প্রদত্ত ডিএফএ ন্যূনতম কিনা আমরা কত তাড়াতাড়ি সিদ্ধান্ত নিতে পারি?

Question

ডিটারমিনিস্টিক সসীম অটোমেটা (ডিএফএ) হ্রাস করা হ'ল এমন একটি সমস্যা যা পুরোপুরি সাহিত্যে অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং নিম্নলিখিত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য বেশ কয়েকটি অ্যালগরিদম প্রস্তাব করা হয়েছে: একটি ডিএফএ- দেওয়া , একটি ন্যূনতম ডিএফএ হিসাবে একই ভাষা গ্রহণ করে গণনা করুন । এই অ্যালগরিদমগুলির বেশিরভাগই বহুবর্ষজীবী সময়ে চালিত হয়।$\mathscr{A}$$\mathscr{A}$

তবে আমি ভাবছি যে এই সমস্যার সিদ্ধান্তের বৈকল্পিক - "একটি ডিএফএ- দেওয়া , ন্যূনতম?" - প্রকৃতপক্ষে ন্যূনতম অটোমেটনের কম্পিউটিংয়ের চেয়ে আরও দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে। স্পষ্টতই, হপক্রফ্টের পার্টিশন-রিফাইমেন্ট আলগোরিদিম উদাহরণস্বরূপ চালানোর মাধ্যমে এবং তারপরে সমস্ত পার্টিশনগুলিতে সঠিকভাবে একটি রাষ্ট্র রয়েছে কিনা তা স্থির করে দক্ষতার সাথে এটি করা যেতে পারে।$\mathscr{A}$$\mathscr{A}$

যুবাল ফিল্মাস তার উত্তরে যেমন পরামর্শ দিয়েছেন , সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্যতা বৈকল্পিকটি দ্রুত সমাধান করা যেতে পারে, সম্ভবত স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদম ব্যবহার করে। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি দেখতে পাচ্ছি না (আমি আশা করি আমি এখানে একটি সুস্পষ্ট পয়েন্ট মিস করছি না)।

ইউভাল এখানে মন্তব্যে উল্লেখ করেছেন যে সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদমগুলি (উপরের মতো ধ্রুবক আকারের বর্ণমালা জন্য সময়ের সাথে চালায় । অতএব, আমি রানটাইমের ক্ষেত্রে তাত্পর্যপূর্ণভাবে গুরুত্বপূর্ণ লাভে আগ্রহী নই, কারণ এগুলি অপ্রত্যাশিত বলে মনে হয়। যে বিষয়টি আমাকে সবচেয়ে বিরক্ত করে তা হ'ল আমি এমন কোনও "শর্টকাট" কল্পনা করতে পারি না যা কেবলমাত্র একটি হ্যাঁ-উত্তর-সম্পর্কে আগ্রহী - এমনকি এমন একটি শর্টকাটও নয় যা একটি অসম্মানজনকভাবে উপেক্ষিত পরিমাণ সময় সাশ্রয় করার অনুমতি দেয়। আমি অনুভব করি যে প্রতিটি বুদ্ধিমান অ্যালগরিদম যা কোনও ডিএফএর ন্যূনতমতা স্থির করে সেগুলিকে আসলে ডিএফএ হ্রাস করতে হবে এবং প্রক্রিয়া চলাকালীন কিছু পরিবর্তন হয় কিনা তা দেখতে হবে।$\mathcal{O}(n \log n)$

Comments

হপকক্রফ্টের অ্যালগরিদম ইতিমধ্যে কোসিলিনিয়ার সময়ে চলেছে, সুতরাং উন্নতির জন্য এতটা জায়গা নেই।

— যুবাল ফিল্মাস

হ্যাঁ, আমি আমার প্রশ্নটি সম্পাদনা করেছি যাতে এটি এই সত্যটি প্রতিফলিত করে, @ ইউভালফিল্মাস

— কর্নেলিয়াস ব্র্যান্ড

আমি বিশ্বাস করি দ্রুততম পরিচিত DFA তে কম অ্যালগরিদম এখনও এই এক । এটি ২০০ আগে চলমান আগে প্রকাশিত যে কোনও অ্যালগরিদমের চেয়ে দ্রুততর , যেখানে সংক্রমণের সংখ্যা। $O(n+m \log n)$$m$

— জুহো

আমার কাছে সিদ্ধান্তের সমস্যাটি ন্যূনতম সমস্যার সাথে জটিল হিসাবে সমান বলে মনে হচ্ছে, প্রাক্তন সম্ভবত শক্ত মনে হয় কারণ এটি ডিএফএ সমতুল্যতার জন্য পরীক্ষার সাথে জড়িত যা অনর্থক নয়। সুতরাং দেখে মনে হচ্ছে সিদ্ধান্তের জটিলতা হ'ল সর্বাধিক "হ্রাস বা সমতুল্য পরীক্ষা"। এবং সমতুল্য পরীক্ষার জটিলতা কী?

— vzn

@vzn ধরে নিচ্ছেন আপনার অর্থ "[...] যা অনর্থক": এটি অগত্যা প্রয়োজন হয় না, যেমন আমি আমার প্রশ্নে যে পদ্ধতিটি দিয়েছি তা সমতার জন্য পরীক্ষা করা এড়িয়ে চলে। তবে, আমি আরও মনে করি যে সমস্যাটি হ্রাস করার চেয়ে সহজ নয়।

— কর্নেলিয়াস ব্র্যান্ড

Answer 1

এটি আপনি যে উত্তরটি খুঁজছেন ঠিক তা নয়, তবে যেহেতু আপনি সিদ্ধান্ত সংক্রান্ত সমস্যাগুলি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিলেন, তাই আমি ভেবেছিলাম আপনি সমস্যার জটিলতায় আগ্রহী হতে পারেন। এটি কমপ্লিট।$\mathsf{NL}$

এখন, কোনও ডিএফএ ন্যূনতম হওয়ার অর্থ কী? দুটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

1. প্রতিটি রাজ্যে পৌঁছনীয়: যেমন যে আমরা পৌঁছতে পারে কুই শুরু রাজ্য থেকে গুলি অনুসরণ করে W ; প্রতীকগুলিতে: s → w q ।$\forall q \in Q \; \exists w \in \Sigma^*$$q$$s$$w$$s \rightarrow_w q$

2. রাজ্যের প্রতিটি যুগল পার্থক্যসূচক হল: সঙ্গে কুই ≠ দ ∃ W ∈ Σ * যেমন যে কুই → W গুলি এবং দ → W টি এবং | { s , t } ∩ F | = 1 (শুধুমাত্র এক গুলি , T একটি গ্রহণ রাষ্ট্র)।$\forall q,r \in Q$$q \neq r$ $\exists w \in \Sigma^*$$q \rightarrow_w s$$r \rightarrow_w t$$|\{s,t\} \cap F| = 1$$s,t$

লক্ষ করুন যে, (অর্থাত লগ-স্থান নির্ণিত করা যেতে পারে এল ; শুধু আপনার বর্তমান অবস্থান ট্র্যাক হিসাবে আপনাকে অনুসরণ W একটি সময়ে এক চিঠি)। উপরন্তু, সেখানে মাত্র মধ্যে পরিবর্তনও একটি সসীম সংখ্যা ∀ এবং ∃ তাই একটি ফল হিসেবে Immerman-Szelepcsenyi উপপাদ্য , আমরা যে সমস্যা আছে এন এল ।$x \rightarrow_w y$$\mathsf{L}$$w$$\forall$$\exists$$\mathsf{NL}$

দেখতে এটি জন্য কঠিন সহজ পদ্ধিতি হল উপায় যে বিজ্ঞপ্তি সম্পত্তি 1 সমাধান হয় গুলি - টি unreachability, যা prototypical এর কঠিন সমস্যা পরিচালনা করেন। তবে আপনি যদি কেবলমাত্র অ্যাক্সেসযোগ্য ডিএফএ বিবেচনা করেন তবে সমস্যাটি এখনও শক্ত (উদাহরণস্বরূপ সম্পত্তি 2 এন এল -হার্ড) এবং আপনি চ ও হুইন (1992) এর লেমমা ২.২-তে একটি অপেক্ষাকৃত সরল প্রমাণ পেতে পারেন ।$\mathsf{NL}$$s$$t$$\mathsf{NL}$

অবশ্যই, আমি অ-নির্ধারণবাদ ব্যবহার করেছি, সুতরাং এটি হপক্রফ্টের অ্যালগরিদম থেকে যেভাবে পৃথক হয়েছে তাতে এটি কাশির সামান্য বিষয়। কিন্তু আমরা জানি য়ে , তাই আপনি ঐ বাক্য ব্যবহার করতে পারেন নিজেকে Hopcroft চেয়ে আরও জায়গা সাশ্রয়ী অ্যালগরিদম পেতে (যা তার খুব প্রকৃতি দ্বারা হয়েছে ট্র্যাক রাখতে এন অনেক পার্টিশন)।$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2$$n$

Comments

এটি কি জায়গার উন্নতি বলে মনে হচ্ছে তবে সময় জটিলতা নয়?

— vzn

আমি vzn এর সাথে একমত যদিও আমি এই উত্তরটি পছন্দ করি, তবুও আমি অন্তর্দৃষ্টিগুলিতে আগ্রহী যা মূল প্রশ্নের সাথে আরও ঘনিষ্ঠভাবে জড়িত।

— কর্নেলিয়াস ব্র্যান্ড

$\mathsf{NL}$$\mathsf{P}$