মাস্টার উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়?

নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তি সমীকরণ দেওয়া

T (n) = 2 T (\frac{n}{2}) + n \log n

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$ আমরা মাস্টার উপপাদ্য প্রয়োগ করতে চাই এবং নোট করুন যে

n^{\log_{2} (2)} = n .

$n^{\log_2(2)} = n.$

এখন আমরা জন্য প্রথম দুটি কেস পরীক্ষা করে দেখি , তা কিনা $\varepsilon > 0$

$n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$ বা
$n\log n \in \Theta(n)$ ।

দুটি মামলা সন্তুষ্ট নয়। সুতরাং আমাদের তৃতীয় কেসটি পরীক্ষা করতে হবে, তা কিনা

$n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$ ।

আমি মনে করি তৃতীয় শর্তটিও সন্তুষ্ট নয়। কিন্তু কেন? এবং কেন মাষ্টার উপপাদ্যকে এই ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যায় না তার জন্য একটি ভাল ব্যাখ্যা কী হবে?

— জোয়াকিম
সূত্র

উইকিতে কেস 2 জেনেরিক ফর্মটি দেখুন ।

কেস তিন সন্তুষ্ট নয় কারণ নয় কোন ।

\log n

$\log n$

Ω (n^{ϵ})

$\Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

\frac{\log n}{n^{ϵ}}

$\frac{\log n}{n^{\epsilon}}$

— ল'এইচপিটালের নিয়মটি

একবার আপনি দেখান যে উভয় ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য নয়, এটি প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত আপনি মাস্টার উপপাদ্যটি প্রয়োগ করতে পারবেন না।

— রাফায়েল

মাস্টার উপপাদ্য কার দরকার? পুনরাবৃত্তি গাছ ব্যবহার করুন।

— জেফই

ম্যাথ.এসই তে একই প্রশ্ন ।

— রাফেল

উত্তর:

মাস্টার থিওরেমের যে তিনটি ক্ষেত্রে আপনি উল্লেখ করেছেন সেগুলি থমাস এইচ। কর্পেন, চার্লস ই লিজারসন, রোনাল্ড এল। রিভস্ট এবং ক্লিফোর্ড স্টেইন (দ্বিতীয় সংস্করণ, 2001) দ্বারা আলগোরিদিমগুলির পরিচিতিতে প্রমাণিত হয়েছে ।

এটি সঠিকভাবে পালন করা হয় যে প্রশ্নে পুনরাবৃত্তি কেস 2 এবং কেস 3. মধ্যে বৃক্ষের পতন অর্থাৎ যতো তাড়াতাড়ি বৃদ্ধি কিন্তু ধীর চেয়ে কোনো । $f(n) = n \log n$ $n$ $n^{1+\varepsilon}$ $\varepsilon > 0$

তবে এই পুনরাবৃত্তিটি কভার করার জন্য উপপাদ্যটি সাধারণ করা যেতে পারে। বিবেচনা

কেস 2 এ: কিছু জন্য বিবেচনা করুন । $f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$ $k\geq 0$

কেস হলে এই কেস 2 হ্রাস করে । এটি স্বজ্ঞাতভাবে পরিষ্কার যে পুনরাবৃত্তি গাছের প্রতিটি শাখা বরাবর যোগ করা হচ্ছে বার। আরও একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণের স্কেচ নীচে পাওয়া যাবে। চূড়ান্ত ফলাফল এটি $k = 0$ $f(x)$ $\Theta (\log_b n)$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n)

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$ ।

ইন আলগোরিদিম পরিচিতি এই বিবৃতি একটি ব্যায়াম যেমন ছেড়ে দেওয়া হয়।

এই বিবৃতিটি পুনরায় প্রশ্নে পুনর্বিবেচনা প্রয়োগ করা অবশেষে আমরা পাই

T (n) = Θ (n \cdot \log^{2} n) .

$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$

মাস্টার উপপাদ্য সম্পর্কিত আরও বিশদটি চমৎকার (imho) উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় পাওয়া যাবে ।

@ এসডিসিভিভিসি মন্তব্যগুলিতে উল্লেখ করেছেন যে এখানে মামলা 3 প্রয়োগ হয় না তা প্রমাণ করার জন্য যে কেউ এল'হসপালের নিয়মটি আবেদন করতে পারে যে বলে যে

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

এর নিকটবর্তী অঞ্চলে পার্থক্যযোগ্য কোনও ফাংশনের জন্য এবং । এটিকে এবং to এ প্রয়োগ করাতে দেখাতে পারে যে $f(x)$ $g(x)$ $c$ $f(n) = n \log n$ $g(n) = n^{1+\varepsilon}$ $\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

কেস 2 এ এর জন্য মাস্টার উপপাদ্যের প্রুফের স্কেচ।

এটি প্রয়োজনীয় পরিবর্তনগুলির সাথে অ্যালগরিদমের ভূমিকা থেকে প্রমাণের অংশগুলির একটি পুনরুত্পাদন ।

প্রথমে আমরা নীচের লেমাকে প্রমাণ করি।

লেমা এ:

একটি ফাংশন বিবেচনা করুন

g (n) = \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} h (n / b^{j})

$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$

যেখানেতারপরে $h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$ $g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

প্রুফ: কে জন্য অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করাতে একজন $h(n)$ $g(n)$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} {(\frac{a}{b^{\log_{b} a}})}^{j} = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

Qed

যদি হল একটি সঠিক শক্তি তবে একটি পুনরাবৃত্তি দেওয়া হবে $n$ $b$

T (n) = a T (n / b) + f (n), T (1) = Θ (1)

$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$

এক হিসাবে এটি আবার লিখতে পারেন

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a}) + \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} f (n / b^{j}) .

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j f(n/b^j).$

সাথে প্রতিস্থাপন করা , বাইরে নিয়ে যাওয়া এবং লেমমা এ প্রয়োগ করা আমরা পাই $f(n)$ $\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$ $\Theta$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n) .

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$

একটি অবাধ পূর্ণসংখ্যা এই সরলীকরণ যে একটি ক্ষমতা নয় এই পোস্টের সুযোগ পরলোক হল। $n$ $b$

— দিমিত্রি চুবারভ
সূত্র

আকরা-বাজি উপপাদ্য হ'ল মাস্টার উপপাদকের কঠোর সাধারণীকরণ। বোনাস হিসাবে এটির প্রমাণ হ'ল ইন্টিগ্রালের এক ঝলকানি যা আপনার মাথাকে স্পিন করবে ;-)

যাই হোক না কেন, সেডজউইক তাঁর "অ্যালগরিদমের বিশ্লেষণের ভূমিকা" তে দৃinc়ভাবে যুক্তি দিয়েছিলেন যে টাইপ অ্যাসিম্পটোটিকগুলি প্রমাণ করার জন্য প্রচেষ্টা করা উচিত । $T(n) \sim g(n)$

— vonbrand
সূত্র