মাস্টার থিওরেমের যে তিনটি ক্ষেত্রে আপনি উল্লেখ করেছেন সেগুলি থমাস এইচ। কর্পেন, চার্লস ই লিজারসন, রোনাল্ড এল। রিভস্ট এবং ক্লিফোর্ড স্টেইন (দ্বিতীয় সংস্করণ, 2001) দ্বারা আলগোরিদিমগুলির পরিচিতিতে প্রমাণিত হয়েছে ।
এটি সঠিকভাবে পালন করা হয় যে প্রশ্নে পুনরাবৃত্তি কেস 2 এবং কেস 3. মধ্যে বৃক্ষের পতন অর্থাৎ যতো তাড়াতাড়ি বৃদ্ধি কিন্তু ধীর চেয়ে কোনো ।f(n)=nlognnn1+εε>0
তবে এই পুনরাবৃত্তিটি কভার করার জন্য উপপাদ্যটি সাধারণ করা যেতে পারে। বিবেচনা
কেস 2 এ: কিছু জন্য
বিবেচনা করুন ।f(n)=Θ(nlogbalogkbn)k≥0
কেস হলে এই কেস 2 হ্রাস করে । এটি স্বজ্ঞাতভাবে পরিষ্কার যে পুনরাবৃত্তি গাছের প্রতিটি শাখা বরাবর যোগ করা হচ্ছে বার। আরও একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণের স্কেচ নীচে পাওয়া যাবে। চূড়ান্ত ফলাফল এটিk=0f(x)Θ(logbn)
T(n)=Θ(nlogbalogk+1bn)
।
ইন আলগোরিদিম পরিচিতি এই বিবৃতি একটি ব্যায়াম যেমন ছেড়ে দেওয়া হয়।
এই বিবৃতিটি পুনরায় প্রশ্নে পুনর্বিবেচনা প্রয়োগ করা অবশেষে আমরা পাই
T(n)=Θ(n⋅log2n).
মাস্টার উপপাদ্য সম্পর্কিত আরও বিশদটি চমৎকার (imho) উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় পাওয়া যাবে ।
@ এসডিসিভিভিসি মন্তব্যগুলিতে উল্লেখ করেছেন যে এখানে মামলা 3 প্রয়োগ হয় না তা প্রমাণ করার জন্য যে কেউ এল'হসপালের নিয়মটি আবেদন করতে পারে যে বলে যে
limx→cf(x)g(x)=limx→cf′(x)g′(x)
এর নিকটবর্তী অঞ্চলে পার্থক্যযোগ্য কোনও ফাংশনের জন্য এবং । এটিকে এবং to এ প্রয়োগ করাতে দেখাতে পারে যেf(x)g(x)cf(n)=nlogng(n)=n1+εlogn∉Θ(n1+ε).
কেস 2 এ এর জন্য মাস্টার উপপাদ্যের প্রুফের স্কেচ।
এটি প্রয়োজনীয় পরিবর্তনগুলির সাথে অ্যালগরিদমের ভূমিকা থেকে প্রমাণের অংশগুলির একটি পুনরুত্পাদন ।
প্রথমে আমরা নীচের লেমাকে প্রমাণ করি।
লেমা এ:
একটি ফাংশন বিবেচনা করুন
g(n)=∑j=0logbn−1ajh(n/bj)
যেখানেতারপরে
h(n)=nlogbalogkbn.g(n)=nlogbalogk+1bn.
প্রুফ: কে জন্য অভিব্যক্তিতে
প্রতিস্থাপন করাতে একজন
h(n)g(n)g(n)=nlogbalogkbn∑j=0logbn−1(ablogba)j=nlogbalogk+1bn.
Qed
যদি হল একটি সঠিক শক্তি তবে একটি পুনরাবৃত্তি দেওয়া হবেnb
T(n)=aT(n/b)+f(n),T(1)=Θ(1)
এক হিসাবে এটি আবার লিখতে পারেন
T(n)=Θ(nlogba)+∑j=0logbn−1ajf(n/bj).
সাথে প্রতিস্থাপন করা , বাইরে নিয়ে যাওয়া এবং লেমমা এ প্রয়োগ করা আমরা পাইf(n)Θ(nlogbalogkbn)Θ
T(n)=Θ(nlogbalogk+1bn).
একটি অবাধ পূর্ণসংখ্যা এই সরলীকরণ যে একটি ক্ষমতা নয় এই পোস্টের সুযোগ পরলোক হল।nb