মাস্টার উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়?


11

নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তি সমীকরণ দেওয়া

T(n)=2T(n2)+nlogn
আমরা মাস্টার উপপাদ্য প্রয়োগ করতে চাই এবং নোট করুন যে

nlog2(2)=n.

এখন আমরা জন্য প্রথম দুটি কেস পরীক্ষা করে দেখি , তা কিনাε>0

  • nlognO(n1ε) বা
  • nlognΘ(n)

দুটি মামলা সন্তুষ্ট নয়। সুতরাং আমাদের তৃতীয় কেসটি পরীক্ষা করতে হবে, তা কিনা

  • nlognΩ(n1+ε)

আমি মনে করি তৃতীয় শর্তটিও সন্তুষ্ট নয়। কিন্তু কেন? এবং কেন মাষ্টার উপপাদ্যকে এই ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যায় না তার জন্য একটি ভাল ব্যাখ্যা কী হবে?



4
কেস তিন সন্তুষ্ট নয় কারণ নয় কোন । Ω ( n ϵ ) ϵ > 0 লগ এনlognΩ(nϵ)ϵ>0lognnϵ
ল'এইচপিটালের নিয়মটি

1
একবার আপনি দেখান যে উভয় ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য নয়, এটি প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত আপনি মাস্টার উপপাদ্যটি প্রয়োগ করতে পারবেন না।
রাফায়েল

মাস্টার উপপাদ্য কার দরকার? পুনরাবৃত্তি গাছ ব্যবহার করুন।
জেফই

উত্তর:


7

মাস্টার থিওরেমের যে তিনটি ক্ষেত্রে আপনি উল্লেখ করেছেন সেগুলি থমাস এইচ। কর্পেন, চার্লস ই লিজারসন, রোনাল্ড এল। রিভস্ট এবং ক্লিফোর্ড স্টেইন (দ্বিতীয় সংস্করণ, 2001) দ্বারা আলগোরিদিমগুলির পরিচিতিতে প্রমাণিত হয়েছে ।

এটি সঠিকভাবে পালন করা হয় যে প্রশ্নে পুনরাবৃত্তি কেস 2 এবং কেস 3. মধ্যে বৃক্ষের পতন অর্থাৎ যতো তাড়াতাড়ি বৃদ্ধি কিন্তু ধীর চেয়ে কোনো ।f(n)=nlognnn1+εε>0

তবে এই পুনরাবৃত্তিটি কভার করার জন্য উপপাদ্যটি সাধারণ করা যেতে পারে। বিবেচনা

কেস 2 এ: কিছু জন্য বিবেচনা করুন ।f(n)=Θ(nlogbalogbkn)k0

কেস হলে এই কেস 2 হ্রাস করে । এটি স্বজ্ঞাতভাবে পরিষ্কার যে পুনরাবৃত্তি গাছের প্রতিটি শাখা বরাবর যোগ করা হচ্ছে বার। আরও একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণের স্কেচ নীচে পাওয়া যাবে। চূড়ান্ত ফলাফল এটিk=0f(x)Θ(logbn)

T(n)=Θ(nlogbalogbk+1n)

ইন আলগোরিদিম পরিচিতি এই বিবৃতি একটি ব্যায়াম যেমন ছেড়ে দেওয়া হয়।

এই বিবৃতিটি পুনরায় প্রশ্নে পুনর্বিবেচনা প্রয়োগ করা অবশেষে আমরা পাই

T(n)=Θ(nlog2n).

মাস্টার উপপাদ্য সম্পর্কিত আরও বিশদটি চমৎকার (imho) উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় পাওয়া যাবে

@ এসডিসিভিভিসি মন্তব্যগুলিতে উল্লেখ করেছেন যে এখানে মামলা 3 প্রয়োগ হয় না তা প্রমাণ করার জন্য যে কেউ এল'হসপালের নিয়মটি আবেদন করতে পারে যে বলে যে

limxcf(x)g(x)=limxcf(x)g(x)

এর নিকটবর্তী অঞ্চলে পার্থক্যযোগ্য কোনও ফাংশনের জন্য এবং । এটিকে এবং to এ প্রয়োগ করাতে দেখাতে পারে যেf(x)g(x)cf(n)=nlogng(n)=n1+εlognΘ(n1+ε).


কেস 2 এ এর ​​জন্য মাস্টার উপপাদ্যের প্রুফের স্কেচ।

এটি প্রয়োজনীয় পরিবর্তনগুলির সাথে অ্যালগরিদমের ভূমিকা থেকে প্রমাণের অংশগুলির একটি পুনরুত্পাদন ।

প্রথমে আমরা নীচের লেমাকে প্রমাণ করি।

লেমা এ:

একটি ফাংশন বিবেচনা করুন

g(n)=j=0logbn1ajh(n/bj)

যেখানেতারপরে h(n)=nlogbalogbkn.g(n)=nlogbalogbk+1n.

প্রুফ: কে জন্য অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করাতে একজন h(n)g(n)

g(n)=nlogbalogbknj=0logbn1(ablogba)j=nlogbalogbk+1n.

Qed

যদি হল একটি সঠিক শক্তি তবে একটি পুনরাবৃত্তি দেওয়া হবেnb

T(n)=aT(n/b)+f(n),T(1)=Θ(1)

এক হিসাবে এটি আবার লিখতে পারেন

T(n)=Θ(nlogba)+j=0logbn1ajf(n/bj).

সাথে প্রতিস্থাপন করা , বাইরে নিয়ে যাওয়া এবং লেমমা এ প্রয়োগ করা আমরা পাইf(n)Θ(nlogbalogbkn)Θ

T(n)=Θ(nlogbalogbk+1n).

একটি অবাধ পূর্ণসংখ্যা এই সরলীকরণ যে একটি ক্ষমতা নয় এই পোস্টের সুযোগ পরলোক হল।nb


1

আকরা-বাজি উপপাদ্য হ'ল মাস্টার উপপাদকের কঠোর সাধারণীকরণ। বোনাস হিসাবে এটির প্রমাণ হ'ল ইন্টিগ্রালের এক ঝলকানি যা আপনার মাথাকে স্পিন করবে ;-)

যাই হোক না কেন, সেডজউইক তাঁর "অ্যালগরিদমের বিশ্লেষণের ভূমিকা" তে দৃinc়ভাবে যুক্তি দিয়েছিলেন যে টাইপ অ্যাসিম্পটোটিকগুলি প্রমাণ করার জন্য প্রচেষ্টা করা উচিত ।T(n)g(n)

আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.