প্রাকৃতিক সংখ্যা লিনিয়ার সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য কোন অ্যালগোরিদম বিদ্যমান?

Question

আমি নিম্নলিখিত সমস্যাটি দেখছি:

প্রদত্ত স্বাভাবিক সংখ্যার -dimensional ভেক্টর এবং কিছু ইনপুট ভেক্টর হল, একটি রৈখিক সমন্বয় 'স্বাভাবিক সংখ্যা কোফিসিয়েন্টস সঙ্গে গুলি?$n$$v_1, \ldots, v_m$$u$$u$$v_i$

অর্থাত কিছু যেখানে ?$t_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}$$u = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m$

স্পষ্টতই এই সমস্যার আসল নম্বর সংস্করণটি গাউসিয়ান নির্মূল ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। আমি ভাবছি, এই সমস্যার পূর্ণসংখ্যা সংস্করণ কি অধ্যয়ন করা হয়েছে? এটিকে সমাধান করার জন্য কোন অ্যালগরিদম রয়েছে?

নোট করুন যে এটি প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি ব্যবহার করছে, তবে মডুলার গাণিতিক নয়, তাই এটি চীনা রিমাইন্ডার উপপাদ্য এবং এর মতো সিস্টেমগুলির থেকে কিছুটা পৃথক। এছাড়াও, এটি ডায়োফানটাইন সমীকরণগুলির সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে তবে আমি ভাবছি যে যেখানে কেবল অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার বিবেচনা করা হয় সেই ক্ষেত্রে কী করা হয়েছে? এটি একটি বহুমাত্রিক সাবসেট-সমষ্টি সমস্যারও স্মরণ করিয়ে দেয়, আমাদের প্রতিটি ভেক্টরের অনুলিপি সংখ্যক অনুলিপি গ্রহণের অনুমতি দেওয়ার জন্য সাধারণীকরণ করা হয়। এছাড়া পরীক্ষা করিয়া এর সাথে সম্পর্কিত মনে একজন উপাদান জাফরি দ্বারা উত্পন্ন ছাড়া এখানে আমরা শুধুমাত্র অ-নেগেটিভ কোফিসিয়েন্টস সঙ্গে রৈখিক সমন্বয় অনুমতি দেয়।$u$$v_1,\dots,v_m$

আগ্রহী যে কারও জন্য, এটি পরীখের উপপাদ্য হিসাবে কোনও পরীখ ভেক্টর লিনিয়ার সেটে আছে কিনা তা দেখে অনুপ্রাণিত হয় ।

বিশেষত, আমি এমন একটি অ্যালগরিদমে আগ্রহী যা কেবল প্রাকৃতিক সংখ্যার ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করতে পারে, বাস্তব / ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যাগুলিতে যাওয়া এড়িয়ে চলে।

Comments

হ্যাঁ, পূর্ণসংখ্যা সংস্করণ (এবং বিভিন্ন রিং তাত্ত্বিক সংস্করণ) অধ্যয়ন করা হয়েছে। পূর্ণসংখ্যা সংস্করণটি গাউসিয়ান নির্মূলের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে। প্রাকৃতিক সংখ্যা সংস্করণটি একটি ভিন্ন জন্তু। আমার অনুভূতি হ'ল এটি এনপি-সম্পূর্ণ হওয়া উচিত।

— থমাস ক্লিম্পেল

যদি এটি গাউসিয়ান নির্মূলের দ্বারা সমাধান করা হয় তবে কীভাবে এটি এনপি-সম্পূর্ণ হতে পারে? আমি এখনও এটির জন্য অ্যালগরিদমগুলিতে আগ্রহী, এমনকি এটি একটি অক্ষম সমস্যা হলেও।

— jmite

এছাড়াও লক্ষ করুন যে আমি যে সমস্যার দিকে নজর দিচ্ছি তাতে সিস্টেমটি নির্ধারিত হতে পারে, অর্থাৎ । এটি কীভাবে এটি পরিবর্তন করে তা নিশ্চিত নয়। $m < n$

— jmite

Answer 1

আপনার সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ, সাবসেট সমষ্টি থেকে হ্রাস দ্বারা (এটি এনপিতে রয়েছে যেহেতু সবকিছুই অ-নেতিবাচক হওয়ায় সমাধানটির সহগগুলি যথেষ্ট ভালভাবে সীমাবদ্ধ)। প্রদত্ত একটি দৃষ্টান্ত উপসেট যোগফল এর (সেখানে একটি উপসেট হয় করার summing ?), আমরা একটি দৃষ্টান্ত গঠন করা আপনার সমস্যা হিসাবে নিম্নলিখিত। প্রতি , আমরা শূন্য হিসাবে : এবং , এবং একটি অনন্য শূন্য প্রবেশের ভেক্টর হতে । লক্ষ্য ভেক্টরটি হ'ল$S = \{s_1,\ldots,s_n\}, T$$S$$T$$v_1,\ldots,v_{2n},u$$1 \leq i \leq n$$v_i$$v_{i,i} = 1$$v_{i,n+1} = s_i$$v_{n+i}$$v_{n+i,i} = 1$$u=1,\ldots,1,T$। সমান এর প্রতিটি প্রাকৃতিক সংমিশ্রণে অবশ্যই of এর মধ্যে অবশ্যই নির্বাচন করতে হবে এবং সুতরাং একটি উপসেট এনকোড করে যার সমষ্টি শেষ উপাদানটির মান।$v_1,\ldots,v_{2n}$$1,\ldots,1,\ast$$v_i,v_{n+i}$$S$

Comments

মজাদার. আপনি কি এই প্রমাণটি নিয়ে এসেছিলেন, নাকি আমি তার উল্লেখ করতে পারি? যেভাবেই হোক, ধন্যবাদ!

— jmite

@ জমিট আমি কেবল প্রমাণটি নিয়ে এসেছি, যদিও আমি এটি দেখে অস্বীকার করতে পারি না।

— যুবাল ফিল্মাস