পৃথক লোগারিদম খুঁজে পাওয়া কতটা শক্ত?

20

$b$ $a^b=c \bmod N$ $a$ $c$ $N$

আমি ভাবছি যে কোন জটিলতা গ্রুপগুলি (যেমন শাস্ত্রীয় এবং কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলির জন্য) এটিতে রয়েছে এবং এই কার্য সম্পাদনের জন্য কোন পদ্ধতির (যেমন অ্যালগোরিদম) সবচেয়ে ভাল।

উপরের উইকিপিডিয়া লিঙ্কটি সত্যিই খুব কংক্রিট রানটাইম দেয় না। আমি সন্ধানের জন্য সর্বাধিক পরিচিত পদ্ধতিগুলি এর মতো আরও কিছুর জন্য প্রত্যাশা করছি।

— ম্যাট গ্রাফ
সূত্র

আমি জানি না সেরা অ্যালগরিদম কী, তবে আপনি জোহান হস্তাদের এই লেকচার নোটের 5 অধ্যায়ে কিছু অ্যালগরিদম খুঁজে পেতে পারেন । আমি এই অ্যালগরিদমগুলির সংক্ষিপ্তসার করব তবে আমি এই অধ্যায়টি পড়িনি, তাই আমি কেবল লিঙ্কটি সরবরাহ করি;)

— মার্ক বুরি

21

সংক্ষিপ্ত উত্তর.
আমরা একটি যথাযথ প্রণয়ন যদি সিদ্ধান্ত সমস্যা বিচ্ছিন্ন লগারিদম সমস্যার সংস্করণ, আমরা দেখাতে পারি যে এটা জটিলতা ক্লাস ছেদ জন্যে এন পি , coNP এবং BQP ।

ডিস্রিট লগের একটি সিদ্ধান্ত সমস্যার সংস্করণ।
বিযুক্ত লোগারিদম সমস্যাটি প্রায়শই একটি ফাংশন সমস্যা হিসাবে তৈরি করা হয়, অন্য পূর্ণসংখ্যার সাথে পূর্বে পূর্ণসংখ্যার ম্যাপিং করে। সমস্যাটি গঠনের জটিলতা ক্লাস পি , বিপিপি , এনপি এবং এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় যা লোকে বিবেচনা করতে পছন্দ করে, যা কেবল সিদ্ধান্ত (হ্যাঁ / না) উদ্বেগের বিষয় । আমরা বিযুক্ত লগ সমস্যার একটি সিদ্ধান্ত সমস্যার সংস্করণ বিবেচনা করতে পারি যা কার্যকরভাবে সমতুল্য:

স্বতন্ত্র লগ (সিদ্ধান্ত সমস্যা)। একটি প্রাইম , একটি জেনারেটর গুণক ইউনিটগুলির মডুলো , একটি পূর্ণসংখ্যা , এবং upper একটি উপরের আবদ্ধ রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করে যে সেখানে আছে কিনা যেমন যে । $N$ $a \in \mathbb Z_N^\times$ $N$ $0 < c < N$ $b \in \mathbb N$ $1 \leqslant L \leqslant b$ $a^L \equiv c \pmod{N}$

এটি আমাদের কার্যত দক্ষতার সাথে সমাধান করতে পারলে বাইনারি অনুসন্ধানের মাধ্যমে _একটি ( সি ) মডুলো এন গণনা করার অনুমতি দেয় । এরপরে আমরা জিজ্ঞাসা করতে পারি যে এই সমস্যাটি কোন জটিলতা শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত। নোট করুন যে আমরা এটিকে প্রতিশ্রুতিবদ্ধ সমস্যা হিসাবে চিহ্নিত করেছি: আমরা জেনারেটর হিসাবে প্রাইম এবং প্রয়োজনীয়তা স্থগিত করে সিদ্ধান্ত সিদ্ধান্তে প্রসারিত করতে পারি , তবে এই বিধিনিষেধগুলির জন্য এই শর্তটি যুক্ত করে শর্তটি যোগ করতে পারি সমস্যার কোনও 'হ্যাঁ' উদাহরণ। $N$ $a \in \mathbb Z_N^\times$

বিচ্ছিন্ন লগ বিকিউপিতে রয়েছে। ডিসট্রেট লোগারিদম
( প্রাইম ফ্যাক্টোরাইজেশন এবং বহু কোয়ান্টাম কম্পিউটারে ডিস্ক্রিট লোগারিদমের জন্য বহু - কালীন অ্যালগোরিদম) গণনার জন্য শোর অ্যালগরিদম ব্যবহার করে , আমরা সহজেই বিকিউপিতে ডিসক্রিট লগ থাকতে পারি । (পরীক্ষা করার জন্য হোক বা না হোক আসলে একটি জেনারেটর, আমরা Shor, আদেশ-খোঁজার অ্যালগরিদম একই কাগজ, যা বিযুক্ত লগারিদম অ্যালগরিদম ভিত্তি হয়, ব্যবহার ক্রম এটি হতে পারে হয় এবং এটি তুলনা করুন )) $a \in \mathbb Z_N^\times$ $a$ $N-1$

বিযুক্ত লগ এনপি ∩ কোএনপিতে রয়েছে।
যদি প্রকৃতপক্ষে প্রাইম হয় এবং জেনারেটর হয় তবে 'ইয়েস' বা সিদ্ধান্ত সমস্যার কোনও 'ন' উদাহরণের জন্য পর্যাপ্ত শংসাপত্রটি অনন্য পূর্ণসংখ্যা যেমন যে । সুতরাং এটি দেখানোর পক্ষে যথেষ্ট যে আমরা শংসাপত্রটি দিতে পারি যে এবং এর শর্তাবলী আছে কিনা । ব্রাসার্ডের ক্রিপ্টোগ্রাফির জটিলতার উপর একটি নোট অনুসরণ করা , যদি এটি উভয় ক্ষেত্রে হয় যে প্রাইম এবং একটি জেনারেটর হয়, তবে এটি ক্ষেত্রে এটি $N$ $a \in \mathbb Z_N^\times$ $0 \leqslant L < N-1$ $a^L \equiv c \pmod{N}$ $a$ $N$ $N$ $a \in \mathbb Z_N^\times$

r^{N - 1} \equiv 1 (\mod N) and r^{(N - 1) / q} ≢ 1 (\mod N) for primes q dividing N - 1

$r^{N-1} \equiv 1 \!\!\!\!\pmod{N} \qquad\text{and}\qquad r^{(N-1)/q} \not\equiv 1 \!\!\!\!\pmod{N} ~~\text{for primes $q$ dividing $N-1$}$ definition সংজ্ঞা অনুসারে (using অর্ডার ) ব্যবহার করে।

Z_{N}^{\times}

$\mathbb Z_N^\times$

N - 1

$N-1$

এমন একটি শংসাপত্র উপর সীমাবদ্ধতা এবং উভয় হোল্ড মৌলিক উত্পাদক একটি তালিকা হবে বিভাজক , যা আমাদের উপরে সঙ্গতি সীমাবদ্ধতার পরীক্ষা করার অনুমতি দেবে। (আমরা চাইলে একেএস টেস্ট ব্যবহার করে প্রতিটি প্রাইম কিনা তা পরীক্ষা করে পারি এবং পরীক্ষা করে দেখতে পারি যে কেবলমাত্র সেই প্রাইমগুলির সাহায্যে প্রাইম-পাওয়ার ফ্যাক্টেরাইজেশন করে এগুলি এর মূল উপাদানগুলির মধ্যে রয়েছে )। $N$ $a$ $q_1, q_2, \ldots$ $N-1$ $q_j$ $N-1$ $N-1$
এমন একটি শংসাপত্র উপর সীমাবদ্ধতা এক বা একটি পূর্ণসংখ্যা হবে ব্যর্থ যা ভাগ , যেমন যে । এটি পরীক্ষা করার প্রয়োজন নেই এই ক্ষেত্রে প্রধানতা জন্য; এটি তাত্ক্ষণিকভাবে সূচিত করে যে এর ক্রমটি চেয়ে কম , এবং সুতরাং এটি কেবলমাত্র গুণনীয় গোষ্ঠীর জেনারেটর যদি প্রাইম হতে ব্যর্থ হয়। $N$ $a$ $q$ $N-1$ $a^{(N-1)/q} \equiv 1 \pmod{N}$ $q$ $a$ $N-1$ $N$

— নীল দে বৌদ্রাপ
সূত্র

3

সাধারণ এবং সবচেয়ে খারাপ-পরিস্থিতিগুলির পরিস্থিতিতে নিল ডি বৌদ্রাপের উত্তর আমার জ্ঞানের সর্বোত্তম।

তবে এর কেবলমাত্র ছোট ছোট প্রধান কারণ রয়েছে, পোহলিগ-হেলম্যান অ্যালগরিদম সময়ে লোগারিদম খুঁজে পায় । অতএব, এই মামলা, বিচ্ছিন্ন লগিন সমস্যা হয় । যেমন, যখন কোনও ক্রিপ্টোগ্রাফিক প্রোটোকল এই সমস্যার কঠোরতার উপর নির্ভর করে, তখন মডুলাস, নির্বাচন করা গুরুত্বপূর্ণ , যেমন এর বড় বড় উপাদান রয়েছে। $N-1$ $O(log^2(N))$ $P$ $N$ $N-1$

— danxinnoble
সূত্র

-1

যেহেতু , তারপরে । (মানে নিষ্ঠুর শক্তি এক্সপিতে রয়েছে)) $|a|=O(N)$ $b=O(N)$

একটি অ-নিরস্তব্য মেশিনের জন্য, একটি বহুপাক্ষিক সাক্ষী রয়েছে যেহেতু আমরা পিতে মডুলার এক্সপেনসেন্টেশন করতে পারি (অর্থাৎ সমস্যাটি )) $NP$

যে তত্ত্বটি পৃথক লোগারিদমগুলি তবে নয় এটি আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফির ভিত্তি, তবে এটি অবশ্যই অপ্রমাণিত। $NP$ $P$

শোরের পদ্ধতি (সেই উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় লিঙ্কযুক্ত) একটি কোয়ান্টাম কম্পিউটারে বহুবর্ষে চলে।

— Xodarap
সূত্র