গ্রাফের রঙিন সমস্যাটির এনপি-সম্পূর্ণতা

Question

বিকল্প সূত্র

আমি নীচের সমস্যার বিকল্প ফর্মুলেশন নিয়ে এসেছি। বিকল্প গঠনের সমস্যাটি আসলে সমস্যাটির এক বিশেষ ঘটনা এবং সমস্যাটি বর্ণনা করতে দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ ব্যবহার করে। তবে, আমি বিশ্বাস করি যে বিকল্প সূত্রটি এখনও এনপি-হার্ড। বিকল্প সূত্রটি আগত এবং বহির্গামী নোডগুলির একটি বিরূপ সেট ব্যবহার করে যা সমস্যার সংজ্ঞাটি সহজ করে।

প্রদত্ত আউটগোয়িং এবং ইনকামিং নোড (যথাক্রমে চিত্রের লাল এবং নীল নোড) এবং বহির্মুখী এবং আগত শিখরের মধ্যবর্তী প্রান্তের ওজনের এক ধরণের s এর আকার । সমস্যার লক্ষ্য হ'ল চিত্রে ঘন প্রান্তগুলি রঙ করা যাতে প্রতিটি আগত নোডের জন্য একটি শর্ত থাকে।$n$$n$$w_{ij}$$n \times n$

একটি সেট দেওয়া হয়েছে output আউটপুট , একটি সেট ইনপুট ছেদচিহ্ন এর ওজন মধ্যে 's এবং ' s , এবং একটি ইতিবাচক ধ্রুবক , খুঁজুন প্রান্তের (উপরের চিত্রের ঘন প্রান্ত) এর জন্য সর্বনিম্ন রঙের সংখ্যা যেমন সমস্ত ,$\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$$\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$$n \times n$$w_{ij} \ge 0$$O_i$$I_j$$i,j=1 \dots n$$\beta$$e_{ii}$$j=1 \dots n$

$$\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$$

যেখানে শো প্রান্ত রঙ ।$c(i)$$e_{ii}$

---

পুরাতন সূত্র

নিম্নলিখিত সমস্যাটি আমার কাছে এনপি-হার্ড মনে হচ্ছে, তবে আমি এটি প্রদর্শন করতে পারিনি। এর কঠোরতা বা স্বাচ্ছন্দতা প্রদর্শন করতে যে কোনও প্রমাণ / মন্তব্য প্রশংসিত হয়।

ধরে সঙ্গে একটি সম্পূর্ণ পরিমেয় নির্দেশ গ্রাফ হয় নোড এবং প্রান্ত। যাক প্রান্ত ওজন দেন এবং শো প্রান্ত রঙ । এবং একটি ধনাত্মক ধ্রুবক প্রান্তের একটি উপসেট দেওয়া লক্ষ্যটি হ'ল: প্রতিটি জন্য ন্যূনতম সংখ্যার মতো রঙগুলি সন্ধান করুন :$K_n=\langle V,E \rangle$$n$$n(n-1)$$w_{ij} \ge 0$$ij$$c(ij)$$ij$$T \subseteq E$$\beta$$e_{ij} \in T$

$$\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$$ এবং $$c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$$

দয়া করে নোট করুন যে উপরের সমস্যাটিতে কেবলমাত্র প্রান্তগুলি রঙ করা দরকার। এ সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে ।$T$$\mathcal{O}(|T|!)$

হালনাগাদ:

সোসোশি ইটো এর মন্তব্যের পরে আমি সমস্যাটি আপডেট করেছি। হর থেকে পরিবর্তিত হয় করার । সুতরাং, ডিনোমিনেটরে বাইরেও ওজন রয়েছে । এই কারণেই আমি সংজ্ঞায় সম্পূর্ণ গ্রাফটি উল্লেখ করেছি।$1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$$1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$$T$

আমি অতিরিক্ত বাধা । তার অর্থ, নোড থেকে বহির্গামী প্রান্তগুলি অবশ্যই বিভিন্ন বর্ণের হবে (তবে আগত রংগুলি যতক্ষণ না অসমতা ধরে রাখে ততক্ষণ একই হতে পারে)। এটি রঙের সংখ্যার উপর একটি স্বজ্ঞাত নিম্ন সীমাবদ্ধ রাখে যা এর নোডের সর্বাধিক আউট-ডিগ্রি ।$c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$$T$

যেমন উল্লেখ করেছেন, 's, , এবং সমস্যাটির ইনপুট এবং প্রান্তের রঙগুলি আউটপুট।$w_{ij}$$T$$\beta$

আপডেট 2:

সমস্যা এবং একই রঙের প্রান্তগুলি কার্যকর করে না ।$e_{ij}$$e_{ji}$

Comments

@ রাফেল: সাধারণত, একটি প্রান্তের রঙিন সমস্যা হ্রাসের জন্য ভাল প্রার্থী বলে মনে হয়। হ্রাসের জন্য সহজতম এনপি-হার্ড সমস্যা সন্ধান করা সবচেয়ে কঠিন অংশ। পরবর্তী পদক্ষেপটি ম্যাপিংয়ের জন্য সঠিক ওজন খুঁজে পাওয়া। আমার ধারণা, উপরের সমস্যাটিতে যদি একটি এজিং কালারিং সমস্যাটি হ্রাস পায় তবে ওজনগুলি 0/1 এর মতো হওয়া উচিত বা আমাদের ওজনগুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য বৈষম্যের একটি ব্যবস্থা সমাধান করা উচিত।

— হিলিয়াম

সমস্যা গঠনের বিষয়ে কয়েকটি মন্তব্য: (1) ইনপুটটি কী? আমি অনুমান করি যে ইনপুটটি সমস্ত প্রান্ত, টি এবং β এর জন্য ডাব্লু_আইজেড, তবে যদি তা হয় তবে আপনার ডাব্লু_আইজি এবং সি (আইজ) সংজ্ঞায়িত করা উচিত নয় যেন সেগুলি একইভাবে দেওয়া হয়েছিল। (২) আপনি যা লিখেছেন তা আমি বুঝতে পেরেছি, টি এর বাইরের প্রান্তগুলি কখনই উল্লেখ করা হয়নি। সুতরাং সম্পূর্ণ নির্দেশক গ্রাফটি বিবেচনা না করে টিতে প্রান্তগুলি সমন্বিত নির্দেশক গ্রাফটি সংজ্ঞায়িত করা সহজ।

— সোসোশি ইটো

@ শুয়ুশিআইটো: আপনার মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ, আমি প্রশ্নটি আপডেট করেছি।

— হিলিয়াম

যাইহোক, সমস্যাটি আমার কাছে বেশ অগোছালো দেখাচ্ছে। আপনি যদি ব্যাখ্যা করেন যে আপনি কীভাবে এই সমস্যায় পৌঁছেছেন (অন্য কথায়, আপনি কেন এই সমস্যায় আগ্রহী), এটি অন্যকে সমস্যা বুঝতে সাহায্য করবে।

— সোসোশি ইটো

@ স্যুয়োশিআইটো: ১) সমস্যাটি ওয়্যারলেস অ্যাড-হক নেটওয়ার্কগুলিতে সময় নির্ধারণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। ট্রান্সমিশন সেটকে বোঝায় এবং ওজনগুলি সংকেত বর্ধন সহগকে উপস্থাপন করে। মুষ্টি বাধাও হস্তক্ষেপ ও শব্দ অনুপাতের সংকেতকে বোঝায়। 2) "ডিনোমিনিটরটি কেবলমাত্র টিতে প্রান্তের ওজন ধারণ করে" এখন মুছে ফেলা হয়েছে। $T$

— হিলিয়াম

Answer 1

এটি দেখানো বেশ সহজ যে বিকল্প সূত্রটি এনপি-হার্ড। হ্রাসটি ভারটিেক্স রঙিন সমস্যা থেকে from উল্লম্ব সহ একটি গ্রাফ জি দেওয়া , আমরা ফলাফলের উপরের এবং ইনপুট শীর্ষে উপরোক্ত সমস্যার একটি উদাহরণ তৈরি করি । ওজন নিম্নরূপ নির্ধারণ করা হয়: সব জন্য যাক । জন্য , যদি সেখানে প্রান্তবিন্দু মধ্যে একটি প্রান্ত হয় এবং প্রান্তবিন্দু যাক , অন্য দিন । অতিরিক্ত হিসাবে, যাক let ।n n i w i i = 1 i ≠ j i j w i j = w j i = 1 w i j = w j i = 0 β = $n$$n$$n$$i$$w_{ii}=1$$i \neq j$$i$$j$$w_{ij}=w_{ji}=1$$w_{ij}=w_{ji}=0$$\beta=1$

এটি হ্রাসটি সঠিক কেন তা বর্ণনা করা বেশ সুস্পষ্ট তবে কঠিন। যাক গ্রাফ রং এবং উদাহরণস্বরূপ দেন সমস্যা কমে উদাহরণস্বরূপ প্রদর্শন করুন। উপরের হ্রাসটি একটি সঠিক সমাধান দেয় তা দেখানোর জন্য আমাদের দেখানো দরকার যে (1) for এর জন্য প্রতিটি বৈধ রঙ জন্যও বৈধ । (2) উত্তর দেওয়া জন্য সংক্ষিপ্ত ।আর আর সি সি আর $\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$

তাহলে এবং দুই সংলগ্ন ছেদচিহ্ন হয় , তারপর তারা বিভিন্ন রং থাকতে হবে । এর কারণ এটি যদি এবং সংলগ্ন হয় এবং সেগুলির রঙ একই হয় তবে ভগ্নাংশ স্থাপিত হবে , যেখানে একটি ইতিবাচক মান আছে। সুতরাং, শর্তটি ধরে রাখে না। , valid for এর জন্য প্রতিটি বৈধ (তবে অল্প প্রয়োজনীয় নয়) রঙিন not for এর জন্যও একটি বৈধ রঙ । এটি follows a এর বৈধ রঙে সত্যটি অনুসরণ করেজ সি আর আই জে ডব্লু জে $i$$j$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$i$$j$$\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$$\frac{1}{1+X}$$X$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$, সংলগ্ন নোডগুলির প্রতিটি জুটির বিভিন্ন রঙ থাকে, সুতরাং শর্তটি দ্রবণে of এর সমস্ত রঙিন প্রান্তের জন্য ধারণ করে। যেহেতু of এর প্রতিটি রঙ for এর জন্য বৈধ রঙিন , তাই to এর ন্যূনতম সমাধানটি অবশ্যই to এর ন্যূনতম সমাধান হতে হবে । অন্যথায়, এটি ন্যূনতম নয় কারণ to একটি সংখ্যক রঙের সাথে একটি সমাধান দেয়।$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Answer 2

সম্পাদনা : নীচের নির্মাণটি বেশ কার্যকরভাবে কাজ করে না, নীচে তুশোশি ইতোর মন্তব্য অনুসারে, এটি প্রয়োগ করে না । যদিও এটি একটি দরকারী শুরু হয় তবে আমি এটি ছেড়ে দিই। এছাড়াও, ওজন সহ আর্কস অন্তর্ভুক্ত করা উচিত নয় ।$c(ij)=c(ji)$$T$$0$

মোহসেন প্রস্তাবিত রেখাগুলির সাথে, এজ রঙের সাথে শুরু করুন, গ্রাফ কে একই ভার্টেক্স সেটে ডিগ্রাফ তে রূপান্তর করুন যেখানে আমাদের রয়েছে এবং মধ্যে , সমস্ত পরিধির মধ্যে দিতে (এই সময়ে) ওজন , তারপর অ্যাড এবং কাছে সঙ্গে , সেট থেকে এবং ।$G=(V,E)$$D=(V,A)$$\forall uv\in E$$(u,v)$$(v,u)$$A$$a \in A$$w_{a} = 1$$\forall xy \notin E$$(x,y)$$(y,x)$$A$$w_{xy}=w_{yx}=0$$\beta$$1$$T=A$

তবে শর্তটি কেবল তখনই সন্তুষ্ট হয় যদি একই ভার্টেক্সে কোনও দুটি আরক ইভেন্টের বর্ণ একই রঙ না হয়, মূল গ্রাফের অ-প্রান্তগুলি থেকে আসা আরাকগুলি উপেক্ষা করে (তাদের ওজন )। এই রঙিনটি আবার মূল গ্রাফের জন্য উপযুক্ত রঙিনে রূপান্তরিত হতে পারে।$0$

প্রযুক্তিগতভাবে আমি আপনার মূল সমস্যাটিকে সিদ্ধান্তের সমস্যায় রূপান্তর করেছি ("গ্রাফটি কি রঙের সাথে বর্ণনযোগ্য ?") তবে এটি মধ্যে ফিট করার জন্য করা দরকার এবং এটি বহুলোকের সাথে কার্যকরভাবে আদান-প্রদানযোগ্য।এন $k$$NP$

সুতরাং আমি মনে করি এটি কাজ করে, বা আমি হরড হতে অন্য কিছু দেখিয়েছি ? ;)$NP$

Comments

আপনি কীভাবে সেই সি (আইজ) = সি (জি) প্রয়োগ করবেন? যদি আমি এটি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে প্রশ্নে থাকা সমস্যাটিতে এটি অগত্যা সত্য নয়।

— সোসোশি ইটো

ভাল যুক্তি. আমি সমস্যাটি নোট করতে মূল পোস্টটি সম্পাদনা করব।

— লুক ম্যাথিসন