পি ≠ এনপি ধরে ধরে এনপি সম্পূর্ণ সমস্যার আলগোরিদিমগুলিতে রানটাইম সীমানা

ধরে নিন । $P\neq NP$

সমস্ত এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার রানটাইম সীমানা সম্পর্কে আমরা কী বলতে পারি?

অর্থাত tightest ফাংশন কি , যার জন্য আমরা গ্যারান্টি পারেন যে জন্য একটি অনুকূল অ্যালগরিদম কোন সময় দ্বারা NP-সম্পূর্ণ সমস্যা রানে অন্তত এবং সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের একটি ইনপুট ? $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $\omega(L(n))$ $o(U(n))$ $n$

স্পষ্টতই, $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ । এছাড়াও, $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$ ।

অভিমানী ছাড়া $QP\neq NP$ , $ETH$ , বা অন্য কোন ধৃষ্টতা যার দ্বারা উহ্য করা হয় না $P\neq NP$ , আমরা কোন ভাল সীমা দিতে পারেন $L,U$ ?

সম্পাদনা করুন:

নোট করুন যে কমপক্ষে এর যে কোনও একটি আমি এখানে প্রদত্ত সীমানা থেকে দূরে থাকতে হবে, এনপিসি সমস্যা হওয়ায় এই সমস্যাগুলির একে অপরের মধ্যে বহু সময় হ্রাস রয়েছে, যার অর্থ যদি কিছু এনপিসি সমস্যা থাকে তবে সময়ের একটি অনুকূল অ্যালগরিদম , তারপর সব সমস্যার (রানটাইম অনুকূল বা না হোক) একটি আলগোরিদিম হয়েছে । $L,U$ $f(n)$ $O(f(n^{O(1)}))$

— আর বি
সূত্র

যদি পি

এনপি আমরা বলতে পারি যে রানটাইম সীমানা যে কোনও বহুপদী থেকে বৃহত্তর .... আফিক না, আরও ভাল সীমাটি জানা যায় না .... প্রচলিত স্বীকৃতি চিগ করে না যে ... সেখানে সুপারপোলিওনমিয়াল-তবে-সুব্যাক্সফোনশিয়াল বিদ্যমান রয়েছে ফাংশনগুলি যেমন

\neq

$\neq$

2^{\log n}

$2^{\log n}$

— ভিজন

প্রথমত,

কেবল লিনিয়ার, সুতরাং আমি অনুমান করি আপনি

যা

হিসাবে পরিচিত । আমি পুরোপুরি বুঝতে পেরেছি যে

অর্থ এই নয় যে কোনও এনপি-সম্পূর্ণ ফাংশন ক্ষণস্থায়ী সময়ে চলবে, তবে আমি যা বলছি তা নয়। উদাহরণস্বরূপ, অভিমানী

, যে একটি এনপিসি সমস্যা সমাধান করা যেতে পারে এটা সম্ভব

2^{\log n}

$2^{\log n}$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

Q P

$QP$

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

, যেখানে

বিপরীত একারম্যান ফাংশন? স্বরলিপিগুলি নিখরচায় আমার প্রশ্নটি আনুষ্ঠানিকভাবে প্রকাশ করার জন্য ব্যবহৃত একটি সরঞ্জাম ..

2^{l o g (n) \cdot l o g^{*} (n)}

$2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g^{*} (n)

$log^*(n)$

— আরবি

সংশোধনের জন্য THX। আফাইক এ অঞ্চলে খুব কম জানা যায়। এই প্রশ্নটি ব্যবহার করে দেখুন এনটাইম (এন ^ কে) =? টিটিমে (এন ^ কে) tcs.se

— vzn

@ আরবি যদিও এটি সত্য যে প্রতিটি "সম্ভাব্য বিশ্বে" নিম্ন এবং উপরের সীমানা রয়েছে যা মোটামুটি একে অপরের বহুবর্ষের মধ্যে থাকে, তবে এটি কোনও পূর্বনির্ধারিত সীমানা কী সম্ভব তা পরিষ্কার নয় ।

— যুবাল ফিল্মাস

আমার প্রশ্নের ব্যাখ্যাটি হ'ল আপেক্ষিক বিশ্বে সম্ভাব্যতা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা । ধরুন কিছু relativized বিশ্বের যে । এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার সময় জটিলতা সম্পর্কে আমরা অ-তুচ্ছ কিছুকে কমাতে পারি? বেকার-ফুলকা-Solovay যুক্তি দেখায় যে আমরা "বল" কিছু দ্বারা NP সমস্যা সূচকীয় সময় প্রয়োজন করতে পারেন, তাই উপরের প্রশ্নে দেওয়া আবদ্ধ মূলত অনুকূল নয়। $P \neq NP$

নিম্ন সীমা সম্পর্কে, আমরা একটি প্রমাণের নীচে স্কেচ করি যা কিছু ওরাকল সম্পর্কিত, । স্কেচযুক্ত প্রমাণটি সঠিক বলে ধরে নিই, আমরা এটি চেয়ে ছোট ফাংশনেও প্রয়োগ করতে পারি এবং এটি দেখায় যে প্রশ্নের নীচে দেওয়া আবদ্ধটিও মূলত শক্ত। $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

প্রুফ স্কেচ আমরা দুটি ওরাকল নির্মাণ করি : প্রথমটি অসম্পূর্ণ সমস্যার, এবং দ্বিতীয়টি বাকের-গিল – সলোভায় তির্যকটি প্রয়োগ করে। উভয় ওরাকলকে একক ওরাকলে প্যাক করা সোজা। $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

ওরাকল সবকিছুর যুগল নিয়ে গঠিত যেমন যে একটি ওরাকল টুরিং মেশিন যে কবুল করেন সময় চলমান মধ্যে $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ যখন Oraclesঅ্যাক্সেস দেওয়া হয়দৈর্ঘ্যের ইনপুটগুলিতে সর্বাধিকসীমাবদ্ধ করে $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ । (এটি কোনও বিজ্ঞপ্তি সংজ্ঞা নয়)) $2^{\sqrt{\log |x|}}$

ওরাকল একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যে যেমন ওরাকলটি বেকার – গিল ov সলোভেতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: প্রতিটি ক্লকড ওরাকল টিউরিং মেশিন সময় চলমান আমরা কিছু ইনপুট দৈর্ঘ্য পাই যা "অক্ষত", চালানোর উপর জন্য পদক্ষেপ, এবং প্রতিটি প্রশ্নের জন্য আকারের , আমরা চিহ্নিত করে এই ইনপুট নেই (অন্যান্য জিজ্ঞাসার জন্য আমরা চিহ্নিত যে ইনপুট নেই, যদি না আমরা ইতিমধ্যে সিদ্ধান্ত নিয়েছে যে এটি $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ )। তে প্রশ্নগুলিএকইভাবে পরিচালনা করা হয় (ছোট আকারের এরঅন্তর্নিহিত প্রশ্ন হিসাবে, পুনরাবৃত্তভাবে পরিচালনা করা হয়); নোটিশ যেমন জিজ্ঞাস্য দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং উল্লেখ না যে মধ্যে , যেহেতু $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ $n$ $O_2$ । মেশিন গ্রহণ করি, তাহলে আমরা দৈর্ঘ্যের অন্য সব স্ট্রিং চিহ্নিতমধ্যেঅনুপস্থিত হিসাবে, অন্যথায় আমরা দৈর্ঘ্য কিছু স্ট্রিং বাছাইএবং এটা করা। $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

ক্লাস সময়ে চলমান সমস্ত প্রোগ্রাম নিয়ে গঠিত $P^{O_1,O_2}$ ,আকার $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ । ক্লাসরূপটি, যেখানে, এবং তাই এটি সব প্রোগ্রাম এর বর্গ অন্তর্ভুক্ত সময় চলমানও মাপ এর ওরাকল ক্যোয়ারী তৈরি $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ । পরবর্তীটি, যেহেতু আমরাসিদ্ধান্ত নিতেব্যবহার করতেপারি। এ থেকে জানা যায়। $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

$L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— ইউভাল ফিল্ম
সূত্র

Π

$\Pi$

Ω (2^{n^{c}})

$\Omega(2^{n^c})$

Ω (2^{n^{Ω (1)}})

$\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

E T H

$ETH$

— আরবি

E T H

$ETH$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

আপনি কিছু মিস করছেন না। একটি আপেক্ষিক বিশ্ব রয়েছে যেখানে ETH সত্য। আরও একটি আপেক্ষিক বিশ্ব রয়েছে যেখানে পি = এনপি, এবং তাই বিশেষত ETH মিথ্যা।

— যুবাল ফিল্মাস

P \neq N P

$P\neq NP$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

P ⊊ Q P = N P

$P\subsetneq QP = NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

N P = T I M E (n^{O (\log n)})

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$

N P = T I M E (2^{n^{O (1)}})

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$

P = N P

$P=NP$

Q P

$QP$