হিলবার্টের দশম সমস্যা এবং চইটিনের ডায়োফান্তাইন সমীকরণ "কম্পিউটার"?

Question

চৈতিনের মেটা মঠে! ওমেগা দ্য কোয়েস্টে তিনি হিলবার্টের দশম সমস্যা নিয়ে সংক্ষেপে কথা বলেছেন। তারপরে তিনি বলেছিলেন যে কোনও ডায়োফানটাইন সমীকরণ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সহগ সহ দুটি সমান পরিবর্তিত হতে পারে: ।পি = $p=0$$p=0 \iff p_1 = p_2$

তারপরে তিনি বলেছেন যে আমরা এই কম্পিউটারগুলি "কম্পিউটার" এর মতো সমীকরণগুলি সম্পর্কে ভাবতে পারি:

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ কম্পিউটার : প্রোগ্রাম: , আউটপুট: , সময়:

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

বাম পাশের , ডান দিকের । তিনি বলেন এই কম্পিউটারে, যা আউটপুট প্রোগ্রাম । তিনি আরও বলেছিলেন যে অজানাগুলি একটি বহুমাত্রিক সময় পরিবর্তনশীল ।আর কে $L$$R$$k$$n$

আমাকে যা বিভ্রান্ত করে তা হ'ল তিনি তখন বলেছিলেন যে হিলবার্টের দশম সমস্যাটি এভাবে দেখলে সুস্পষ্টভাবে সমাধানযোগ্য হয় না। তিনি মূলত "টিউরিংয়ের হ্যালটিং সমস্যার কারণে" বলেছিলেন says তবে আমি সংযোগটি দেখতে পাচ্ছি না (আমি কেবল তত্ত্বটি শিখতে শুরু করি)। আমি আশা করছিলাম যে চৈতিনের বক্তব্যটি এখানে কেউ কী আরও স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করতে পারে।

আমি জানি যে টুরিংয়ের হ্যালটিং সমস্যাটি মূলত বলেছে যে কোনও প্রোগ্রাম আসলে থামার আগে কখন থামবে তা আপনি ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারবেন না (একটি সীমাবদ্ধ সময় দেওয়া হয়েছে)। চেইটিনের নোটেশনটি ব্যবহার করে হিলবার্টের দশম সমস্যাটির কী প্রয়োগ রয়েছে?

Answer 1

ভাল প্রশ্ন. মনে হচ্ছে হিলবার্টের দশম সমস্যাটিতে আপনার কিছু অতিরিক্ত পটভূমি প্রয়োজন হতে পারে। আমি আশা করি এটি অতিমাত্রার নয় isn't

সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করে:

ডায়োফানটাইন বহুপদী প্রদত্ত কোন অ্যালগরিদম কি সিদ্ধান্ত নেয় যে এর ভেরিয়েবলগুলির একটি সেটিংস আছে যা এটি সমান করে ?$0$

এটি এমআরডিপি (যার ফলে মাতিয়াসিভিচের উপপাদ্যও বলা হয়, যদি আপনি এটির সন্ধান করার মতো মনে করেন) এর পরিণতি হিসাবে এটি 70 এর দশকে সমাধান করা হয়েছিল: এতে বলা হয়েছে:

নির্ধারণ: একটি সেট হয় Diophantine যদি একটি Diophantine বহুপদী হয় উপর ইনপুট যেমন যে । পি কে + 1 ডি = { $D \subset \mathbb{N}$$p$$k+1$$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

ডায়োফ্যান্টাইন সেটগুলি অবশ্যই ট্যুরিং মেশিনগুলির দ্বারা স্বীকৃত।

এই উপপাদ্যটি একদিকে সুস্পষ্ট (প্রতিটি ডায়োফান্টাইন সেট একটি টিউরিং মেশিন দ্বারা সনাক্তযোগ্য - ইনপুট , আপনার মেশিনটি কেবল ভেক্টর অনুমান করা শুরু করুন , মূল্যায়ন করুন , এবং যদি আপনি সেই ) খুঁজে পান তবে থামান । এটি অন্য দিকে খুব অ-স্পষ্ট - এটি কেন সত্য যে প্রতিটি টিউরিং সনাক্তকরণযোগ্য সেটটি ডায়োফানটাইন? এনকোডিং স্কিমগুলি ঘৃণ্য, কিন্তু আমার উপর বিশ্বাস করুন, এটি করা যেতে পারে।y ∈ R k + p ( x , y ) p ( x , y ) = $x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

যাইহোক, এমআরডিপি উপপাদ্য হিলবার্টের দশম সমস্যাটি কীভাবে সমাধান করবেন? আমরা হব...

অসঙ্গতি অনুরোধে জন্য, এর সাজা আমরা একটি অ্যালগরিদম যে একটি Diophantine বহুপদী দেওয়া দাও , সিদ্ধান্ত নেয় হোক বা না হোক একটি ইনপুট ভেক্টর আছে যে ঘটায় ।y p ( y ) = $p(y)$$y$$p(y) = 0$

এখন আমি থামার সমস্যাটি সমাধান করার জন্য এই যাদুকরী অ্যালগরিদমটি ব্যবহার করব। একটি মেশিন দেওয়া হয়েছে, আমি ডায়োফানটাইন সমীকরণগুলির ঘৃণ্য এনকোডিংটি সমস্যাটি রূপান্তর করতে ব্যবহার করব " ইনপুট থামবে কি ?" সমস্যাটিতে "" ডায়োফানটাইন বহুপদী এর ইনপুটগুলির একটি সেট রয়েছে যা এটি সমান করে দেয় ? " তারপরে আমি এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমার যাদুকরী অ্যালগরিদম ব্যবহার করব এবং এখন আমি থামার সমস্যাটি সমাধান করেছি।x পি ( y | x ) $M$$x$$p(y | x)$$0$

অবশ্যই এটি অসম্ভব, সুতরাং বাস্তবে এমন কোনও মায়াবী অ্যালগরিদম থাকতে পারে না যা ইনপুট ভেক্টরের জন্য অনুসন্ধান করে যা । একইভাবে, এমন একটি অ্যালগরিদম থাকতে পারে না যা দুটি ডায়োফ্যান্টাইন বহুভুজ দেখায় এবং সিদ্ধান্ত নেয় যে তারা কখনও সমান কিনা। চৈতিন এটাই বলছেন।$p(y) = 0$