যেভাবে প্রমাণ করতে পারি যে 3SAT এর একটি সীমাবদ্ধ সংস্করণ যেখানে কোনও আক্ষরিক একাধিকবার ঘটতে পারে না, বহুপক্ষীয় সময়ে দ্রবণযোগ্য?

Question

আমি একটি কার্য সম্পাদনের চেষ্টা করছি ( এস। দাশগুপ্ত, সিএইচ পাপাদিমিট্রিয়ো এবং ইউভি ভিজিরাণী , চ্যাপ 8, সমস্যা 8.6 এ দ্বারা রচনা করেছেন), এবং আমি এতে কী বর্ণনা করছি তা বর্ণনা করছি:

প্রদত্ত যে 3 এসএটি এনপি-সম্পূর্ণ রয়ে গেছে এমন সূত্রগুলিতে সীমাবদ্ধ থাকা সত্ত্বেও যেখানে প্রতিটি আক্ষরিক সর্বাধিক দ্বিগুণ প্রদর্শিত হয়, দেখান যে প্রতিটি আক্ষরিক যদি একবারে প্রদর্শিত হয় তবে সমস্যাটি বহুবর্ষীয় সময়ে সমাধানযোগ্য।

আমি ক্লজগুলি একাধিক গ্রুপে আলাদা করে সমাধান করার চেষ্টা করেছি:

1. যে ক্লজগুলির অন্যান্য ধারাগুলির সাথে কোনও বৈকল্পিক ছিল না
2. যে ক্লজগুলির মধ্যে কেবলমাত্র 1 টি পরিবর্তনশীল ছিল
3. যে ক্লজগুলির মধ্যে 2 টি ভেরিয়েবল ছিল সাধারণ
4. যে ক্লজগুলিতে সমস্ত 3 টি ভেরিয়েবল অভিন্ন ছিল

আমার যুক্তিটি এই প্রান্তে চেষ্টা করা হয়েছিল যে এই জাতীয় গোষ্ঠীর # টি সীমাবদ্ধ (একাধিকবার আক্ষরিক উপস্থিত না হওয়ার নিষেধাজ্ঞার কারণে), এবং আমরা প্রথমে সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীটিকে (গ্রুপ 4) সন্তুষ্ট করার চেষ্টা করতে পারি এবং তারপরে বিকল্পটি প্রতিস্থাপন করতে পারি স্বল্প বাধাপ্রাপ্ত গোষ্ঠীগুলির ফলাফল (3, 2 এবং তারপরে 1), তবে আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে এটি আমাকে কোথাও পাচ্ছে না, কারণ 3SAT এর প্রতিবন্ধী সংস্করণের ক্ষেত্রে এটির চেয়ে আলাদা নয় যেখানে প্রতিটি আক্ষরিক উপস্থিত হতে পারে সর্বাধিক দ্বিগুণ, যা এনপি-সম্পূর্ণ হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে।

আমি কোনও ইঙ্গিত / সমাধানের জন্য অনলাইনে অনুসন্ধান করার চেষ্টা করেছি, তবে আমি এই লিঙ্কটিই পেয়েছিলাম , যা বর্ণিত ইঙ্গিতটি আমার পক্ষে যথেষ্ট পরিমাণে বোঝায় না, যা আমি এখানে ভার্ভ্যাটিম পুনরুত্পাদন করছি:

ইঙ্গিত: যেহেতু একবার সর্বাধিক প্রতিটি আক্ষরিক প্রদর্শিত হবে, 2SAT সমস্যা এই সমস্যাটি রূপান্তর করুন - অত: পর বহুপদী সময়, একটি আক্ষরিক যদি দফা দেখা এবং পরিপূর্ণ এক্স আমি (অর্থাত, ¯ এক্স আমি দফা মধ্যে) সি ট , একটি নতুন ধারা গঠন করা ধারা C j ∨ ¯ C k ।সি $x_i$$C_j$$x_i$$\overline{x_i}$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$

উভয় এবং সি ট তিন লিটারেল প্রতিটি আছে - আমি কীভাবে আমি 2SAT মধ্যে করছেন তা রূপান্তর সম্পর্কে যেতে হবে পাননি সি ঞ ∨ ¯ সি ট (অথবা ¯ সি ঞ ∨ সি ট যদি আমি এটা ভুল পড়া)।$C_j$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$$\overline{C_j \lor C_k}$

ইঙ্গিতটি ডিক্রিপ্ট করার ক্ষেত্রে, বা আমি অন্বেষণ করতে পারে এমন কোনও পথ সরবরাহের ক্ষেত্রে যে কোনও সহায়তা সত্যই প্রশংসিত হবে।

Answer 1

সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, আমরা ধরে নিতে পারি যে প্রতিটি পরিবর্তনশীল একবারে ইতিবাচকভাবে এবং ঠিক একবার নেতিবাচকভাবে প্রদর্শিত হয় (যদি কোনও পরিবর্তনশীল কেবল একবার দোষটি পূরণ করার জন্য এর মান সেট করে এবং ধারাটি সরিয়ে দেয়) প্রদর্শিত হয়)। আমরা এটিও ধরে নিতে পারি যে একটি চলক একাধিক দফাতে একাধিকবার উপস্থিত হয় না (যদি কোনও ভেরিয়েবলটি একটি ধারাতে ইতিবাচক এবং নেতিবাচকভাবে উভয়ভাবে উপস্থিত হয়, তবে ধারাটি সন্তুষ্ট এবং অপসারণ করা যেতে পারে)। এগুলি সন্তুষ্টি পরিবর্তন করে না।

একের পর এক ভেরিয়েবলগুলি অপসারণের জন্য রেজুলিউশন রুলটি ব্যবহার করুন (যেহেতু প্রতিটি ভেরিয়েবল একবারে ইতিবাচক এবং একবার নেতিবাচকভাবে প্রদর্শিত হয় এটি নিরোধক প্রক্রিয়া)। যদি কোনও মুহুর্তে আমরা খালি ধারাটি পাই তবে ধারাগুলির সেটটি অসন্তুষ্টিজনক, অন্যথায় এটি সন্তোষজনক। এই কারণ:

• রেজোলিউশন একটি সম্পূর্ণ প্রস্তাবিত প্রমাণ সিস্টেম (যেমন কোনও ক্লজটি যদি ক্লজগুলির সেট দ্বারা যুক্তিযুক্তভাবে চাপিয়ে দেওয়া হয় তবে এটি কেবল রেজোলিউশনের নিয়ম ব্যবহার করে ধারাগুলির সেট থেকে প্রাপ্ত হয়),

• ধারাগুলির একটি সেট অসন্তুষ্টিজনক যদি এটি যৌক্তিকভাবে খালি শর্তটি বোঝায়।

$(x \lor B) \land (\overline{x} \lor C) \land \dots)$$(B \lor C) \land \dots$, যার রেজোলিউশনের আগের তুলনায় একটি কম ধারা রয়েছে। বিপরীতে, আপনি যদি প্রতিটি আক্ষরিকের উপস্থিতির সংখ্যার উপর কোনও বাধা না রেখে 3SAT সূত্রে এটি প্রয়োগ করেন, রেজোলিউশন প্রয়োগ করার ফলে ধারাগুলির সংখ্যা তাত্পর্যপূর্ণভাবে বাড়তে পারে।

Comments

$a\lor B$$\lnot a\lor C$$B\lor C$

রেজোলিউশন ব্যবহৃত হওয়ার পরেও আক্রমণকারীটি এখনও প্রযোজ্য তা নিশ্চিত করা দরকার। এই পদক্ষেপের পরে, স্যাট উদাহরণ (নোট, এটি আর 3SAT নয়) প্রতিটি আক্ষরিক সংক্ষিপ্তভাবে একবার এবং ইতিবাচকভাবে একবার সংঘটিত হওয়ার সম্পত্তিটি ধরে রাখে। এটি এও দেখায় যে প্রশ্নে 3 এসএটি নিষেধাজ্ঞার প্রয়োজন ছিল না; ইউনিট রেজোলিউশন ডিগ্রি -২ সীমাবদ্ধতাকে সন্তুষ্ট করে যে কোনও স্যাট উদাহরণের জন্য কাজ করে। সংক্ষেপে: ইউনিট রেজোলিউশন রৈখিক সময়ে ডিগ্রি -২ এসএটি সমাধান করে।

— আন্দ্রেস সালামন

আমি শেষ অংশটি বুঝতে পারি না। সাধারণ 3 এসএটি তে কেন ক্লজগুলি তাত্পর্যপূর্ণভাবে বাড়বে?

— পার্থ তমনে