), অ্যালগরিদম রাষ্ট্রকে অবশ্যই একটি চক্রের পুনরাবৃত্তি করতে হবে। যেহেতু চক্রটি বিভিন্ন রাজ্যের মধ্য দিয়ে যায়, তাই অবশ্যই একটি পয়েন্ট থাকতে হবে যা প্রায়শই এ এবং বি এর মধ্যে স্যুইচ করে ।$A$$B$$A$$B$

এমন একটি বিন্দু হতে দিন যা প্রায়শই এই চক্রটিতে অসীম পরিবর্তন করে। চক্রের মধ্যে অ্যালগরিদমের প্রথম পুনরাবৃত্তিটি চয়ন করুন, যখন এক্স বি থেকে ক এ স্যুইচ করে । জন্য এক্স স্যুইচ করতে একটি , সেখানে অন্তত এক পয়েন্ট হয়েছে এক্স ' মধ্যে একজন সঙ্গে, ঘ সি এক্স > ঘ আমি গুলি টন ( এক্স , এক্স ' ) । যথেচ্ছভাবে লেবেলযুক্ত সবচেয়ে ছোট লেবেলটি বেছে নিন; একটি ফাংশন এফ নির্ধারণ করুন যাতে এক্স ′ । নোট করুন যে $x$$x$$B$$A$$x$$A$$x'$$A$$d_x^C > dist(x, x')$$f$$f(x) = x'$ এছাড়াও মধ্যে স্যুইচ আবশ্যক একটি এবং বি অসীম প্রায়ই (কারণ যদি এক্স ' থাকুন একজন স্থায়ীভাবে, তাই would এক্স ), তাই আমরা নিতে পারেন চ ( চ ( এক্স ) ) , চ ( চ ( চ ( এক্স ) ) ) , ইত্যাদি$x'$$A$$B$$x'$$A$$x$$f(f(x)), f(f(f(x))),$

যেহেতু আমাদের সীমিত সংখ্যক পয়েন্ট রয়েছে, চ এর পুনরাবৃত্তি অবশ্যই শেষ পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি করতে হবে: কিছু মি > এন এর জন্য । এখন সি: ডি সি এফ ( এক্স ) , ডি সি এফ 2 ( এক্স ) , থেকে দূরত্বের সংশ্লিষ্ট অনুক্রমগুলি দেখুন । । । ঘ সি চ এন ( এক্স ) , । । $f^n(x) = f^m(x)$$m > n$$d_{f(x)}^C, d_{f^2(x)}^C, ... d_{f^n(x)}^C, ...$। যেহেতু এটি পুনরাবৃত্তি করে, এই ক্রমটি অভিন্নভাবে হ্রাস হতে পারে না। একটা বারবার হওয়া আবশ্যক ) যেমন যে ডি সি f ও - 1 ( এক্স ) ≤ ডি সি এফ ও ( $o$$d_{f^{o-1}(x)}^C \leq d_{f^o(x)}^C$

এখন, এবং f o ( x ) একে অপরের সাথে যথেষ্ট ঘনিষ্ঠভাবে একে অপরকে A তে রাখার কারণ হয়ে থাকে is এটি হ'ল, তারা একে অপরের নিকটবর্তী সি : ডি সি ফ ও ( এক্স ) ≥ ডি সি এফ ও - 1 ( এক্স ) > ডি আই এস টি ( এফ ও - 1 ( এক্স ) $f^{o-1}(x)$$f^o(x)$$A$$C$ ( চ এর সংজ্ঞা থেকে)$d_{f^o(x)}^C \geq d_{f^{o-1}(x)}^C > dist(f^{o-1}(x), f^o(x))$$f$

সুতরাং যত তাড়াতাড়ি এবং চ ও ( এক্স ) উভয় এ তে থাকবে , তারা একে অপরকে চিরকালের জন্য এ রাখবে (অ্যালগোরিদমের 1-2 টি লাইন দেখুন)। এটি এফের বিরোধিতা করে যে চ এর সমস্ত পুনরাবৃত্তিকে প্রায়শই অসীম সেট সেট করতে হবে। সুতরাং, যদি জন্য ট = 1 আলগোরিদিম বন্ধ।$f^{o-1}(x)$$f^o(x)$$A$$A$$f$$k = 1$

Comments

এটি কোনওরকম জটিল এবং কেবল জন্য প্রদর্শিত হতে পারে । বরং, যদি আমরা কোনও সম্ভাব্য ফাংশন অর্জন করতে পারি যা প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে বাড়ছে বা হ্রাস পাচ্ছে তা দেখানো যেতে পারে much অথবা একটি যা "1" এর পরিবর্তে "কিছু" পুনরাবৃত্তির পরে বাড়ছে বা কমছে দেখানো যেতে পারে$k = 1$

— shn

@ শ্নান আমি নিশ্চিত নই যে আপনি কারওর প্রুফ টেকনিক বেছে নেওয়ার সমালোচনা করছেন যা আপনার নিজের সমস্যার চেয়ে সমাধান করতে আরও সফল হয়েছে। বিশেষত যখন আপনার নিজের প্রশ্ন আপনার পছন্দের কৌশলটি ব্যবহারের জন্য চারটি ব্যর্থ প্রচেষ্টা তালিকাভুক্ত করে।

— ডেভিড রিচার্বি

@ ডেভিডরিচার্বি আমি সমালোচনা করছি না;) আমি আসলে সমাধানটির বিষয়ে আইআরসি-তে "কার্যকারক" (যিনি এই উত্তরটি দিয়েছিলেন) দিয়ে আলোচনা করেছিলেন এবং আমরা পেয়েছি যে জন্য এটি এভাবে প্রমাণ করা সম্ভব হবে না ; সুতরাং আমরা অনুমান করেছি যে যদি আমরা কোনও সম্ভাব্য ফাংশন অর্জন করতে পারি তবে এটি আরও ভাল যা প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে কমতে দেখানো যেতে পারে। আমার মন্তব্যটি কেবল তথ্যবহুল ছিল। $k > 1$

— shn